解題教學(xué)中觀察能力的培養(yǎng)：意義、策略與路徑

周錦春

[摘 ?要] 觀察能力的培養(yǎng)不僅關(guān)系到教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，而且關(guān)系到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展，同時(shí)對(duì)教學(xué)效率的提高也具有非常重要的意義. 在解題教學(xué)中，觀察能力的培養(yǎng)需從學(xué)會(huì)觀察題目特點(diǎn)開(kāi)始，從多角度觀察出發(fā)，從動(dòng)態(tài)與靜態(tài)觀察相結(jié)合展開(kāi)，從學(xué)會(huì)觀察隱含條件出發(fā)，從類比觀察中得以提升.

[關(guān)鍵詞] 解題教學(xué);觀察能力;培養(yǎng);核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)中的觀察能力是一種高級(jí)思維活動(dòng)，是指主動(dòng)觀察事物或者現(xiàn)象，對(duì)事物的特征與差異具有一定的認(rèn)識(shí)的能力. 心理學(xué)研究顯示，觀察能力是學(xué)生學(xué)習(xí)的必備條件，同時(shí)也是智力發(fā)展的有效載體. 觀察能力有先天具備和后天培養(yǎng)之分，先天條件是可遇不可求的，而后天的培養(yǎng)則是在于教師的引導(dǎo)和自身的體會(huì). 因此，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力是解題教學(xué)中的一項(xiàng)長(zhǎng)期任務(wù). 本文擬對(duì)解題教學(xué)中觀察能力培養(yǎng)的意義、策略以及具體路徑進(jìn)行探討，以期引起大家對(duì)觀察力培養(yǎng)的關(guān)注與研究.

觀察能力培養(yǎng)的意義

1. 實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)需要

觀察能力是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基石，是看清數(shù)學(xué)思想的明眸，是實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的需要. 抽象數(shù)學(xué)概念的獲取，需要學(xué)生觀察其本質(zhì);一些算法的理解，需要學(xué)生觀察其算理;理解能力的提升，也需要學(xué)生觀察其中的解題策略;一些數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析，也需要學(xué)生觀察其規(guī)律，觀察能力也是數(shù)學(xué)課程的培養(yǎng)目標(biāo)之一.

2. 核心素養(yǎng)發(fā)展的需要

普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出：提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界……高中階段要實(shí)現(xiàn)以上“三會(huì)”的目標(biāo)離不開(kāi)觀察力，數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的關(guān)聯(lián)并非一望而知的，需要學(xué)生有觀察數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活關(guān)聯(lián)的能力. 因此，觀察能力無(wú)疑是學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的需要.

3. 提高教學(xué)效率的需要

當(dāng)下，高中教學(xué)中依然存在著教學(xué)質(zhì)量低下的弊端. 而深究低效教學(xué)背后的根源自然是多因素的摻雜，不過(guò)學(xué)生觀察能力的薄弱和觀察習(xí)慣的缺失是其中一個(gè)重要因素. 試想一個(gè)缺乏觀察能力的學(xué)生，如何才能發(fā)現(xiàn)多種解題策略中的規(guī)律？由此可見(jiàn)，學(xué)生的低效學(xué)習(xí)也是顯而易見(jiàn)的. 從而培養(yǎng)并發(fā)展學(xué)生的觀察能力對(duì)教學(xué)效率的提高也具有非常重要的意義.

在解題教學(xué)中，觀察能力培養(yǎng)的策略與路徑

1. 從學(xué)會(huì)觀察題目特點(diǎn)開(kāi)始

形成解題路徑的首要條件是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題中的內(nèi)在關(guān)聯(lián)以及規(guī)律. 因此，我們應(yīng)該提倡學(xué)生去觀察問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，聯(lián)系蘊(yùn)含其中的那些離散的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，并且引發(fā)對(duì)解題的深入探究，從而幫助學(xué)生形成正確、簡(jiǎn)潔的解題路徑[1].

例1：如圖1所示，橢圓C： + =1（a>b>0）的離心率e= ，該橢圓與過(guò)點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)B（0，1）的直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).

（1）試求出橢圓C的方程;

（2）設(shè)F1為橢圓C的左焦點(diǎn)，F(xiàn)2為橢圓C的右焦點(diǎn)，同時(shí)M為線段AF2的中點(diǎn)，證明：∠ATM=∠AF1T.

分析：觀察是為了解決問(wèn)題，而不是胡亂地觀察. 本題第（1）問(wèn)中，通過(guò)對(duì)圖形的深入觀察，較易明確解題思路，由直線AB和橢圓C僅有一交點(diǎn)，不難聯(lián)想到聯(lián)立方程組、一元二次方程以及根的判別式，得出橢圓方程C：x2+4y2=2. 當(dāng)然解題思路也是在觀察的基礎(chǔ)上建立的. 在第（2）問(wèn)中，觀察圖1我們易得出解決問(wèn)題的各點(diǎn)坐標(biāo)，若想證明∠ATM=∠AF1T，只需考慮兩角的正切值，從而形成解題路徑（具體解題過(guò)程略）.

2. 從多角度觀察出發(fā)

在解題教學(xué)中，教師需引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度觀察，去找尋題目中的關(guān)聯(lián)，并有目的地變換觀察角度從而掌握題目的全貌和內(nèi)在聯(lián)系. 準(zhǔn)確地觀察角度可以讓學(xué)生充分感知題目信息的內(nèi)在關(guān)系，讓解題策略水到渠成.

例2：已知函數(shù)f（x）= （0≤x≤2π），該函數(shù)的值域是（ ?）

A. - ，0 B. [- ，0]

C. [-1，0] D. [- ，0]

分析：若是本題從三角函數(shù)的角度著手，考慮y2= ，那么過(guò)程的煩瑣是必然的. 可以引導(dǎo)學(xué)生牢牢把握函數(shù)的特征，轉(zhuǎn)化觀察和思考的角度，通過(guò)構(gòu)造單位圓，借助斜率知識(shí)，則可豁然開(kāi)朗. 于是y= = .

①當(dāng)sinx-1≠0時(shí)，原式等價(jià)于y= . 令k= ，并構(gòu)造單位圓，從斜率的幾何意義得出k∈[0，+∞），所以k2∈（0，+∞）， ∈[1，+∞），所以 ∈[-1，0），即y∈[-1，0）.

②當(dāng)sinx-1=0時(shí)，即sinx=1時(shí)，y=0，

綜上所述，值域是[-1，0]，故本題選C.

3. 從動(dòng)態(tài)與靜態(tài)觀察相結(jié)合展開(kāi)

在數(shù)學(xué)中，對(duì)于一些較為復(fù)雜的命題，學(xué)生可以將完整的命題進(jìn)行分解，從而形成多個(gè)小命題，并以動(dòng)、靜結(jié)合的方式著手觀察，從而打破常規(guī)進(jìn)行分析，進(jìn)一步得出正確判斷，并以變化的思想為指導(dǎo)，分解觀察后再進(jìn)行組合觀察，在動(dòng)、靜結(jié)合中揭示規(guī)律，在深入觀察中解決問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)生思維的多向性的形成[2].

例3：已知點(diǎn)P為圓A：x2+（y-2）2= 上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為橢圓x2+4y2=4上的一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)嚽蟪鯬Q的最大值.

分析：本題所涉問(wèn)題為兩動(dòng)點(diǎn)之間的最大距離，因此具有較大的難度，學(xué)生不易得出頭緒. 如果直接設(shè)P與Q兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么思路卡殼是毋庸置疑的. 那么在此處我們是否可以嘗試將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一動(dòng)點(diǎn)和一定點(diǎn)的問(wèn)題進(jìn)行解決呢？深入觀察并變通思路，可以思考得出：若要令PQ取到最大值，那么直線PQ則須過(guò)圓A的圓心A（0，2），此時(shí)則可以順勢(shì)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求AQ的最大值，這里的定點(diǎn)A自然就變?yōu)榱饲蠼獾闹饕?，?dòng)點(diǎn)P則可以暫時(shí)至于一邊，解題思路就此呈現(xiàn)：

設(shè)Q（x，y），則有AQ= . 因?yàn)閤2+4y2=4，所以x2=4-4y2，所以AQ= = = = . 所以當(dāng)y=- 時(shí)，AQ可以取到最大值，最大值為 ?，從而得出PQ的最大值是 + ?.

4. 從學(xué)會(huì)觀察隱含條件出發(fā)

學(xué)生在解題過(guò)程中思路受阻往往都是因?yàn)椴簧朴谕诰螂[含關(guān)系和條件導(dǎo)致的. 因此，在解題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生觀察并挖掘隱含條件是解題中不可忽視的重要環(huán)節(jié)，也是解題關(guān)鍵所在.

例4：已知△ABC中，A，B均為銳角，且有sin2A+sin2B=sinC，請(qǐng)?jiān)嚺袛唷鰽BC的形狀.

分析：觀察題設(shè)，可轉(zhuǎn)化為sinA（sinA-cosB）=sinB（cosA-sinB）. 觀察并分析題中的隱含條件，有sinA>0，sinB>0，cosA>0，cosB>0，且有0～90°時(shí)，正弦函數(shù)遞增，余弦函數(shù)遞減. 再?gòu)臈l件易知A和B對(duì)稱，若設(shè)B≤A，當(dāng)A>B>45°或是當(dāng)B45°>B時(shí)，有左邊sinA-cosB和右邊cosA-sinB異號(hào)，所以只有sinA=cosB和cosA=sinB成立，由此可見(jiàn)△ABC為直角三角形.

5. 從類比觀察中得以提升

類比觀察是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的觀察方法，是從一般到特殊，從特殊到一般地進(jìn)行觀察. 在解題教學(xué)中，教師為了引導(dǎo)學(xué)生有目的、有方向地進(jìn)行觀察，并全面精準(zhǔn)地把握事物特征，可以對(duì)一些命題或題設(shè)進(jìn)行變化，讓學(xué)生在類比觀察中找尋突破口;而對(duì)于較為復(fù)雜的命題，教師可以用特殊命題的方式，讓學(xué)生在類比觀察中退而求進(jìn)，揭示其中的規(guī)律和本質(zhì)，進(jìn)而提升學(xué)生的觀察能力.

例5：已知等差數(shù)列中有am=n，an=m，且m≠n，求am+n和Sm+n.

分析：從題設(shè)中不難看出m和n都不是具體數(shù)字，那么這里的審題就存在一定難度了. 針對(duì)這一問(wèn)題，教師可以通過(guò)設(shè)計(jì)以下簡(jiǎn)單的等差數(shù)列進(jìn)行適時(shí)點(diǎn)撥“6，5，4，3，2，1，0，-1…”，同時(shí)要求學(xué)生自選兩項(xiàng)進(jìn)行觀察，如a5=2，a2=5，a2+5=a7=0，d= = =-1.

類比本題，學(xué)生頓時(shí)茅塞頓開(kāi)，從題設(shè)得出d= = =-1. 又因?yàn)閍m=a1+（m-1）×（-1）=n，可得a1=m+n-1，所以am+n=（m+n-1）+（m+n-1）×（-1）=0，Sm+n=（m+n）·（m+n-1）+ ×（-1）= （m+n）（m+n-1）.

總之，數(shù)學(xué)教師有責(zé)任和義務(wù)幫助學(xué)生發(fā)展觀察能力，解題教學(xué)中觀察能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的，需要教師在日常教學(xué)中一以貫之，更需要全面地行動(dòng)和實(shí)施. 數(shù)學(xué)教學(xué)具有數(shù)學(xué)獨(dú)有的特征與魅力，這就要求教師需利用好數(shù)學(xué)內(nèi)容中豐富的數(shù)學(xué)思想方法，要通過(guò)科學(xué)的訓(xùn)練，激發(fā)學(xué)生潛在的觀察愛(ài)好，并掌握有效的觀察方法，從而形成主動(dòng)觀察和善于觀察的習(xí)慣，只有這樣才能發(fā)展他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，才能更好地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題[3].

參考文獻(xiàn)：

[1] ?吳光潮. “模型+題組”，激活學(xué)生觀察能力——以“三棱錐外接球問(wèn)題的模型分析和教學(xué)題組設(shè)計(jì)”為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（11）.

[2] ?何維. 淺析數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中學(xué)生觀察能力的指導(dǎo)[J]. 科技信息：科學(xué)教研，2008（09）.

[3] ?常宏燕. 淺談數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生觀察能力的培養(yǎng)[J]. 中華少年：研究青少年教育，2012（11）.