借助題組教學(xué)，提升數(shù)學(xué)課堂的有效性

朱強

[摘 ?要] 題組教學(xué)作為一種行之有效的鞏固學(xué)習(xí)方法，很值得將其運用到數(shù)學(xué)教學(xué)之中. 文章以教材為媒介，以實踐探究為手段，以提高高中數(shù)學(xué)課堂有效性為終極目標(biāo)，從概念的建構(gòu)、解題的過程和思維的培養(yǎng)等方面來闡述題組教學(xué)的應(yīng)用.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);題組教學(xué);有效性

題組教學(xué)是富含生命力的話題，對數(shù)學(xué)課堂教學(xué)意義深遠(yuǎn). 在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，題組教學(xué)作為一種行之有效的鞏固學(xué)習(xí)方法，以具有目的性和層次性的“代表性問題”為核心，融知識、方法與技巧為一體，以師生共同探究為主要形式，促發(fā)求知的迫切心理，讓教學(xué)生機(jī)勃勃，讓學(xué)生在解題過程中體驗題組的規(guī)律性，讓數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)水到渠成[1]. 同時，題組教學(xué)的形式多樣，教師也需注重其背后實質(zhì)性的挖掘. 下面筆者就從課堂教學(xué)的角度著手，探討一下題組教學(xué)的應(yīng)用.

讓學(xué)生在題組教學(xué)中建構(gòu)概念

概念是組成認(rèn)知結(jié)構(gòu)的“細(xì)胞”，深入概念本質(zhì)可以促進(jìn)概念的建構(gòu). 概念教學(xué)最難以調(diào)控的就是不僅需引領(lǐng)學(xué)生理解和掌握概念的內(nèi)涵和外延，還需領(lǐng)悟其中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法和技能.因為概念具有抽象性的特征，如果僅僅是將概念傳送給學(xué)生，很多學(xué)生將因為毫無新鮮感而缺乏參與探究的熱情，即便是他們也在認(rèn)真地被動接受，但是他們的思維定然無法進(jìn)入活躍的狀態(tài). 當(dāng)教師進(jìn)行概念教學(xué)時，有意識地運用適當(dāng)?shù)念}組加以襯托，這樣的處理可以增強學(xué)生概念學(xué)習(xí)的投入性，最終完成對相關(guān)概念的建構(gòu)，這樣的教學(xué)方法與學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律相匹配，也有助于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高[2] .

例1：請觀察1-3題，并說一說集合A到集合B的對應(yīng)共同點有哪些？

（1）A={-1，-2，-3，1，2，3}，B={1，4，9}，對應(yīng)法則f：求平方;

（2）A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5，6}，對應(yīng)法則f：乘以2;

（3）A={xx∈Z且x≠0}，B=Q，對應(yīng)法則f：x→ ;

（4）A={xx∈Z}，B=Q，對應(yīng)法則f：x→ ;

（5）A={1，4，9}，B={-3，-2，-1，1， 2，3}，對應(yīng)法則f：開平方.

分析：在題組的引導(dǎo)下，借助1-3題學(xué)生思考并提煉得出：對于集合A中的元素a，所對應(yīng)法則f下的集合B中都有唯一元素b與之對應(yīng). 至此，知識實現(xiàn)了一定程度的深化. 然后教師適時引出映射的定義，并通過舉反例的形式，促進(jìn)學(xué)生完成映射定義的咀嚼，并出示問題（4）和（5）讓學(xué)生嘗試判斷是否為映射，進(jìn)一步加深對定義的理解，利于對概念的建構(gòu).

讓學(xué)生在題組教學(xué)中探求解題規(guī)律

不少數(shù)學(xué)問題具有規(guī)律性，教師需有意識地激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、探究和掌握規(guī)律.在教學(xué)中，教師可以設(shè)置題組來幫助學(xué)生去找尋、探究和積累，從而掌握其中規(guī)律，并實現(xiàn)靈活應(yīng)用，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生思維廣闊性的目的.

例2：（1）求值：cos60°cos15°+sin60°·sin15°;

（2）求值： cos15°+ sin15°;

（3）求值cos15°+ sin15°;

（4）求函數(shù)y=cosα+ sinα，α∈0， 的值域;

（5）求函數(shù)y=sinαcosα+ sin2α，α∈0， 的值域;

（6）設(shè)函數(shù)f（x）=a·b，其中向量a=（2cosx，1），b=（cosx， sin2x），若f（x）=a·b且x∈- ， ，求x的值.

分析：以上題組中，1-3題將思維從兩角和與差的余弦公式的逆用逐步向提煉輔助角公式asinα+bcosα= sin（α+φ）（tanφ= ）過渡，促進(jìn)學(xué)生對公式形成更加全面而立體的認(rèn)識，而且這一知識的提煉水到渠成. 4-6題則是溝通輔助角公式、兩倍角公式以及向量，從而有效激發(fā)學(xué)生的思維，實現(xiàn)公式的靈活應(yīng)用. 題組教學(xué)可以通過層層推進(jìn)的關(guān)系將解題的規(guī)律逐步展示出來，以此提升學(xué)生解題的目的性.

讓學(xué)生在題組教學(xué)中強化重點

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，首要任務(wù)就是幫助學(xué)生解決重點，同時突破難點，但是學(xué)生在重點強化方面確實存在著意識上的缺失，所以在教學(xué)過程中，教師需設(shè)計題組來啟發(fā)和引導(dǎo)，采用題組訓(xùn)練的方式進(jìn)行知識的梳理，這樣的操作必然會讓學(xué)生在掌握基礎(chǔ)知識技能的同時，有助于重點的突出，并且可以在認(rèn)知提升的基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).當(dāng)然，有些知識的重點和難點是相輔相成的，這就要求教師在設(shè)計題組時，既需有利于重點的凸顯，也要有助于難點化解，同時還需關(guān)注學(xué)生對知識的理解和深化，從而收到事半功倍的效果.

例如，筆者在執(zhí)教“函數(shù)的單調(diào)性”后，選用了“求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大（?。┲怠钡念}組來實施針對性訓(xùn)練：

例3：（1）設(shè)f（x）=x2-2x-2，x∈[-2，2]，求f（x）的最大值、最小值;

（2）設(shè)f（x）=x2-2x-2，若有f（x）在區(qū)間[-2，t]上的最大值g（t），試求出g（t）的表達(dá)式;

（3）設(shè)f（x）=x2-2x-2，若有f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最小值g（t），試求出g（t）的表達(dá)式;

（4）設(shè)f（x）=x2-2ax-2，若有f（x）在區(qū)間[-2，1]上的最小值g（a），試求出g（a）的表達(dá)式.

分析：以上題組主要探究的是“一元二次函數(shù)的最值問題”，而突破這類問題的關(guān)鍵之處是需引導(dǎo)學(xué)生溝通一元二次函數(shù)的圖像，理清函數(shù)對稱軸和定區(qū)間之間的位置關(guān)系. 在以上4個變式題組訓(xùn)練中，學(xué)生對此問題有了一個深刻的認(rèn)識.

讓學(xué)生在題組教學(xué)中實現(xiàn)難點突破

高中教學(xué)中體現(xiàn)出來的難點眾多，根本原因在于認(rèn)知水平的差異性. 這就要求廣大數(shù)學(xué)教師需充分發(fā)揮好自身的主導(dǎo)作用，積極主動地進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，從而在教學(xué)過程中更加有效地指導(dǎo)學(xué)生，突破難點. 當(dāng)然，難點的強化，若僅僅借助于反復(fù)強調(diào)和講解自然是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，教師可以通過設(shè)計題組這一專用武器，引領(lǐng)學(xué)生展開“突破難點”的專門性訓(xùn)練，通過思考、探究和探討找尋真理，有效攻克難點.

例4：（1）求函數(shù)y=log x的單調(diào)增區(qū)間;

（2）求函數(shù)y=x2-6x+8的單調(diào)增區(qū)間;

（3）求函數(shù)y=log2（x2-6x+8）的單調(diào)增區(qū)間;

（4）已知函數(shù)y=loga（2-ax）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減，試求出a的取值范圍.

分析：以上題組中，1-2題兩道具體的初等函數(shù)單調(diào)區(qū)間問題，從函數(shù)圖像出發(fā)，學(xué)生解決起來較為簡單;不過3-4題這兩道復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間問題，則是函數(shù)這一章節(jié)中的一個教學(xué)難點，成為長期困擾教師的一個問題，通過題組教學(xué)，學(xué)生理解起來就簡單多了.

略解（3）設(shè)y=log2t，t（x）=x2-6x+8，且有t（x）=x2-6x+8>0. 因為y=log t在（0，+∞）上單調(diào)遞增，即為求函數(shù)y=log2（x2-6x+8）的單調(diào)增區(qū)間，也就是求內(nèi)函數(shù)t（x）=x2-6x+8的單調(diào)增區(qū)間，因此只需從一元二次函數(shù)t（x）=x2-6x+8的圖像著手解決即可. （作圖時需考慮定義域t>0）

（4）設(shè)y=logat，t（x）=2-ax，且有t（x）=2-ax>0. 因為a>0，所以內(nèi)函數(shù)t=2-ax在區(qū)間[0，1]單調(diào)遞減. 因為函數(shù)y=loga（2-ax）在區(qū)間[0，1]單調(diào)遞減，所以外函數(shù)y=logat在區(qū)間[0，1]單調(diào)遞增，所以a>1. 又因為t（x）=2-ax>0在[0，1]上恒成立，所以t（x）min=t（1）=2-a>0，所以1

若將題中區(qū)間[0，1]轉(zhuǎn)化為（0，1），結(jié)果會發(fā)生什么樣的變化呢？思考后可以得出，前半部分相同，不過由于t（x）min>t（1）=2-a≥0，所以1

讓學(xué)生在題組教學(xué)中發(fā)展思維

題組教學(xué)可以將相關(guān)知識的銜接中的思維機(jī)制充分暴露，據(jù)此它可以作為發(fā)展學(xué)生思維能力的有效載體[3] . 因此，教師在設(shè)計題組時，應(yīng)鼓勵學(xué)生大膽設(shè)想、敢于質(zhì)疑，彰顯自我認(rèn)知的思維過程，讓學(xué)生的思維得到有效激發(fā)和訓(xùn)練.

例5：（1）一個三角形的各邊可否組合為等比數(shù)列？若能，試求出公比q的取值范圍;若不能，請闡明原因.

（2）一個直角三角形的三邊可否組合為等差數(shù)列？若能，試求出該數(shù)列;若不能，請闡明原因.

（3）若一個三角形的三個內(nèi)角和所對三邊均可組合為等差數(shù)列，該三角形是什么三角形？

解：（1）令該三角形三邊為a，aq，aq2（a>0，q>0），那么，當(dāng)q≥1時，最大邊是aq2，所以a+aq>aq2;當(dāng)0a.可得1≤q< 或

（2）若設(shè)直角三角形的三邊組合為等差數(shù)列，那么三邊為a-d，a，a+d，且公差為d（d>0），則（a-d）2+a2=（a+d）2，可得d= . 所以該直角三角形三邊長度為 a，a， a時可構(gòu)成等差數(shù)列.

（3）因為該三角形三個內(nèi)角為等差數(shù)列，那么三個角為α-β，α，α+β，則（α-β）+α+（α+β）=π，可得α= . 因為該三角形三邊為等差數(shù)列，那么三邊為a-d，a，a+d，根據(jù)余弦定理，可得cosα= ，所以 = ，可得d=0，所以該三角形為等邊三角形.

總之，在以題組教學(xué)為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開數(shù)學(xué)探究的過程中，教師需充分發(fā)揮學(xué)生的自主性，讓學(xué)生全面參與到思考和探究中去，讓學(xué)生更加全面地獲取數(shù)學(xué)知識技能，從而獲得各方面能力的提升.

參考文獻(xiàn)：

[1] ?黃亞新. 高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的“題組教學(xué)”及其對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響[J]. 上海師范大學(xué)，2013，22（6）.

[2] ?張明星. 高中數(shù)學(xué)題組教學(xué)模式下分組合作學(xué)習(xí)初探[J]. 雜文月刊：學(xué)術(shù)版，2016（3）.

[3] ?李翠艷. 利用題組教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的歸納和分析能力[J]. 考試周刊，2011（7）.