淺談高中數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力的組成

摘?要：在數(shù)學(xué)解題實踐中嚴(yán)把審題關(guān)，思維方向正確，運(yùn)算準(zhǔn)確是解題成功的關(guān)鍵，其中運(yùn)算求解能力貫徹解題的始終，運(yùn)算求解注意運(yùn)算的組成與合成，注重挖掘隱藏信息提供有效運(yùn)算，選擇合理公式、法則和算理進(jìn)行正確運(yùn)算。

關(guān)鍵詞：為合理與有效運(yùn)算善于挖掘信息;知識遷移使用;選擇方法;估值計算

數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，在數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析中都涉及數(shù)學(xué)運(yùn)算。運(yùn)算求解能力是運(yùn)用定義、法則、公式進(jìn)行鏈接演算的一項基礎(chǔ)能力，運(yùn)算注意分解分步環(huán)節(jié)，并與思維和算法算理有機(jī)結(jié)合，專注運(yùn)算的分解與正確計算結(jié)合。怎樣才能減少和避免因運(yùn)算的丟分？本文就運(yùn)算求解能力的組成談幾點看法。

一、?挖掘題目隱藏信息合理運(yùn)算求解

量化已知條件，挖掘題中的隱藏條件，觀察圖形的具體特征，抓住問題所需找到運(yùn)算求解的方向，結(jié)合代數(shù)和平面幾何的關(guān)系捕捉到簡化運(yùn)算的關(guān)鍵點。

個案1：（多項選擇題）已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左右焦點，且|F1F2|=2b2a，點P為雙曲線右支上一點，I為△PF1F2的內(nèi)心，過原點O作PI的平行線交PF1于點K，若S△IPF1=S△IPF2+λS△IF1F2成立，則下列結(jié)論正確的有（）

A.?λ=5-12

B.?λ=5+12

C.?點I的橫坐標(biāo)為a

D.?PK=a

挖掘信息1.?由|F1F2|=2b2a=2c通過運(yùn)算變形化歸轉(zhuǎn)化為解方程e2-e-1=0運(yùn)算得

e=5+12。

挖掘信息2.?從選項A，B聯(lián)想到λ與離心率e有關(guān)，量化信息2：S△IPF1=S△IPF2+λS△IF1F2，

設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，選擇三角形面積公式運(yùn)算可得

12|PF1|·r=12|PF2|·r+λ·12|F1F2|·r，則有|PF1|-|PF2|=λ·2c=2a，故

λ=ac=1e=5-12，故A，B錯。

挖掘信息3.?設(shè)內(nèi)切圓I與PF1、PF2、F1F2相切于點E、G、D，結(jié)合圓的性質(zhì)，由雙曲線的定義求解運(yùn)算可推出|PF1|-|PF2|=|DF1|-|DF2|，從而有2a=2xD，故點I的橫坐標(biāo)為a，C正確。

挖掘信息4.?I為△PF1F2的內(nèi)心，延長PI交F1F2于點M，由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)有

|PF1||PF2|=|F1M||F2M|=|F1M|2|OF1|-|F1M|，變形運(yùn)算可得|F1M|=2|OF1|·|PF1||PF1|+|PF2|?①。

挖掘信息5.?PI∥OK，|F1K||PF1|=|OF1||F1M|=|PF1|-|PK||PF1|②，把①代入②運(yùn)算化簡得

|PF1|-|PK|=12（|PF1|+|PF2|），即|PK|=12（|PF1|-|PF2|）=a，D正確，答案選

ACD。

多項選擇題是新高考數(shù)學(xué)改革的必考題，這對教師平時的運(yùn)算教學(xué)上升到一個新的高度。本題通過雙曲線的幾何性質(zhì)找到運(yùn)算求解離心率的途徑，信息2，3平面幾何圓的性質(zhì)和雙曲線的定義通過變形運(yùn)算捕捉到λ與e的關(guān)系，再通過運(yùn)算求解出點I的橫坐標(biāo)，為了求出

PK=a，需要深層次挖掘出隱藏條件，在運(yùn)用內(nèi)角平分線性質(zhì)和雙曲線定義運(yùn)算求解中進(jìn)行了深度的變形運(yùn)算，突出對運(yùn)算組成的化歸、分解，本題體現(xiàn)代數(shù)恒等變形、平面幾何有關(guān)性質(zhì)、圓錐曲線的定義和幾何性質(zhì)，通過對問題目標(biāo)的綜合運(yùn)算，既考查了思維的深度同時也考查了運(yùn)算的寬度，在整個破解過程中展示運(yùn)算算理和符號運(yùn)算，在化歸轉(zhuǎn)化中運(yùn)用所學(xué)知識合理控制計算量，優(yōu)化解決問題。

從個案1我們看到對題目已知信息的量化和挖掘能力是運(yùn)算求解能力的一個重要組成部分。運(yùn)算求解能力是思維能力和運(yùn)算技能的結(jié)合，運(yùn)算包括對數(shù)字的計算、估值和近似計算，對式子的組合變形與分解變形，對幾何圖形各幾何量的計算求解等，運(yùn)算求解能力包括分析運(yùn)算條件、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算公式、確定運(yùn)算程序等一系列過程中的思維能力，也包括在實施運(yùn)算過程中遇到障礙而調(diào)整運(yùn)算的能力。

二、?定義、公式、法則和定理的運(yùn)用能力

運(yùn)算，是指依照數(shù)學(xué)法則，求出一個算題或一個算式的結(jié)果，數(shù)學(xué)上，運(yùn)算是一種行為，通過已知量的可能的組合，獲得新的量，計算同樣一個算題時所選用的依據(jù)可能不同，這就造成了運(yùn)算過程的繁簡程度不同，依據(jù)指的就是數(shù)學(xué)中的定義、公式、法則和定理。

個案2：若2x=3y，則xy=。

解：本題考查對數(shù)的運(yùn)算，所求為用代數(shù)式表示對數(shù)。

解法1：設(shè)2x=3y=t，則x=log2t，y=log3t。

∴xy=log2tlog3t=1log3t1log2t=logt3logt2=log23。

解法2：∵2x=3y，則log22x=log23y，

∴xlog22=ylog23，∴xy=log23。

解法2抓住題目所求的目標(biāo)，在對數(shù)有意義的前提下應(yīng)用運(yùn)算性質(zhì)兩邊取以2為底的對數(shù)，根據(jù)不同的問題選擇公式的正用或逆用，直接導(dǎo)出結(jié)果，快捷找到運(yùn)算的途徑和方法。

三、?運(yùn)算方法的選擇能力

運(yùn)算方法的選擇要科學(xué)有效，代數(shù)問題幾何化運(yùn)算，幾何問題坐標(biāo)化運(yùn)算，代數(shù)與幾何數(shù)形結(jié)合運(yùn)算等都是選擇的方向，正確的選擇為快速準(zhǔn)確求解運(yùn)算指明方向。

個案3：已知直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為（）

圖1

圖2

A.?32

B.?155

C.?105

D.?33

解法：將直三棱柱ABCA1B1C1補(bǔ)形成直四棱柱ABCDA1B1C1D1（如圖2），連接AD1，B1D1，則AD1∥BC1，則∠B1AD1為異面直線AB1與BC1所成的角（或其補(bǔ)角），易求得AB1=5，BC1=AD1=2，B1D1=

3，由余弦定理得cos∠B1AD1=105。

解法的運(yùn)算求解方法采取幾何法中補(bǔ)形平移轉(zhuǎn)化法求異面直線所成角，利用余弦定理破解?？梢姺椒ㄟx擇的不同，運(yùn)算量的大小也不一樣。在個案3對問題的運(yùn)算求解中，凸顯在坐標(biāo)法和幾何法的選擇上，代數(shù)與幾何相結(jié)合運(yùn)算，立體幾何中平面幾何知識和正余弦定理的使用對運(yùn)算求解的效果也存在差異，解法運(yùn)算的時間長度小，達(dá)到了優(yōu)化運(yùn)算的目的。

四、?數(shù)學(xué)思想和方法的運(yùn)用能力

數(shù)學(xué)思想包括數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化思想等，數(shù)學(xué)方法包括待定系數(shù)法、換元法、反證法、分離變量法等基本方法，這些數(shù)學(xué)思想和方法的運(yùn)用能力也是運(yùn)算能力的一個重要組成部分。

個案4?（多項選擇題）下列命題為真命題是（）

A.?ln3<3ln2

B.?lnπ<πe

C.?215<15

D.?3eln2<42

解：分析一：從選項看背景是有關(guān)對數(shù)、指數(shù)、根式的大小比較問題，高考不能使用計算器，因此估值運(yùn)算行不通，探究四個選項從A入手，利用對數(shù)的運(yùn)算法則變形可得ln33

分析二：設(shè)函數(shù)f（x）=lnxx，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)知識可知f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，A即為f（3）

分析三：B可變形為lnπππ>e>0，B錯。

分析四：注意到函數(shù)f（x）解析式的結(jié)構(gòu)特點，由y=lnx為遞增函數(shù)，將指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對數(shù)式，等價于證明15ln2ln22=ln44=ln1616得

f（15）>f（16），e<15<16，f（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞減，C正確，D可化為ln88

比較對數(shù)、指數(shù)、根式的大小關(guān)系，本題解題的關(guān)鍵是構(gòu)造出函數(shù)f（x），為了構(gòu)造出函數(shù)必須將選項不等式進(jìn)行運(yùn)算變形，充分運(yùn)用對數(shù)運(yùn)算法則公式logaMn=nlogaM進(jìn)行正用和逆用即可達(dá)到目的。

運(yùn)用函數(shù)導(dǎo)數(shù)知識可求出f（x）的單調(diào)性與極值（如圖）。

本題的運(yùn)算變形滲透了化歸與轉(zhuǎn)化思想，在運(yùn)算中蘊(yùn)含思維分析，在運(yùn)算中運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行不等式化歸轉(zhuǎn)化，可見數(shù)學(xué)思想和方法的運(yùn)用能力也是運(yùn)算能力的一個重要組成部分。

從上面的個案分析，運(yùn)算的合理性是運(yùn)算求解能力的核心，運(yùn)算的合理性體現(xiàn)對題目信息點的挖掘，體現(xiàn)在思維方法的選擇上，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)思想與方法的運(yùn)用上，運(yùn)算在數(shù)學(xué)概念、公式以及二級結(jié)論的遷移使用上也是關(guān)鍵，對數(shù)的運(yùn)算、式的運(yùn)算的考查注意代數(shù)問題幾何化，運(yùn)算過程與思維過程交匯進(jìn)行，數(shù)學(xué)運(yùn)算離不開思維，運(yùn)算過程包含著思維過程。運(yùn)算的成功是知識與能力的掌握，在平時教學(xué)中注重知識結(jié)構(gòu)的構(gòu)建和網(wǎng)絡(luò)化，課堂注重講練結(jié)合，精講精練，突出運(yùn)算的精髓，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，把運(yùn)算求解能力貫穿于整個教與學(xué)的過程中，通過課堂、練習(xí)、測試等反思運(yùn)算的全程，提升學(xué)生掌握運(yùn)算過程中所用的知識、方法和數(shù)學(xué)思想，進(jìn)一步有效地用來解決數(shù)學(xué)綜合運(yùn)算問題。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳丙妹.數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生自主探索能力.中學(xué)教學(xué)參考，2011（107）.

作者簡介：張建平，福建省龍巖市，福建省連城縣第一中學(xué)。