用高中知識簡化求解多狗追擊問題

王 菁 華正和

(淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院 江蘇淮安 223300)

追擊問題是一種典型的物理問題，也是高中物理競賽的典型題目，其中一個有趣的例子是“多狗追擊”：開始時，幾條狗分別處于正多邊形的頂點上，吹哨放狗，狗以相同不變的速率相互追逐。文獻[1-6]分別利用不同的方法和思路，求出了狗追擊所需時間、追擊經(jīng)過的總路程。文獻[1]用到了復變函數(shù)和微積分，文獻[2-4]用到了極坐標和微積分，文獻[5，6]只用到了微積分。幾位作者雖順利解決了多狗追擊問題，但都用到了高等數(shù)學知識，這樣的解題方法和思路顯然不適合高中生。

本文采用先易后難的思路，首先處理三狗追擊問題，通過對問題幾何關系的分析，用相對淺顯的高中知識求出狗追擊所用時間、狗追擊經(jīng)過的總路程及追擊過程中狗的加速度大小，再將此分析方法擴展到N狗追擊問題。

一、三狗追擊問題

如圖1所示，初始時，三狗分別位于正三角形的頂點A、B、C。隨著三狗相互追擊，正三角形不斷旋轉，旋轉過程中，三角形邊長也逐漸變小，直至為0。

(一)狗追擊所需時間

1.法一

設經(jīng)過很短的時間Δt，三角形旋轉縮小為A1B1C1，此時邊長A1B1長度為L1。邊長AB變?yōu)锳1B1，縮短來源于A點處狗的貢獻和B點處狗的貢獻。其中，A點處狗的貢獻為vΔt，B點處狗的貢獻為vΔtcos∠B=1/2vΔt。由此得

同理，再經(jīng)過Δt，此時邊長變?yōu)長2，有

由此類推

由此得

圖1 三狗追戲問題

追擊結束，三角形邊長Ln=0，得追擊所用時間

2.法二

設經(jīng)過Δt，三角形旋轉縮小為A1B1C1。此時，三角形頂點A至中心的距離由k0減小為k1，如圖1所示。其長度減小完全來源于A點處狗的貢獻。

同理得

……

由此得

追擊結束，三角形頂點到中心的距離kn=0，考慮到得追擊所用時間

(二)狗追擊加速度

如圖1所示，追擊過程中，經(jīng)過時間Δt，邊長AB旋轉變?yōu)锳1B1，轉過的角度為Δθ。因為Δt很小，所以Δθ也很小，有

由于追擊過程中狗的速率不變，故狗追擊過程中的加速度就等于向心加速度

由此可見，隨著三角形邊長的減小，此加速度與邊長成反比例增加。

(三)狗追擊走過的總路程

二、四狗追擊問題

如圖2所示，初始時，四狗位于正四邊形的頂點，正四邊形邊長為L。隨著狗相互追擊，正四邊形不斷旋轉，旋轉過程中，四邊形邊長也逐漸變小，直至為0。

(一)狗追擊所需時間

1.法一

設經(jīng)過Δt，四邊形旋轉縮小為A1B1C1D1。此時，邊長A1B1長度為L1。AB變?yōu)锳1B1，邊長縮短同樣來源于A點處狗的貢獻和B點處狗的貢獻。其中，A點處狗的貢獻為vΔt，B點處狗的貢獻為0。

同理可得

圖2 四狗追戲問題

追擊結束，四邊形邊長Ln，故L=vt，得追擊所用時間

2.法二

設經(jīng)過Δt，正四邊形頂點A至中心的距離由k0減小為k1，如圖2所示。其長度減小完全來源于A點處狗的貢獻。

圖3 N狗追戲問題

同理可得

追擊結束，四邊形頂點到中心的距離kn=0，故由此得追擊所用時間

(二)狗追擊加速度

同理可得經(jīng)過時間Δt，邊長AB旋轉的角度Δθ，有

故

(三)狗追擊走過的總路程

三、N狗追擊問題

正N邊形用正六邊形示意，如圖3所示。初始時，N狗分別位于正N邊形的頂點，正N邊形邊長為L。隨著狗相互追擊，正N邊形不斷旋轉。旋轉過程中，N邊形邊長也逐漸變小，直至為0。

(一)狗追擊所需時間

1.法一

設經(jīng)過Δt，N邊形旋轉，此時的邊長A1B1長度為L1。邊長AB縮短為A1B1，縮短來源于A點處狗的貢獻和B點處狗的貢獻。其中，A點處狗的貢獻為vΔt，B點處狗的貢獻為

同理得

追擊結束，N邊形邊長Ln=0，故

得追擊所用時間

2.法二

設經(jīng)過Δt，正N邊形頂點A至中心的距離由k0減小為k1。其長度減小完全來源于A點處狗的貢獻，

同理得

追擊結束，N邊形頂點到中心的距離kn=0，考慮到由此得追擊所用時間

(二)狗追擊加速度

同理可得經(jīng)過時間Δt，邊長AB旋轉的角度Δθ，有

故狗追擊加速度

(三)狗追擊走過的總路程