對函數(shù)對應(yīng)法則的一種認(rèn)識與應(yīng)用

孟辛亥

(甘肅省華亭市第一中學(xué) 甘肅華亭 744100)

函數(shù)的對應(yīng)法在函數(shù)概念中居于核心地位，極為抽象。教師在高一函數(shù)入門教學(xué)中，常常有學(xué)生在學(xué)習(xí)有關(guān)函數(shù)的問題中出錯(cuò)。[1]為了避免此類錯(cuò)誤，筆者在最近幾年的教學(xué)中，總結(jié)了比較通俗的方法，理解和應(yīng)用這一要素，收效較好。

方法提出：把函數(shù)的對應(yīng)法則理解為“加工廠”(不妨認(rèn)為是木材加工廠)。

理論依據(jù)：一是因?yàn)楹瘮?shù)(Function)在中文意義中就含有“功能，操作，程序”之意。二是函數(shù)是變量的數(shù)學(xué)，而加工廠的原材料也可以是變化的。

應(yīng)用舉例：如f(x)=x2-2x+3，不妨可以理解為：f是一個(gè)木材加工廠，( )內(nèi)的x可先視為原材料“楊木”，其加工的成品為x2-2x+3，加工程序是“楊木的平方減去它的2倍，再加3”。那么，f(t)=t2-2t+3，便可理解為在同一加工廠(f)的操作下，當(dāng)原材料變?yōu)閠(柳木)時(shí)，程序是不變的，加工的成品自然為t2-2t+3。以下具體示例。

一、求函數(shù)解析式或求函數(shù)值

例1：若f(x+1)=x2-x+2，求f(x)。

解法1：分析：由于產(chǎn)品x2-x+2中無法看出原材料x+1(如楊木)的成分，故可變形顯示其成分，明確其程序。即配湊法。

由f(x+1)=x2-x+2=(x+1)2=3(x+1)+4，可得：

加工廠(f)的加工程序是“原材料的平方減去它的3倍再加4”，從而f對新材料x(柳木)的加工程序也應(yīng)該是相同的，即產(chǎn)品是“柳木(x)的平方減去它的3倍再加4”，那么，有f(x)=x2-3x+4。[2]

解法2：換元法。令x+1=t，則x=t-1，由原函數(shù)易得：

f(t)=t2-3t+4

如此可得：

加工廠(f)的加工程序是“原材料的平方減去它的3倍，再加4”。從而，易得f(x)=x2-3x+4。

二、求函數(shù)的定義域

解：由于是同一加工廠，其對原材料的加工程序是一樣的。同時(shí)，我們可以要求它對原材料的大小尺寸也是同一個(gè)范圍。因而，三種原材料“楊木”(x)和“柳木”()、“松木”()所要求的范圍是相同的。而“楊木”(x)的范圍易求為 (-2，2)。從而有

例2：已知f(x-1)的定義域?yàn)閇-1，5]，求f(2x-1)的定義域。

解：由上可知，同一加工廠對原材料的要求范圍是相同的。因而，“楊木”(x-1)和“柳木”的范圍是相同的。又因?yàn)椋蠛退o的都是基本元x的范圍?？梢韵惹蟪鰂(x)的定義域，故有：

即“楊木”(x-1)的范圍是[-2，4]，從而f(x)的定義域是[-2，4]。

則f(2x-1)的定義域?yàn)椤?/p>

參考練習(xí)：

2.(08江西，文3) 若函數(shù)y=f(x)的定義域是[0，2]，則函數(shù)的定義域是( )

3.(05江蘇，17) 17.已知a，b為常數(shù)，若

f(x)=x2+4x+3，f(ax+b)=x2+10x+24，

則5a=b=____。

附參考答案：1.C， 2.B， 3.2.

以上是筆對函數(shù)對應(yīng)法則的一點(diǎn)粗淺認(rèn)識，希望能對同學(xué)們關(guān)于函數(shù)的學(xué)習(xí)提供一點(diǎn)幫助。