五說(shuō)微積分學(xué)中的這個(gè)重要函數(shù)

陸宗斌

(蘇州健雄職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 太倉(cāng)215400)

在《微積分學(xué)中一個(gè)重要函數(shù)》[1]、《再說(shuō)微積分學(xué)中的這個(gè)重要函數(shù)》[2]、《三說(shuō)微積分學(xué)中的這個(gè)重要函數(shù)》[4]、《四說(shuō)微積分學(xué)中的這個(gè)重要函數(shù)》[5]諸文中，我們對(duì)第一個(gè)重要極限

本文就對(duì)f(x)、F(x)進(jìn)行積分討論。

1 關(guān)于不定積分計(jì)算

由于f(x)、F(x)均在定義域內(nèi)連續(xù)，所以它們的原函數(shù)均存在，即它們都是可積的，于是不妨設(shè)：

當(dāng)冪級(jí)數(shù)引入后，再用逐項(xiàng)積分就有：

2 關(guān)于定積分計(jì)算

2.1 F(x)在區(qū)間[0,a]上的積分

由于F(x)為偶函數(shù)，所以先考慮[0,a]區(qū)間上的積分：

這是一個(gè)一般項(xiàng)趨于零的交錯(cuò)級(jí)數(shù)，是收斂的！

利用計(jì)算機(jī)（電子表格）可以計(jì)算出上面級(jí)數(shù)的具體數(shù)值：

……（限于篇幅，不進(jìn)行更多的積分值計(jì)算了）

2.2 當(dāng)積分區(qū)間為時(shí)，應(yīng)用定積分公式有：

2.3 F(x)在區(qū)間[a,b]上的積分

由積分區(qū)間可加性公式可得：

這是兩個(gè)收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)之差，是收斂的。

2.4 關(guān)于f(x)的定積分

當(dāng)區(qū)間[a,b]包含x=0 點(diǎn)時(shí)，則屬于廣義（瑕）積分范疇。

3 廣義積分

3.1 間斷點(diǎn)之瑕積分

因?yàn)閤=0 是f(x)的不連續(xù)點(diǎn)，且為偶函數(shù)，所以只須考察區(qū)間[0,a]上的瑕積分：

3.2 無(wú)窮區(qū)間之廣義積分