初中數(shù)學(xué)中關(guān)于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的試題探究

摘?要：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是中考數(shù)學(xué)的高頻考點(diǎn)，近幾年中考試題中，以動(dòng)點(diǎn)為基礎(chǔ)的圖形平移、旋轉(zhuǎn)和剪拼問(wèn)題頻頻出現(xiàn)在各類(lèi)題型當(dāng)中，同時(shí)，由于中考數(shù)學(xué)中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題題型靈活多樣、難度大、綜合性強(qiáng)，因此往往是命題者的寵兒。

關(guān)鍵詞：素養(yǎng);解題;特殊;模型

一、 中考試題中動(dòng)態(tài)幾何類(lèi)問(wèn)題的命題特征

動(dòng)態(tài)幾何知識(shí)模塊具有很大的靈活性，熟悉這類(lèi)題型的試題特征是提高解題效率、獲得解題策略的重要途徑。筆者選取甘肅省不同地區(qū)近5年的中考試題真題，通過(guò)對(duì)試題中動(dòng)態(tài)幾何部分知識(shí)的分類(lèi)統(tǒng)計(jì)，歸納出中考試題的以下命題規(guī)律。

（一）知識(shí)點(diǎn)的分析

歸納歷年中考試題中動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題的考點(diǎn)分布，對(duì)于中考備考具有重要的指導(dǎo)意義。筆者在整理近5年省內(nèi)各地區(qū)的中考試題后發(fā)現(xiàn)，在以往的試題中各知識(shí)點(diǎn)的分布中，試題中關(guān)于動(dòng)態(tài)幾何的知識(shí)點(diǎn)包括三類(lèi)：其一，圖形的變化性質(zhì)、其二，銳角三角函數(shù);其三，圖形與坐標(biāo)。其中，圖形的變換包括圖形的平移、對(duì)稱(chēng)與旋轉(zhuǎn)、圖形的相似、投影與三視圖;三角函數(shù)主要考查了銳角三角函數(shù)和解直角三角形及其應(yīng)用;圖形與坐標(biāo)則主要考查圖形運(yùn)動(dòng)中對(duì)應(yīng)的位置的變化。

新課標(biāo)中動(dòng)態(tài)幾何知識(shí)模塊也有比較詳細(xì)的劃分，同時(shí)，考綱中關(guān)于動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題涉及的有三角形、四邊形、圖形的變化等相關(guān)知識(shí)。三角形相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是其中的高頻考點(diǎn)，比例多達(dá)28%，而四邊形考查比例為11%。通過(guò)對(duì)考題的進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)與分析，筆者還發(fā)現(xiàn)面積公式、勾股定理、三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定或者相似性的證明是三角形相關(guān)題型中?？嫉狞c(diǎn)。圖形的變化則考查了圖形的平移、對(duì)稱(chēng)和旋轉(zhuǎn)，圖形旋轉(zhuǎn)的考查頻次最高，5年4考，對(duì)圖形平移的考查有逐年弱化的趨勢(shì)。

（二）試題類(lèi)型分析

根據(jù)對(duì)動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題的分類(lèi)研究，以及真題中求解類(lèi)型和變式升級(jí)討論可知，求解類(lèi)型的題目包括：求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)、求函數(shù)表達(dá)式、猜想證明“最值”問(wèn)題等題型。其中猜想證明類(lèi)題目則包含證明三角形的全等、三角形的相似、線(xiàn)段的長(zhǎng)度、三角形的角度等?！白钪怠眴?wèn)題包括面積的最值、線(xiàn)段最值等。求函數(shù)表達(dá)式，一方面涉及中學(xué)常見(jiàn)的基本函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)，另一方面還包括動(dòng)態(tài)問(wèn)題中與圖形面積、線(xiàn)段最值等有關(guān)的函數(shù)關(guān)系。根據(jù)統(tǒng)計(jì)與分析還發(fā)現(xiàn)，甘肅省近五年試題中，動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算、函數(shù)關(guān)系式、猜想證明以及線(xiàn)段或面積的最值問(wèn)題考查次數(shù)較多分別為13，7，7，10。尤其是猜想證明類(lèi)題型最多，這類(lèi)題目難度較大，且具有一定的區(qū)分度，容易拉開(kāi)分值差距，失分最嚴(yán)重。

（三）試題特點(diǎn)的分析

中考數(shù)學(xué)試題一般具有以下兩個(gè)顯著特點(diǎn)：其一，基礎(chǔ)性與梯度化相結(jié)合，其二，空間觀(guān)點(diǎn)與推理論證并舉。這樣的試題特點(diǎn)也將貫穿于以后的中考試題當(dāng)中，是任何命題人都參照?qǐng)?zhí)行的命題準(zhǔn)則。

首先就第一點(diǎn)而言，一方面，基礎(chǔ)性體現(xiàn)出基礎(chǔ)教育的價(jià)值，梯度化重點(diǎn)突出了人才選拔。盡管省內(nèi)各個(gè)地區(qū)對(duì)基礎(chǔ)性題的考查比重是不完全一致的，但是總體上看來(lái)，各套試題對(duì)學(xué)生不可或缺的幾何基本素養(yǎng)都進(jìn)行了重點(diǎn)考查，如白銀市2019年中考試題中第3題考查了簡(jiǎn)單組合圖的三視圖，同年的蘭州卷選擇題第15題則考查了反比例函數(shù)的幾何性質(zhì)等題目，都圍繞著初中幾何教學(xué)中最基本的概念、原理和規(guī)律進(jìn)行考核，中等偏下難度的題目占到總分值的8成以上。另一方面，中考作為重要的選拔性考試，數(shù)學(xué)考試中的動(dòng)態(tài)幾何仍然保持著合理的梯次設(shè)置，這樣的設(shè)置很好地貼合了不同學(xué)習(xí)能力學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。

其次，各地區(qū)的中考試題中對(duì)學(xué)生應(yīng)該具備的空間觀(guān)點(diǎn)和推理論證能力都有不同程度的體現(xiàn)。如蘭州卷選擇題第3題考查了簡(jiǎn)單組合圖的三視圖，白銀卷第5題考查了中心對(duì)稱(chēng)和軸對(duì)稱(chēng)的概念。

二、 動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題的解題策略

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師一定要明確，動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題的解決一定是建立在大量的知識(shí)積累基礎(chǔ)上的。在教學(xué)實(shí)踐中，教師一方面要讓學(xué)生熟悉常見(jiàn)的基本圖形、常用的數(shù)學(xué)模型以及常用輔助性作圖方法;另一方面，讀圖能力是中學(xué)幾何教學(xué)的重要方面，要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，這是解決動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題的重要思想方法。鑒于學(xué)生動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題解題中的基本現(xiàn)狀，筆者總結(jié)出以下對(duì)應(yīng)策略。

（一）以不變應(yīng)萬(wàn)變

變和不變總是相對(duì)而言的，要用辯證的思維看待數(shù)學(xué)問(wèn)題。在動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題中，當(dāng)某些變量變化時(shí)，總有一些量是保持不變的。學(xué)生要認(rèn)真地審題，從變化當(dāng)中提取有效信息，找到隱含在變化當(dāng)中的不變的量。同時(shí)要注意，獲得不變的量往往可以通過(guò)對(duì)圖形進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)等變形后出現(xiàn)。

例1?如圖，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AB=23cm，點(diǎn)O從C點(diǎn)出發(fā)，沿CB以每秒1cm的速度向B點(diǎn)方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了t秒（t>0）時(shí)，以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓與邊AC相切于點(diǎn)D，與BC邊所在直線(xiàn)相交于E、F兩點(diǎn)，過(guò)E作EG⊥DE交直線(xiàn)AB于G，連結(jié)DG。

（1）求BC的長(zhǎng);

（2）若E與B不重合，問(wèn)t為何值時(shí)，△BEG與△DEG相似？

解析：Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AB=23。

AB∶BC∶AC=1∶3：2。

BC=3AB=3×23=6。

（2）OC=t，OD=t/2，DE=（3/2）×t。

BE=6-3t/2，GE=2BE=12-3t。

△BEG∽△DEG，則GE/DE=3。

或DE/GE=3。

（12-3t）=3t/2，24=9t，t=83。

或12-3t=12t，24=7t，t=247。

在類(lèi)似的動(dòng)態(tài)問(wèn)題的解決中，學(xué)生一定要明確解題的關(guān)鍵，要抓住動(dòng)態(tài)問(wèn)題中不變的東西，用辯證的觀(guān)點(diǎn)看待動(dòng)和靜之間的相互關(guān)系。要以動(dòng)為突破口，將動(dòng)態(tài)的變化轉(zhuǎn)化為靜態(tài)的可以解決的問(wèn)題中來(lái)。

（二）以一般對(duì)特殊

數(shù)學(xué)解題的本質(zhì)是實(shí)現(xiàn)未知問(wèn)題向已知問(wèn)題的轉(zhuǎn)化。在中學(xué)試題中，動(dòng)態(tài)幾何的動(dòng)線(xiàn)型問(wèn)題的解題關(guān)鍵也常在于能否把特殊的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)情境中，用一般模型去處理特殊關(guān)系，最值問(wèn)題更是如此。如以下問(wèn)題中的最短距離的求解。

例2?一艘貨輪位于海上的A點(diǎn)，P為燈塔，A此時(shí)處于燈塔P的南偏西60°的方位，當(dāng)貨輪朝東行駛20海里后到達(dá)點(diǎn)B，B在P的南偏西45°的某處，若貨輪繼續(xù)朝著正東行駛，問(wèn)行駛過(guò)程中貨輪與燈塔P的最短距離。（結(jié)果保留根號(hào)）

【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用;方向角問(wèn)題。

【分析】利用題意得到AE⊥PE，∠APE=60°，∠BPE=45°，AB=20，如圖所示，在Rt△APE中，可以計(jì)算出

AE=3PE，再判斷△PBE為等腰直角三角形得到BE=PE，然后通過(guò)AE-BE=AB計(jì)算出PE即可。

【解答】解：延長(zhǎng)線(xiàn)段AB，然后作點(diǎn)P關(guān)于該延長(zhǎng)線(xiàn)的垂線(xiàn)，相交于點(diǎn)E，如圖，

由“垂線(xiàn)段最短”可知：PE的長(zhǎng)就是輪船航行途中與燈塔P的最短距離，在Rt△PBE中，∠BPE=45°，∴BE=PE，在Rt△APE中，∠APE=60°，∴AE=3PE，

∴3PE-PE=20，

∴PE=203-1=103+10。

答：輪船航行的最短距離是（103+10）海里。

由此可見(jiàn)，中考試題當(dāng)中涉及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的部分，多是圍繞點(diǎn)、線(xiàn)和面之間的相對(duì)位置關(guān)系展開(kāi)，學(xué)生在解題中一定要找準(zhǔn)變量之間的特殊關(guān)系，建立它們之間的可以用函數(shù)表示的一般模型。如果能把這樣特殊的數(shù)學(xué)情境用具體的函數(shù)表示出來(lái)，那么，抽象的幾何關(guān)系就可以用學(xué)生熟悉的函數(shù)來(lái)解決。最大值、最小值等最值問(wèn)題就成功轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)中的函數(shù)問(wèn)題。通過(guò)將特殊問(wèn)題一般化，學(xué)生在解題中就可以找到該類(lèi)問(wèn)題普適性的解題方法，從而將抽象的幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)的、自己熟悉的問(wèn)題情境中來(lái)。

（三）以靜態(tài)對(duì)運(yùn)動(dòng)

數(shù)學(xué)當(dāng)中的所有動(dòng)態(tài)過(guò)程都是由一個(gè)一個(gè)的靜態(tài)瞬間組成的，動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題的解題本質(zhì)也是借用轉(zhuǎn)化思想，將動(dòng)態(tài)過(guò)程中的點(diǎn)、線(xiàn)和面分解成一個(gè)一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的瞬間，然后從中找到相對(duì)“靜止”的背后的運(yùn)動(dòng)規(guī)律或者特殊的靜態(tài)圖形，然后以此為基礎(chǔ)進(jìn)一步證明求解。

例3?如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)

y=kx（k>0）的圖像上有P、Q兩點(diǎn)，P、Q坐標(biāo)分別為P（1，4）、Q（m，n）。當(dāng)m>1時(shí)，分別作過(guò)點(diǎn)P關(guān)于x軸、y軸的垂線(xiàn)于A、B兩點(diǎn);過(guò)點(diǎn)Q分別作x軸、y軸的垂線(xiàn)于C、D兩點(diǎn)，DQ與AP相交于點(diǎn)E，求當(dāng)m增大時(shí)，四邊形EQCA的面積（??）

A. 增大

B. 減小

C. 先減小后增大

D. 先增大后減小

【分析】該動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)換為函數(shù)問(wèn)題，然后利用函數(shù)的性質(zhì)求四邊形面積的遞變規(guī)律，這樣就可以成功地將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題。

【解答】解：AC=m-1，CQ=n，

則S四邊形ACQE=AC·CQ=（m-1）n=m·n-n。

∵P（1，4）、Q（m，n）在函數(shù)y=kx（x>0）的圖像上，

∴m·n=k=4（常數(shù)）。

∴S四邊形ACQE=AC·CQ=4-n，

∵當(dāng)m>1時(shí)，n隨m的增大而減小，

∴S四邊形ACQE=4-n隨m的增大而增大。

故選：A。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)以及矩形的面積的計(jì)算，m增大時(shí)四邊形的面積大小也在不斷地變化，要證明面積的大小變化規(guī)律時(shí)，將特殊的數(shù)學(xué)情境轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，用函數(shù)表示四邊形ACQE的面積，通過(guò)對(duì)函數(shù)性質(zhì)的討論就可以判定該四邊形面積的變化情況。

總之，教師在動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的備考中，一定要循序漸進(jìn)，夯實(shí)基礎(chǔ)，注重思維發(fā)展的層次性要求;同時(shí)，要不斷地研究試題，歸納解題方法，提高解題技巧。只有這樣，才能真正服務(wù)于教學(xué)實(shí)踐，提高學(xué)生學(xué)業(yè)成績(jī)。

參考文獻(xiàn)：

[1]孫遠(yuǎn)琴，林澤飛.初中幾何教學(xué)中的數(shù)學(xué)情境與提出問(wèn)題：“平行四邊形性質(zhì)的應(yīng)用”教學(xué)案例[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011（4）：91-93.

[2]何國(guó)偉，楊德焱.一道中考幾何計(jì)算題解法的探究與啟示[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育（5）：16-18.

[3]馬先龍.構(gòu)造圖形打開(kāi)解中考幾何最值問(wèn)題的突破口[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2014（10）：52-53.

[4]霍晉蘭.解析中考動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)：初中版，2007（6）：21-23.

作者簡(jiǎn)介：李亞亞，甘肅省白銀市，甘肅省會(huì)寧縣八里灣鄉(xiāng)教育管理中心百戶(hù)小學(xué)。