圓周率的一個新公式

魏宇輝 曹明響

【摘要】本文通過對等邊三角形內(nèi)切圓進(jìn)行分割，利用高等數(shù)學(xué)的極限思想及一階二次遞歸數(shù)列得到圓周率的一個新的計算公式.新公式相比于已有的圓周率計算公式，不僅在精度上而且在計算時間上都有很大的優(yōu)勢.當(dāng)循環(huán)次數(shù)不超過20時，可得到小數(shù)點后12位;當(dāng)循環(huán)次數(shù)等于21時，可得到小數(shù)點后一千萬位.本方法可以作為計算圓周率的一種簡單的、精確度高的方法.

【關(guān)鍵詞】圓周率;內(nèi)切圓;極限;一階二次遞歸數(shù)列

一、引言

圓周率用第十六個希臘字母π表示，是精確計算圓的周長與面積、球的體積等幾何圖形的關(guān)鍵常數(shù)，在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、天文學(xué)等領(lǐng)域中有著重要的作用.圓周率的計算最早可追溯至公元前3世紀(jì)，其計算方法更是多種多樣.本文基于三角形內(nèi)切圓的分割，根據(jù)扇形面積與三角形面積近似相等的想法，得到一個計算圓周率的公式.

二、歷史上對π的探索

（一）幾何算法

公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用單位圓的內(nèi)接正多邊形和外接正多邊形，不斷對正多邊形的邊數(shù)加倍來逼近圓周.公元3世紀(jì)中期，中國劉徽創(chuàng)立了割圓術(shù)，這是圓周率古典計算方法上的突破.通過不斷對圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)增倍，使得正多邊形的周長無限逼近圓的周長.在歷史上取得巨大成就的當(dāng)屬公元5世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)家祖沖之，他給出圓周率介于約率22[]7和密率355[]113之間.他演算出的圓周率值有8位，此成果在當(dāng)時是最精確的，在世界上保持了近千年的紀(jì)錄.

（二）分析算法

利用分析法求圓周率的值是基于無窮級數(shù)進(jìn)行計算的，它突破了求多邊形的邊長的繁雜過程，給出圓周率的顯性解析式.1579年，法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)首次提出了關(guān)于圓周率的關(guān)系式.

1650年，英國數(shù)學(xué)家約翰·沃利斯利用微積分推出圓周率的公式.此后，英國數(shù)學(xué)家夏普、德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨、英國天文學(xué)家馬青及瑞士數(shù)學(xué)家歐拉等都利用反正切函數(shù)的級數(shù)展開式給出不同的圓周率計算公式.晚清時期，中國數(shù)學(xué)家李善蘭在用尖錐術(shù)求圓面積的時候，得到了圓周率的公式.由于圓周率在理論研究和實際應(yīng)用中的重要作用，人們對圓周率的研究與探索從未停下腳步.關(guān)于圓周率的歷史演算方面的詳細(xì)敘述請參閱文獻(xiàn)[1-3].

三、利用正三角形內(nèi)切圓求π

五、結(jié)論

1.本算法通過對正三角形內(nèi)切圓進(jìn)行不斷分割，利用微元法思想聯(lián)系三角形面積與扇形面積在無限次切割后相等，從而聯(lián)立等式.利用三角函數(shù)與一階二次遞歸數(shù)列不斷化簡，從而得出了圓周率的一個新公式.

2.當(dāng)n=10時，使用本文所提出的公式可準(zhǔn)確算出圓周率的小數(shù)點后5位;當(dāng)n=21時，可準(zhǔn)確算出圓周率的小數(shù)點后12位;當(dāng)n=23時，目前測試結(jié)果顯示可精確到小數(shù)點后一千萬位，精確位數(shù)上限未知.

注意：

對于本文的計算方法可以推廣到在圓內(nèi)取任意圓心角為α，α∈（0，π），以圓的半徑r，作等腰三角形.對該三角形進(jìn)行多次分割后，三角形面積則會無限接近于對應(yīng)的扇形面積，下面給出證明過程.

【參考文獻(xiàn)】

[1]強春晨，劉興祥，岳育英.圓周率計算方法發(fā)展史[J].延安大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2012（02）：42-46.

[2]楊旭.圓周率π的歷史演算與歷史作用[J].科技資訊，2013（03）：206-208.

[3]魏曉妮.歷史上對圓周率的探索[D].臨汾：山西師范大學(xué)，2013.

[4]吳潤鑫.關(guān)于圓周率的又一種解法[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2018（03）：151-153.