當(dāng)算法思維遇到微分方程

王磊 程明松

【摘要】學(xué)數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于學(xué)習(xí)一種思維方法.大學(xué)數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)要更注重學(xué)生邏輯思維的培養(yǎng)，應(yīng)避免學(xué)生采用為做題而做題的“題海戰(zhàn)術(shù)”.本文結(jié)合算法思維，嘗試從計(jì)算機(jī)語(yǔ)言的角度梳理高等數(shù)學(xué)中微分方程這一章的思想框架.以算法思維來(lái)求解微分方程的題目，并通過(guò)完整的“算法框圖”展示算法在哪些問(wèn)題上有效.學(xué)生在初學(xué)階段，可以通過(guò)這一過(guò)程逐漸加深理解思維的邏輯性并對(duì)整個(gè)課程中涉及的微分方程的知識(shí)圖譜有更全面地認(rèn)識(shí)，從中體會(huì)算法思維對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)類課程的“奇妙功效”.

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué);算法思維;微分方程;教學(xué)研究

一、算法思維與高等數(shù)學(xué)

隨著阿爾法狗2.0完勝柯潔的新聞播出，象征著人類頂級(jí)智慧的圍棋也成了人工智能的手下敗將，從國(guó)際象棋到圍棋，這中間經(jīng)歷了幾十年的時(shí)間，甚至我們一度以為圍棋對(duì)計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)“太難了”，卻在此時(shí)敗給了機(jī)器人.更耐人尋味的是，完勝柯潔后的阿爾法狗宣布封機(jī)、不玩了，就好像說(shuō)，跟人類下棋毫無(wú)挑戰(zhàn)一樣.很多人不得不承認(rèn)，當(dāng)今時(shí)代是算法的時(shí)代，未來(lái)是人工智能的天下，是計(jì)算機(jī)的天下，借助人工智能已是大勢(shì)所趨.很多年前，國(guó)際象棋的選手們就在接受人工智能算法的“訓(xùn)練”，如今圍棋也不可避免地獲得了同等的待遇.一個(gè)很重要的原因是，算法思維提供了一種可能性，是我們正常的思維邏輯永遠(yuǎn)不會(huì)考慮的一些方面，或者我們已經(jīng)形成了思維定式，無(wú)法從中跳出，而一旦跳出，很可能會(huì)別有一番風(fēng)景.

這種計(jì)算機(jī)思維或者算法思維能幫助我們學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)嗎？或者我們這樣去思考，如果計(jì)算機(jī)都能解決得很好了，我們還要不要學(xué)了呢？如果學(xué)的話要怎樣去學(xué)呢？本文將嘗試用算法思維來(lái)復(fù)習(xí)或總結(jié)微分方程這一章的內(nèi)容，并希望通過(guò)這一過(guò)程能減輕初學(xué)者的厭學(xué)情緒，尤其想到這些內(nèi)容連只有線性邏輯的計(jì)算機(jī)都能做到，我們?yōu)槭裁床恍?？我們還會(huì)發(fā)現(xiàn)，與算法程序相比，人類自身一些獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)仍是計(jì)算機(jī)目前階段無(wú)法比擬的.

《高等數(shù)學(xué)》無(wú)疑是大學(xué)期間最重要的一門基礎(chǔ)課，學(xué)習(xí)起來(lái)的滋味一定讓剛剛?cè)氪髮W(xué)校門的學(xué)子們印象深刻.如何才能學(xué)好呢？有很多同學(xué)上課都會(huì)，看書(shū)都懂，但其實(shí)大多數(shù)同學(xué)只是停留在了“眼熟”的階段，距離“理解”還差得很遠(yuǎn)，而這需要通過(guò)做題、測(cè)驗(yàn)和考試來(lái)增加反饋，大學(xué)期間的課程教學(xué)與初高中相比，最欠缺的就是這種閉環(huán).我們并不是說(shuō)大學(xué)需要題海戰(zhàn)術(shù)，但必要的練習(xí)量是學(xué)好這門課不可或缺的.

二、計(jì)算機(jī)如何求解微分方程的題目

我們?cè)O(shè)想一下，如果一道微分方程的題目讓計(jì)算機(jī)程序去求解，它會(huì)怎么做呢？在這個(gè)過(guò)程中我們又可以得到一些什么樣的額外收獲呢？

我想，“要把大象放冰箱只需要三步”，利用程序解決一道微分方程的題目也只有三步，首先，要“認(rèn)出來(lái)”對(duì)象，程序需要把題目所有的“偽裝”都去掉，也就是說(shuō)，先分辨要求解的到底是哪種類型的微分方程，程序做這件事很容易，通常就是把最高階導(dǎo)數(shù)前的系數(shù)變?yōu)?即可，這就得到了微分方程的標(biāo)準(zhǔn)型;其次，“對(duì)癥下藥”，根據(jù)第一步得到的標(biāo)準(zhǔn)型設(shè)計(jì)求解的具體流程;最后，驗(yàn)證一下得到的解是否滿足原方程并輸出.

可能有同學(xué)會(huì)問(wèn)：真的如此簡(jiǎn)單嗎？其實(shí)面對(duì)很多問(wèn)題無(wú)從下手往往只是因?yàn)榈谝徊經(jīng)]有做，也就是題目可能設(shè)計(jì)了一些干擾性的偽裝讓你一下子沒(méi)有認(rèn)出來(lái)要求解的對(duì)象到底是誰(shuí).一旦研究對(duì)象被識(shí)別出來(lái)了（實(shí)際上需要在這個(gè)階段掌握的標(biāo)準(zhǔn)型也少得可憐），就可以利用相應(yīng)的求解方法對(duì)其進(jìn)行求解，而每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)型的具體解法，也沒(méi)有超過(guò)兩種的.總的來(lái)說(shuō)，我們需要預(yù)置的“求解模塊”也是有限的，即使需要把所有的可能模塊都算一遍，對(duì)當(dāng)今的計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)可能連小菜都算不上一碟吧.

我們來(lái)看看具體的算法框圖.（如圖1）

下面的框圖當(dāng)然并不像數(shù)學(xué)那樣嚴(yán)謹(jǐn)，也不是所有的題目都可以用這個(gè)流程求解出來(lái)，比如，我們看這樣一個(gè)例子：y″+y′=1+e-2x，按照計(jì)算機(jī)的程序可能直接會(huì)被當(dāng)作二階線性非齊次微分方程來(lái)處理，這會(huì)讓計(jì)算變得異常煩瑣，計(jì)算機(jī)可能不在乎，但在考場(chǎng)上的學(xué)生可能會(huì)受不了.所以剝?nèi)ネ饷娴膫窝b，真正辨認(rèn)出研究對(duì)象的本質(zhì)才是最關(guān)鍵的.如果能看出來(lái)這個(gè)方程不顯含y，直接可以降階化為一階的微分方程進(jìn)行求解，問(wèn)題就會(huì)簡(jiǎn)化很多.當(dāng)然，我們還可以利用線性疊加原理將方程的右端分為1和e-2x兩部分，分別求兩個(gè)微分方程的解，再把這兩個(gè)解疊加起來(lái)，這未嘗也不是個(gè)好的解決思路.無(wú)論是哪種策略，這可能是目前為止我們能比計(jì)算機(jī)做得更好的一點(diǎn).

三、算法的局限

雖然我們的算法流程不是萬(wàn)能的，但仍然可以從中感受到算法思維或者計(jì)算機(jī)程序到底是怎么工作的，那就是“化繁為簡(jiǎn)”.只需要處理幾種標(biāo)準(zhǔn)類型的問(wèn)題就可以了，而其他復(fù)雜問(wèn)題就通過(guò)“標(biāo)準(zhǔn)化”的過(guò)程化成其中某一種類型.這何嘗不是數(shù)學(xué)追求的境界呢？很多人誤會(huì)了數(shù)學(xué)，以為數(shù)學(xué)太抽象了而覺(jué)得煩瑣，其實(shí)越抽象的才越能說(shuō)明本質(zhì)，我們只要弄清楚了最抽象的，其他的知道怎么化標(biāo)準(zhǔn)型就好了.

假設(shè)用這套算法流程去求解高等數(shù)學(xué)里微分方程的問(wèn)題，再假設(shè)已經(jīng)積累了足夠多的求解過(guò)程，那這個(gè)程序本身還能帶給我們什么信息嗎？我們還可以把這個(gè)框圖看作是一個(gè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，

從這個(gè)角度來(lái)看，

我們會(huì)發(fā)現(xiàn)有些節(jié)點(diǎn)被大量使用，而有些節(jié)點(diǎn)很少觸及.那些使用率非常高的節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)就是核心內(nèi)容，比如一階方程中的分離變量法和常數(shù)變異法，二階方程中的常系數(shù)齊次方程的通解形式，這些都是必須要掌握的.而有些知識(shí)點(diǎn)涉及的非常少，比如變系數(shù)的歐拉方程、非線性的伯努利方程，這些盡管不常見(jiàn)，但這些也都是不能忽略的，只需要記得認(rèn)出來(lái)后如何做相應(yīng)的變換就可以了.

著名的計(jì)算機(jī)科學(xué)家格里高里·蔡廷（Gregory Chaitin）曾經(jīng)指出：“計(jì)算機(jī)不僅是一種極其有用的技術(shù)，還是一種具有革命性意義的新數(shù)學(xué)，它帶來(lái)了深刻的哲學(xué)后果，它揭示了一個(gè)新世界的面紗.”科學(xué)和數(shù)學(xué)正在開(kāi)放、擁抱程序性思維.算法思維，并不是對(duì)一些已經(jīng)設(shè)計(jì)好的內(nèi)容進(jìn)行反復(fù)背誦，而是自己對(duì)于問(wèn)題的抽象能力的練習(xí)，即從抽象問(wèn)題到解決實(shí)際問(wèn)題的一個(gè)能力.算法思維經(jīng)常會(huì)讓人們誤解它只會(huì)堅(jiān)持原則，缺少靈活性，從圖1上看，算法規(guī)則的邏輯性越強(qiáng)就越顯得“呆板”，尤其對(duì)需要降階的高階問(wèn)題來(lái)說(shuō)，往往要多走幾步“冤枉路”了.然而，這不能理解為是算法本身的“僵化”，其實(shí)恰恰相反，算法思維不僅能夠堅(jiān)持原則，還可以兼顧更多，這還需要我們?yōu)槠涮砑痈行У呐袛鄿?zhǔn)則.對(duì)微分方程這一章內(nèi)容來(lái)說(shuō)，隨著學(xué)習(xí)的不斷深入，題目的不斷積累，我們會(huì)“自發(fā)”地找到一些關(guān)鍵的“局部”特征，這樣在每步判斷的時(shí)候就可以再增加一定的“輔助”信息，幫助我們?cè)O(shè)計(jì)更好的求解方案.

最后，本文還是要強(qiáng)調(diào)這里的“算法思維”只是幫助我們學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的一種輔助手段，通過(guò)算法思維來(lái)增強(qiáng)自身邏輯性、嚴(yán)謹(jǐn)性的思考.具體的解題過(guò)程并不是我們關(guān)注的重點(diǎn)，通過(guò)做題對(duì)所學(xué)內(nèi)容和知識(shí)框架有更好的理解才是最終目的.比如，很多求解的方法只對(duì)線性微分方程才適用，其中蘊(yùn)含了什么道理？這里的線性到底指的是什么？能不能和線性疊加原理放到一起去思考？通解的結(jié)構(gòu)為什么要求一種不相關(guān)性？微分方程的解為什么可以通過(guò)求解對(duì)應(yīng)的代數(shù)方程來(lái)得到？這些疑問(wèn)只有都想清楚，才能說(shuō)明我們對(duì)這部分的知識(shí)體系有了更高級(jí)的認(rèn)識(shí)，而這也是計(jì)算機(jī)程序和算法思維無(wú)法做到的.

【參考文獻(xiàn)】

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