寓教于樂潤物無聲

張啟明 徐承杰 湯瓊 肖海青 劉東南

【摘要】課程思政是指充分挖掘課程中的思想政治教育元素，在向?qū)W生傳授教材知識(shí)的同時(shí)進(jìn)行德育方面的培養(yǎng).課堂是課程思政實(shí)施的主要陣地.線性代數(shù)在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)體系中占有非常重要的地位，具有學(xué)習(xí)人數(shù)多，學(xué)習(xí)主體年齡偏小的特點(diǎn)，但由于其理論性強(qiáng)且抽象難懂，教學(xué)中兼顧“知識(shí)傳授”和“價(jià)值引領(lǐng)”實(shí)非易事.本文立足線性代數(shù)內(nèi)容，從數(shù)學(xué)史的嵌入、數(shù)學(xué)美的發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性及數(shù)學(xué)哲學(xué)思想的體現(xiàn)四個(gè)維度例談如何在線性代數(shù)教學(xué)中實(shí)施課程思政，給學(xué)生帶來愉快的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，提高學(xué)習(xí)效果，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造健康、智慧的人生.

【關(guān)鍵詞】線性代數(shù);課程思政;知識(shí)傳授;價(jià)值引領(lǐng)

立德樹人是大學(xué)教育之本！德育元素應(yīng)遍布在大學(xué)校園的每一個(gè)角落，其中課堂是實(shí)施課程思政的主要陣地.課程思政的主要使命為充分挖掘各類課程中的思想政治教育元素，發(fā)揮所有教師、課程和教育的育人功能，形成全員、全方位、全過程育人的教學(xué)體系.[1]線性代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)類公共基礎(chǔ)課，受眾面非常廣，是所有理工農(nóng)醫(yī)及經(jīng)管等學(xué)科門類相關(guān)專業(yè)學(xué)生的必修課，一般在大學(xué)低年級(jí)開設(shè).大一、大二學(xué)段正是學(xué)生世界觀、人生觀和價(jià)值觀形成的關(guān)鍵時(shí)期，而樹立正確的“三觀”是課程思政教育的首要任務(wù).每一門自然科學(xué)的知識(shí)都反映著人類從受制于自然到掌握自然的科學(xué)精神;反映著人類對(duì)世界認(rèn)識(shí)較少、較淺到較多、較深的探索精神;每一個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)都反映著不盲從權(quán)威的創(chuàng)新精神;反映著特定專業(yè)滿足人類需求的不可替代的責(zé)任.[2]因而，教師在線性代數(shù)教學(xué)中進(jìn)行“知識(shí)傳授”的同時(shí)兼顧“價(jià)值引領(lǐng)”是當(dāng)仁不讓的使命.但由于線性代數(shù)內(nèi)容抽象難懂，且教學(xué)課時(shí)少，在課堂實(shí)施思政教育實(shí)非易事.下面從數(shù)學(xué)史的嵌入、數(shù)學(xué)美的發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性及數(shù)學(xué)哲學(xué)思想的體現(xiàn)等維度例談?wù)n程思政在線性代數(shù)教學(xué)中的實(shí)施.

一、線性代數(shù)之深邃

線性代數(shù)作為代數(shù)學(xué)的分支，其歷史久遠(yuǎn)，始于解線性方程組，中國古算書《九章算術(shù)》中就曾較為全面地討論過線性方程組的解法.對(duì)線性方程組的深入研究，行列式和矩陣概念的產(chǎn)生以及物理理論、數(shù)學(xué)分析與幾何應(yīng)用上的需要等因素，都有力地推動(dòng)了線性代數(shù)學(xué)科的形成和發(fā)展.

案例1：

（1）在學(xué)習(xí)行列式和矩陣的概念以及矩陣的初等變換等知識(shí)點(diǎn)時(shí)，教師可介紹日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和，因?yàn)樗ㄟ^鉆研中國數(shù)學(xué)后在其著作《解伏題之法》中創(chuàng)造出了行列式.而中國古代數(shù)學(xué)家提出矩陣的運(yùn)算及相應(yīng)規(guī)則和應(yīng)用則比西方19世紀(jì)矩陣論的形成要早近2 000年.

（2）在學(xué)習(xí)線性方程組相關(guān)知識(shí)時(shí)，教師可介紹記載于公元1世紀(jì)的《九章算術(shù)》，該書第八章專門論述如何解線性方程組，是世界上最早介紹線性方程組解法的文獻(xiàn)資料.而在西方，直到17世紀(jì)才由萊布尼茲提出完整的線性方程組的解法法則.

數(shù)學(xué)史即研究數(shù)學(xué)的歷史，是一門研究數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展及其規(guī)律的科學(xué).不管是遠(yuǎn)古時(shí)代的數(shù)學(xué)萌芽，還是近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)史源遠(yuǎn)流長.“假如你對(duì)數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展，對(duì)一個(gè)領(lǐng)域的發(fā)生和發(fā)展，對(duì)一個(gè)理論的興旺和衰落，對(duì)一個(gè)概念的來龍去脈，對(duì)一種重要思想的產(chǎn)生和影響等這許多歷史因素都弄清了，我想，對(duì)數(shù)學(xué)就會(huì)了解得多，對(duì)數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀就會(huì)知道得更清楚、深刻，還可以對(duì)數(shù)學(xué)的未來起一種指導(dǎo)作用，也就是說，可以知道數(shù)學(xué)究竟應(yīng)該按照怎樣的方向發(fā)展可以收到最大的收益.”[3]全視角學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，所有的學(xué)習(xí)都是“情境性”的，即它是在一定的情境中發(fā)生的.[4]這說明，在講授抽象深邃的線性代數(shù)知識(shí)的過程中，插入數(shù)學(xué)史背景進(jìn)行情境教學(xué)，在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)期望的同時(shí)教會(huì)學(xué)生去“明理、哲思、求真”，拓寬國際視野并增強(qiáng)民族自豪感和文化自信心、培養(yǎng)家國情懷.

二、線性代數(shù)之美妙

數(shù)學(xué)因滿足社會(huì)需求而產(chǎn)生和發(fā)展，數(shù)學(xué)科學(xué)作為理性思維和想象的結(jié)合體，其本質(zhì)力量的感性與理性的顯現(xiàn)就形成了數(shù)學(xué)的美.數(shù)學(xué)美豐富多樣，常見的有和諧美、統(tǒng)一美、簡潔美、對(duì)稱美、語言美、創(chuàng)新美等.牛頓曾說：數(shù)學(xué)家不但更容易接受漂亮結(jié)果、不喜歡丑陋結(jié)論，而且他們也非常推崇優(yōu)美與雅致的證明、不喜歡笨拙與反復(fù)的推理.線性代數(shù)記號(hào)繁多，但有規(guī)可循;內(nèi)容抽象，但邏輯性強(qiáng);公式龐多，但深邃奇妙.線性代數(shù)之美主要表現(xiàn)為簡潔美、對(duì)稱美、語言表達(dá)美等.

案例2：線性代數(shù)中概念很多，學(xué)習(xí)特殊的行列式和特殊的矩陣時(shí)，例如：

教師可從數(shù)學(xué)審美的角度啟發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)這些概念用數(shù)學(xué)語言表達(dá)時(shí)所體現(xiàn)的對(duì)稱美、簡潔美、符號(hào)美.

又比如，行列式ab…bba…bbb…a，其元素的排列很有規(guī)律：所有元素的分布關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱，且主對(duì)角線上元素相同，都為a;主對(duì)角線以外的元素都為b.我們形象地稱這個(gè)行列式為“林蔭小道型”行列式.此行列式的計(jì)算為經(jīng)典題型，非常重要，可一題多解，還可衍生出很多變式.

此案例的實(shí)施可教會(huì)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)美，在培養(yǎng)學(xué)生良好審美情操的同時(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，加深其對(duì)知識(shí)的理解和領(lǐng)悟，以美育來促進(jìn)學(xué)生德育和智育的全面發(fā)展.

三、線性代數(shù)之大用

線性代數(shù)是近代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，許多純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的問題通?？赊D(zhuǎn)化為線性代數(shù)問題來解決.同時(shí)，它也是理論物理、理論化學(xué)、計(jì)量經(jīng)濟(jì)與生物科學(xué)等基礎(chǔ)學(xué)科中不可或缺的數(shù)學(xué)工具.在工程技術(shù)等實(shí)際問題中，許多數(shù)學(xué)問題也都是轉(zhuǎn)化為數(shù)量間的線性關(guān)系來解決.尤其是在計(jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用的今天，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)、密碼學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、網(wǎng)絡(luò)技術(shù)等領(lǐng)域都是與線性代數(shù)息息相關(guān)的.

案例3：

（1）學(xué)習(xí)矩陣的乘法時(shí)，教師可簡單介紹5G網(wǎng)絡(luò)技術(shù).5G網(wǎng)絡(luò)技術(shù)即第五代移動(dòng)通信網(wǎng)絡(luò)技術(shù)，其技術(shù)基礎(chǔ)是極化碼.極化碼看起來很復(fù)雜，但本質(zhì)上還是一些矩陣的乘法，教師可舉例說明.同時(shí)，教師還可簡要介紹人工智能技術(shù)以及民營企業(yè)之星“華為”的故事.

（2）學(xué)習(xí)特征值與特征向量的概念時(shí)，教師可介紹美國華盛頓塔科馬海峽吊橋垮塌的故事.一方面，由于橋面厚度不足，被風(fēng)一吹，哪怕是微風(fēng)，都會(huì)產(chǎn)生振動(dòng).當(dāng)橋上產(chǎn)生了共振，振幅達(dá)到一定程度就造成橋梁的垮塌.這次事件成為研究空氣動(dòng)力學(xué)卡門渦街引起建筑物共振破壞力的活教材，也被記載為20世紀(jì)最嚴(yán)重的工程設(shè)計(jì)錯(cuò)誤之一.另一方面，通過大橋垮塌的分析從數(shù)學(xué)的角度闡明有振動(dòng)的地方必有特征值這一事實(shí)，說明特征值是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)概念.并且，以此事件作為特征值與特征向量的教學(xué)導(dǎo)入也是新穎獨(dú)特的.

此案例理論聯(lián)系實(shí)際，可大大激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，培養(yǎng)學(xué)生的職業(yè)前瞻感和民族自豪感，并讓學(xué)生明白科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度在學(xué)習(xí)、工作和生活中都是不可或缺的.

四、線性代數(shù)之睿智

恩格斯曾指出：“數(shù)學(xué)是辯證的輔助工具和表現(xiàn)方式.”[5]數(shù)學(xué)除了自身所包含的知識(shí)和思想方法外，還體現(xiàn)了豐富的唯物辯證法內(nèi)涵.事實(shí)上，數(shù)學(xué)與哲學(xué)幾乎同時(shí)誕生于遙遠(yuǎn)的古希臘，共同構(gòu)成了那個(gè)時(shí)代的文明和驕傲，它們?cè)跉v史上有著千絲萬縷的聯(lián)系.張景中院士曾著有《數(shù)學(xué)與哲學(xué)》一書，闡釋了數(shù)學(xué)與哲學(xué)是對(duì)立統(tǒng)一的關(guān)系.線性代數(shù)中也蘊(yùn)含著豐富的哲學(xué)思想.

案例4：

（1）“變”與“不變”的問題

線性代數(shù)中有很多不變量，例如：①行列式進(jìn)行恒等變形時(shí)，行列式的值保持不變;②向量組進(jìn)行初等變換時(shí)，向量組的秩及向量組的線性表示關(guān)系保持不變;③二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形時(shí)，二次型的正、負(fù)定性保持不變.

矩陣的初等變換是解決線性代數(shù)問題的關(guān)鍵方法，它是線性代數(shù)中一條多變的鏈條，充滿著多樣性和奇異性，將整個(gè)線性代數(shù)的內(nèi)容貫穿起來.例如：①解決矩陣自身相關(guān)的問題，包括第二章中求矩陣的秩、矩陣的逆矩陣、解矩陣方程，第五章中求方陣的特征值和特征向量等;②解決其他相關(guān)問題，包括第三章中求向量組的秩、第四章中求線性方程組的通解、第六章中化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形等.

（2）從“量變”到“質(zhì)變”的問題

線性代數(shù)中，許多研究對(duì)象都有與其密切相關(guān)的量，當(dāng)這些量發(fā)生改變時(shí)，就會(huì)引起相應(yīng)的量發(fā)生質(zhì)的改變.例如：①n階方陣A的秩R（A）≤n.當(dāng)R（A）

（3）“特殊”與“一般”的關(guān)系

線性代數(shù)中體現(xiàn)“特殊”與“一般”的情形很多.例如，二階、三階行列式與n階行列式的關(guān)系;數(shù)乘矩陣與矩陣的運(yùn)算的關(guān)系;向量空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基與其一般的基的關(guān)系;齊次線性方程組與非齊次線性方程組的關(guān)系;線性方程組的特解與通解的關(guān)系;二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形的關(guān)系;矩陣、行階梯形矩陣、行最簡形矩陣、標(biāo)準(zhǔn)形之間的關(guān)系等.

（4）否定之否定規(guī)律

向量組線性相關(guān)性的討論是線性代數(shù)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容，有關(guān)向量組線性組合、線性表示、線性相關(guān)、線性無關(guān)等概念以及它們的區(qū)別和聯(lián)系、向量組線性相關(guān)性的相關(guān)判定定理都充分體現(xiàn)了否定之否定的辯證規(guī)律.例如：①向量組的線性組合是指形如k1α1+k2α2+…+knαn的形式，其中α1，α2，…，αn為向量組，k1，k2，…，kn為任意一組實(shí)數(shù).對(duì)任意一組實(shí)數(shù)k1，k2，…，kn，k1α1+k2α2+…+knαn都是向量組α1，α2，…，αn的一個(gè)線性組合.說明向量組α1，α2，…，αn的線性組合不唯一，有任意多個(gè).②向量組的線性表示是指存在一組實(shí)數(shù)k1，k2，…，kn，使得β=k1α1+k2α2+…+knαn，則稱向量β能用向量組α1，α2，…，αn線性表示，也稱向量β是向量組α1，α2，…，αn線性組合，其中β，α1，α2，…，αn均為向量.這時(shí)，實(shí)數(shù)k1，k2，…，kn可能不唯一.③向量組線性相關(guān)是指如果存在一組不全為零的實(shí)數(shù)k1，k2，…，kn，使得k1α1+k2α2+…+knαn=0，則稱向量組α1，α2，…，αn線性相關(guān).而若對(duì)任意不全為零的實(shí)數(shù)k1，k2，…，kn，都有k1α1+k2α2+…+knαn≠0，則稱向量組α1，α2，…，αn線性無關(guān).

④若向量組的部分向量組線性相關(guān)，則該向量組線性相關(guān).其逆否命題為：若向量組線性無關(guān)，則其任一部分向量組線性無關(guān).

此案例的實(shí)施通過對(duì)知識(shí)的梳理和比較，既可引導(dǎo)學(xué)生高屋建瓴從全局去掌握線性代數(shù)中的相關(guān)內(nèi)容，也可教會(huì)學(xué)生用辯證唯物主義思想去分析和思考問題，培養(yǎng)理性精神和批判精神，并將哲學(xué)思維遷移到學(xué)生的學(xué)習(xí)、工作和生活中，幫助學(xué)生正確看待和處理身邊的一切事物，形成正確的人生觀、價(jià)值觀，以創(chuàng)造智慧、健康的人生.

結(jié) 語

德育是人才培養(yǎng)的永恒話題！思政元素宛如課堂教學(xué)設(shè)計(jì)各環(huán)節(jié)中一些零散的珍珠，而教師就是拾掇者！在線性代數(shù)教學(xué)中，教師在圍繞“培養(yǎng)什么人、怎樣培養(yǎng)人、為誰培養(yǎng)人”這一根本問題進(jìn)行課程思政教育時(shí)，需充分挖掘教學(xué)內(nèi)容中顯性和隱性的育人元素，適時(shí)適地對(duì)學(xué)生進(jìn)行巧妙的德育培養(yǎng)，努力讓更多耀眼的珍珠成為促使學(xué)生德育和智育全面發(fā)展的催化劑，真正實(shí)現(xiàn)教育的“知識(shí)傳授”與“價(jià)值引領(lǐng)”兩重功能.

【參考文獻(xiàn)】

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