均值和方差變動(dòng)的馬科維茨投資組合模型研究

一、前言

近年來，隨著我國證券市場的發(fā)展，越來越多的投資者開始購買股票、基金、期貨期權(quán)等金融產(chǎn)品。隨著投資者交易行為的增加和投資知識(shí)的積累，他們開始意識(shí)到購買金融產(chǎn)品，不能只關(guān)注收益，也要注重風(fēng)險(xiǎn)，要學(xué)會(huì)如何規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，實(shí)現(xiàn)投資者自身效益最大化。風(fēng)險(xiǎn)的規(guī)避需要投資者具備一定的投資組合理論。投資組合理論是由美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬科維茨提出的。馬科維茨的投資組合理論假設(shè)可以用歷史收益率的均值和方差代替未來的均值和方差。但是在現(xiàn)實(shí)中，收益率的均值和方差并不是一成不變的。傳統(tǒng)的馬科維茨投資組合理論沒有考慮這種變化，這將導(dǎo)致傳統(tǒng)的投資組合理論推導(dǎo)出的投資組合和現(xiàn)實(shí)中的最優(yōu)投資組合存在偏差。因而研究均值和方差變化的馬科維茨投資組合理論具有現(xiàn)實(shí)意義。本文旨在建立均值和方差變動(dòng)的馬科維茨投資組合模型，使傳統(tǒng)的投資組合理論更加豐富。

二、文獻(xiàn)綜述

自從1952年馬科維茨提出了均值-方差模型，許多學(xué)者開始研究均值-方差模型。何朝林等（2011）基于模型參數(shù)不確定性，構(gòu)建了穩(wěn)健靜態(tài)資產(chǎn)組合模型；周圣（2012）發(fā)現(xiàn)在一定的限制條件下，無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)模型的有效前沿曲線和最初的均值-方差模型的有效前沿曲線是一致的。張群等（2013）把交易中的限制條件引入均值-方差模型，創(chuàng)建了風(fēng)險(xiǎn)偏好系數(shù)均值方差模型。姚海祥等（2013）考慮通貨膨脹因素，推導(dǎo)出了均值-方差模型有效邊界的表達(dá)式和有效的投資策略。Lam，Jaaman和Isa（2013）放寬了均值-方差模型中的正態(tài)假設(shè)條件，把概率分布的峰值和偏度加入均值-方差模型。

三、傳統(tǒng)的馬科維茨投資組合模型

傳統(tǒng)的馬科維茨投資組合模型有很多假設(shè)條件，假設(shè)投資者是理性的、所掌握的信息是一致的、了解金融產(chǎn)品的一切性質(zhì)；假設(shè)金融產(chǎn)品收益率服從正態(tài)分布，每一種金融產(chǎn)品收益率相關(guān)；假設(shè)金融市場是完全競爭的。根據(jù)上述假設(shè)條件，馬科維茨建立了投資組合的均值方差模型。假設(shè)在金融市場上存在N種證券（本文不研究無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)），每種證券收益率的均值用R表示。每種證券收益率的方差用v表示。用V表示N種證券收益率的協(xié)方差，即表示每一種證券購買一個(gè)單位所帶來的風(fēng)險(xiǎn)。用W表示證券組合中每一種證券的投資比例。WTR表示證券投資組合的收益率，1/2WTVW表示證券投資組合的風(fēng)險(xiǎn)。傳統(tǒng)的馬科維茨均值方差模型是在收益固定的情況下，實(shí)現(xiàn)投資組合風(fēng)險(xiǎn)的最小化。即模型如下：

約束條件為

其中，Ep是期望收益率。

對(duì)模型進(jìn)行求解，可以求出在收益率固定的情況下，所對(duì)應(yīng)的最低風(fēng)險(xiǎn)。把收益率和該收益率所對(duì)應(yīng)的最低風(fēng)險(xiǎn)描在坐標(biāo)軸上，可以得出有效前沿曲線，該曲線上的點(diǎn)滿足在收益率固定的情況下，風(fēng)險(xiǎn)最小；風(fēng)險(xiǎn)固定的情況下，收益率最大。根據(jù)上面的模型可以推導(dǎo)出有效前沿曲線的表達(dá)式如下：

四、均值和方差變動(dòng)的馬科維茨投資組合模型

馬科維茨提出的投資組合模型假設(shè)每一種金融產(chǎn)品收益率的均值和方差都是固定不變的。然而在現(xiàn)實(shí)中，金融產(chǎn)品的收益率的均值和方差會(huì)同時(shí)發(fā)生變化，傳統(tǒng)的馬科維茨投資組合模型所推導(dǎo)出的有效前沿曲線不再適用，因此需要建立均值和方差同時(shí)變動(dòng)的馬科維茨投資組合模型，為投資者提供更準(zhǔn)確的投資建議。

約束條件為

進(jìn)行求解，可以求出有效前沿曲線，表達(dá)式如下：

由上文的有效前沿曲線可以看出，在資產(chǎn)收益率的均值和方差同時(shí)變動(dòng)的情況下，有效前沿曲線的端點(diǎn)（）和彎曲程度都發(fā)生了變化。根據(jù)這個(gè)模型，投資者可以依據(jù)現(xiàn)實(shí)情況調(diào)整投資組合。

五、均值和方差變動(dòng)的馬科維茨投資組合模型應(yīng)用分析

（一）樣本選擇及數(shù)據(jù)處理

本文選擇了上證50指數(shù)成分股中的四只股票，它們分別是中信證券、中國人壽、中國聯(lián)通、貴州茅臺(tái)。之所以選擇這四只股票是因?yàn)樗鼈儗儆诓煌男袠I(yè)，股票之間的相關(guān)程度比較低，充分滿足投資組合分散性特征。

選取四只股票從2019年1月1日到2019年8月20日的日收盤價(jià)作為樣本數(shù)據(jù)。對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，分別求出每只股票的收益率以及收益率的均值和方差。本文所選取的數(shù)據(jù)來自國泰安CSMAR數(shù)據(jù)庫。

由于本文所選取的數(shù)據(jù)是每只股票的日收盤價(jià)，因此還需要使用收益率公式計(jì)算每只股票的收益率。利用MATLAB軟件處理收益率數(shù)據(jù)，可以得出股票收益率的均值、方差以及協(xié)方差。根據(jù)股票收益率均值和協(xié)方差矩陣，結(jié)合均值和方差不變的有效前沿曲線方程可以求出均值方差不變的有效前沿曲線函數(shù)表達(dá)式為，由該函數(shù)表達(dá)式可以看出，均值和方差不變的有效前沿曲線的端點(diǎn)為（），彎曲程度為。把均值和方差不變的有效前沿曲線畫在坐標(biāo)軸上，圖形如下。

由該圖形可以看出，投資者應(yīng)該選擇有效前沿曲線端點(diǎn)以上的點(diǎn)進(jìn)行投資。隨著風(fēng)險(xiǎn)的增加，收益增大。端點(diǎn)以下的點(diǎn)沒有使投資者效用達(dá)到最大化。

（二）均值和方差變動(dòng)對(duì)有效前沿曲線的影響

由于四只股票收益率均值和方差同時(shí)變化的有效前沿曲線方程復(fù)雜，因此本文只研究中信證券收益率均值和方差變化的有效前沿曲線，與中信證券收益率均值和方差不發(fā)生變化的有效前沿曲線比較，得出中信證券收益率均值和方差同時(shí)發(fā)生變化對(duì)有效前沿曲線的影響。

首先通過求出中信證券每月收益率的均值和方差證實(shí)中信證券每月收益率均值和方差同時(shí)發(fā)生變化。之后假設(shè)未來中信證券收益率均值增加0.001，方差隨均值變動(dòng)而變動(dòng)，把變動(dòng)的數(shù)據(jù)帶入第三部分均值和方差同時(shí)發(fā)生變化的馬科維茨投資組合模型中，可以得出中信證券收益率均值和方差變動(dòng)的有效前沿曲線，該曲線函數(shù)表達(dá)式為，由該函數(shù)表達(dá)式可以看出，均值和方差變動(dòng)的有效前沿曲線的端點(diǎn)為（），彎曲程度為，為了更好的觀察均值變動(dòng)0.001對(duì)有效前沿曲線的影響，本文把兩種情形下的有效前沿曲線畫在一個(gè)圖形中。圖形如下，藍(lán)色曲線表示不變情形，紅色曲線表示變動(dòng)情形。由圖形可以看出，均值和方差發(fā)生變動(dòng)的有效前沿曲線的彎曲程度更大，對(duì)稱軸更偏上，最小方差點(diǎn)更靠右。對(duì)于投資者來說，所面臨的風(fēng)險(xiǎn)和收益更加具有不確定性。

六、結(jié)語

馬科維茨提出的投資組合模型對(duì)資產(chǎn)收益率進(jìn)行了嚴(yán)格的假設(shè)，假設(shè)收益率均值和方差是不變的，可以用過去的投資組合模型指導(dǎo)現(xiàn)階段的資產(chǎn)配置。然而，在現(xiàn)實(shí)的投資活動(dòng)中收益率均值和方差會(huì)同時(shí)變動(dòng)。因此本文建立了均值和方差變動(dòng)的馬科維茨投資組合模型，得出了有效前沿曲線。把變動(dòng)情形和不變情形的有效前沿曲線對(duì)比，可以得出，均值和方差的增大將會(huì)導(dǎo)致有效前沿曲線彎曲程度變大；對(duì)稱軸向上移動(dòng)；最小方差點(diǎn)向右移動(dòng)。因此投資者在進(jìn)行資產(chǎn)組合時(shí)，一定要關(guān)注收益率均值和方差變動(dòng)對(duì)投資收益和風(fēng)險(xiǎn)的影響，降低投資的不確定性。