圖象法解題的技巧和方法

張巖松

摘?要：圖象是無聲的物理語言，圖象法解題是非常重要的解題方法.

關(guān)鍵詞：斜率;面積;函數(shù)關(guān)系;輔助線;湊數(shù)

解題離不開方法，方法是解題的靈魂，好的方法往往是解題的捷徑.圖象法解題是高中物理解題的常用方法之一，也是一種很有效的解題手段，圖象法解題可以歸納為以下九種方法.

1?斜率法

圖象的斜率表示函數(shù)的變化率，常用來表示一個(gè)重要的物理量，譬如：s-t圖象的斜率表示速度，v-t圖象的斜率表示加速度，φ-x圖象的斜率表示電場強(qiáng)度，EK-x圖象的斜率表示力，U-I圖象的斜率表示電阻等.斜率往往是圖象題的題眼，是解題的突破口，一定要善于利用.

例1?（2017江蘇）在x軸上有兩個(gè)點(diǎn)電荷q1、q2，其靜電場的電勢φ在x軸上分布如圖所示.下列說法正確的有（?）

A.q1和q2，帶有異種電荷.

B.x1處的電場強(qiáng)度為零.

C.負(fù)電荷從x1移到x2，電勢能減小.

D.負(fù)電荷從x1移到x2，受到的電場力增大.

解析?因?yàn)镋=Ud，所以函數(shù)φ-x圖線的切線斜率表示場強(qiáng)E，由圖1可知從x1到x2過程中圖線切線斜率變小，到x2處斜率為零 .即場強(qiáng)從x1到x2一直減小，且E2=0.電場力F=Eq，負(fù)電荷從x1移動(dòng)到x2受到電場力減小，選項(xiàng)BD錯(cuò)誤.

沿x軸方向電勢由負(fù)到正，x1為臨界點(diǎn)，故x軸上的兩個(gè)電荷q1、q2為異種電荷，選項(xiàng)A正確.

由圖可知，φx1<φx2.負(fù)電荷由低電勢到高電勢，電場力做正功，電勢能減小，選項(xiàng)C正確.

所以答案AC.

解題策略?抓圖線的斜率和臨界點(diǎn)（或特殊點(diǎn)）是解本題的技巧和關(guān)鍵.

2?面積法

物理圖象與坐標(biāo)軸所圍成的面積有時(shí)與某一物理量相對(duì)應(yīng)，譬如v-t圖象的面積表示位移，F(xiàn)-x圖象的面積表示功，F(xiàn)-t圖象的面積表示沖量，a-t圖象的面積表示速度的變化量等.利用圖象的面積來解題，有時(shí)比解析法更簡單、更巧妙、更靈活.其中有一類圖象題的面積具有規(guī)則的幾何形狀，如三角形、圓形、梯形等，這類面積可以根據(jù)其面積公式求得.還有一類圖象題的面積沒有規(guī)則的幾何形狀，不過這類題的背景往往有個(gè)格子坐標(biāo)紙，計(jì)算這類題型面積的方法是算出每個(gè)格子的面積，再數(shù)出面積大于或等于半個(gè)格的格數(shù)，兩者相乘求其總面積.因此這類題的解法也可以叫做“數(shù)格子法”.

例2?總質(zhì)量為80kg的跳傘運(yùn)動(dòng)員從離地500m的直升機(jī)上跳下，經(jīng)過2s拉開繩索開啟降落傘，如圖2所示是跳傘過程中的v-t圖象，試根據(jù)圖象求：（取g=10m/s2）

（1）t=1s時(shí)運(yùn)動(dòng)員的加速度和所受阻力的大小.

（2）估算14s內(nèi)運(yùn)動(dòng)員下落的平均速度.

（3）估算運(yùn)動(dòng)員從飛機(jī)上跳下到著地的總時(shí)間.

解?（1）從圖中可以看出，在t=2s內(nèi)運(yùn)動(dòng)員做勻加速運(yùn)動(dòng)，其加速度大小為a=vtt=162m/s2=8m/s2.設(shè)此過程中運(yùn)動(dòng)員受到的阻力大小為f，根據(jù)牛頓第二定律有mg-f=ma，得f=m（g-a）=80×10-8N=160N.

（2）從圖中先數(shù)出小格子數(shù)，大于或等于半個(gè)格的算一個(gè)格，少于半個(gè)格的舍掉，這樣數(shù)出來大約共40個(gè)小格子，而每個(gè)小格子的面積為S0=2×2m2=4m2，所以運(yùn)動(dòng)員在14s內(nèi)下落的高度為Δh=40S0=40×4m2=160m2，所以有v-=Δht=16014m/s=114m/s.

（3）14s后運(yùn)動(dòng)員做勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t′=H-hv=500-1606=567s

∴運(yùn)動(dòng)員從飛機(jī)上跳下到著地需要的總時(shí)間為：

t總=t+t′=（14+567）s=707s.

解題策略?用“數(shù)格子”的方法求出面積來確定位移是解這道題的解題技巧.

3?極限法

極限法是把某個(gè)物理量推向極值，即極大和極小，或者極左和極右，并依次做出科學(xué)的推理分析，從而能夠迅速給出判斷或?qū)С鲆话阈越Y(jié)論.極限法往往能夠化難為易，化繁為簡，起到事半功倍的作用.

例3?（2014年上海卷）如圖3，豎直平面內(nèi)的軌道Ⅰ和Ⅱ都是由兩段細(xì)直桿連接而成，兩軌道長度相等.用相同的水平恒力將穿在軌道最低點(diǎn)B的靜止小球，分別沿Ⅰ和Ⅱ推至最高點(diǎn)A，所需時(shí)間分別為t1、t2，動(dòng)能增量分別為ΔEK1、ΔEK2.假定球在經(jīng)過軌道轉(zhuǎn)折點(diǎn)前后速度大小不變，且球與軌道Ⅰ、Ⅱ間的動(dòng)摩擦因數(shù)相等，則（?）

A.ΔEK1>ΔEK2，t1>t2.

B.ΔEK1=ΔEK2，t1>t2.

C.ΔEK1>ΔEK2，t1

D.ΔEK1=ΔEK2，t1

解析?設(shè)兩個(gè)軌道的水平投影長度為L，豎直高度為h，從B點(diǎn)分別沿兩條軌道

運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，摩擦力做的功相同，都是Wf=-mgμL.重力做的功也相同，都為WG=-mgh.外力做的功也相同，都為WF=FL，根據(jù)動(dòng)能定理：

W=Δ，∴WF+WG+Wf=Δ，因此ΔEK相同.利用極限法假設(shè)軌道Ⅰ前半段趨于豎直狀態(tài)，軌道Ⅱ的后半段也趨于豎直狀態(tài)，如圖4中虛線所示，虛線構(gòu)成平行四邊形.小球在軌道Ⅰ上在水平方向上的恒力作用下運(yùn)動(dòng)及其緩慢，即所需的時(shí)間趨于無窮大，而軌道Ⅱ的后半段雖然也趨于豎直狀態(tài)，但是小球已經(jīng)有一定的速度，且經(jīng)過轉(zhuǎn)折點(diǎn)速度大小不變，所以所需的時(shí)間較短，則t1>t2，所以應(yīng)該選B.

解題策略?將原來的部分軌道與水平方向的夾角外推成九十度，從而獲得思路，得以求解，這就是極限的思想.當(dāng)然，這個(gè)題也可以用v-t圖象的面積表示位移來求解，但不如這個(gè)極限法來得簡單.

4?特殊值代入法

有些物理題過程復(fù)雜，計(jì)算繁瑣，我們可以帶入一些特殊的恒定值，從而避免了不必要的詳盡的物理過程分析和繁瑣的數(shù)學(xué)推導(dǎo)運(yùn)算，轉(zhuǎn)化成具體的簡單的特殊性問題來處理，使問題簡單化，能夠一目了然，從而迅速準(zhǔn)確地解出題來.

例4?在某一個(gè)探究實(shí)驗(yàn)中，實(shí)驗(yàn)員將某物體以某一確定的初速率v0沿斜面向上推出（斜面足夠長且與水平方向的傾角θ可調(diào)節(jié)），設(shè)物體在斜面上能達(dá)到的最大位移為Sm，實(shí)驗(yàn)測得Sm與斜面傾角θ的關(guān)系如圖5所示，g取10m/s2，求：物體的初速率v0和物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ.

解?當(dāng)θ=π2時(shí)，物體做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，由圖知最大高度為：Sm=10m

由0-v02=-2gSm，計(jì)算得出：v0=2gSm=2×10×10=1414m/s.

當(dāng)θ=0時(shí)，Sm=10 3m，物體沿水平方向做勻減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理得：

-μmgSm=0-12mv02

∴μ=v022gSm=103）22×10×103=33=0577.

所以答案是v0=1414m/s;μ=0577.

解題策略?從圖象中尋找隱含已知條件，找到兩個(gè)特殊值，即θ=0時(shí)，Sm=10 3m，θ=π2時(shí)Sm=10m，是解題的技巧所在.

5?湊數(shù)法

下面這道電學(xué)題是求兩燈泡的功率之比，因?yàn)閮蔁襞荽?lián)在電路之中，所以電流相等，因此功率之比等于其電壓值比，但是它倆的電壓值分別是多少從圖象中根本看不出來，好像無從下手.但有一點(diǎn)是肯定的，即兩個(gè)燈泡的電壓之和等于220V.我們可以做出很多條平行于橫軸的直線，每條直線與原來的兩條伏安特性曲線都有兩個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)值分別表示兩個(gè)燈泡的電壓，而兩個(gè)電壓之和應(yīng)等于220V，這就是所謂的“湊數(shù)法”.這個(gè)事說起來簡單，但做起來很麻煩，需要湊兩個(gè)數(shù)的和等于220.當(dāng)然通過仔細(xì)觀察，不斷地畫線，不斷地尋找，總能找到兩個(gè)電壓的數(shù)值之和等于220V，從而求得.“湊數(shù)法”是解這道題的技巧.

例5?如圖6所示為燈泡L1“220V，100W”和L2“220V，60W”的伏安特性曲線（I-U圖線），根據(jù)該圖線可以確定L1、L2兩燈串聯(lián)接在220V的電源上時(shí)，兩燈泡的實(shí)際功率之比大約為（?）

A.2.?B.3∶5.?C5∶3.?D1∶3.

解析?由I-U圖象可以看出，串聯(lián)時(shí)電流應(yīng)為024A，此時(shí)L1的電壓為60V，故此時(shí)L1的功率為P1=U1I1=144W.

L2的電壓為160V，故此時(shí)L2的功率P2=U2I2=384W.所以P1P2=144384≈13.

故應(yīng)該選D.

解題策略?畫出平行于橫軸的直線，讓兩個(gè)橫坐標(biāo)之和等于220，因此湊數(shù)“220”是解這道題的關(guān)鍵.

6?圖象相交法

圖象相交法就是題目本身已經(jīng)給出了一種函數(shù)圖象，再利用其它物理量之間的函數(shù)關(guān)系在原圖象中做出新的函數(shù)關(guān)系圖象，進(jìn)一步找到兩種函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)值，從而找到答案.兩種圖象的交點(diǎn)往往是解題的突破口.

例6?翼型降落傘有很好的飛行性能，它被看作飛機(jī)的機(jī)翼，跳傘運(yùn)動(dòng)員可方便地控制轉(zhuǎn)彎等動(dòng)作，其原理是通過對(duì)降落傘的調(diào)節(jié)，使空氣升力和空氣摩擦力都受到影響.已知：空氣升力F1與飛行方向垂直，大小與速度的平方成正比F1=C1v2;空氣摩擦力F2與飛行方向相反，大小與速度的平方成正比F2=C2v2，其中C1、C2相互影響，可由運(yùn)動(dòng)員調(diào)節(jié)，滿足如圖7b所示的關(guān)系.試求：

（1）圖a中畫出了運(yùn)動(dòng)員攜帶翼型傘跳傘后的兩條大致運(yùn)動(dòng)軌跡，試對(duì)兩位置的運(yùn)動(dòng)員畫出受力示意圖并判斷，①、②兩軌跡中哪條是不可能的，并簡要說明理由.

（2）若降落傘最終勻速飛行的速度v與地平線的夾角為α，試從力平衡的角度證明：tanα=C2C1.

（3）某運(yùn)動(dòng)員和裝備的總質(zhì)量為70kg，勻速飛行的速度v與地平線的夾角α約370（取tan370=075），勻速飛行的速度v多大？（取g=10m/s2，計(jì)算結(jié)果保留三位有效數(shù)字）.

解析?（1）對(duì)軌跡①中的降落傘進(jìn)行受力分析，如圖8①位置所示，軌跡①合力方向與速度方向不在同一條直線上，所以不會(huì)做直線運(yùn)動(dòng)，因此軌跡①不可能存在.對(duì)軌跡②中的降落傘進(jìn)行受力分析，如圖8②位置所示，三力可能平衡或三力的合力可能與速度在一條直線上，可以做直線運(yùn)動(dòng)，因此軌跡②可能存在.

（2）由圖8②位置的受力分析可以知道，勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)重力進(jìn)行分解，根據(jù)平衡條件得：

F1=mgcosα=c1v2，F(xiàn)2=mgsinα=C2v2.

兩式消去mg和v得tanα=C2C1.

（3）因?yàn)閠anα=C2C1=075，在圖7b中過原點(diǎn)作出直線C2=075C1，正確得到直線與曲線的交點(diǎn)坐標(biāo).

C2=24，C1=32.根據(jù)F2=mgsinα=C2v2或F1=mgcosα=c1v2得出v=57=133.

解題策略?在圖7b中過原點(diǎn)作出直線C2=075C1，找到與圖線的交點(diǎn)是解本題第三問的關(guān)鍵.

圖象是無聲的物理語言，圖象法解題是非常有力的表達(dá)，也是常用的解題方法.圖象法解題，除了上面常見的六種方法之外，還有很多其它方法.可以說是形形色色，變化萬千.但萬變不離其宗，無論哪種方法，都是對(duì)物理基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用.知識(shí)是方法的基礎(chǔ)，方法是知識(shí)的應(yīng)用.要想擁有好的解題方法，必須首先擁有雄厚的物理基礎(chǔ)知識(shí).扎扎實(shí)實(shí)地學(xué)好基礎(chǔ)知識(shí)，是一切巧思妙解的根源，基礎(chǔ)知識(shí)掌握不透徹，不到位，則方法就無從談起，方法就成了無本之木，無源之水.當(dāng)然，好的方法和技巧，也能反過來促進(jìn)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解和應(yīng)用，它們是相輔相成的.俗話說的好，熟才能生巧，厚積才能薄發(fā).

（收稿日期：2019-12-22）