核心素養(yǎng)之構造函數(shù)一題多證

焦占紅 張曉茜

摘?要：數(shù)學核心素養(yǎng)是學生知識、能力、情感態(tài)度價值觀的綜合體現(xiàn).不等式證明題常以壓軸題的形式出現(xiàn)，解答這類問題的有效策略是將題目的外形結構特征與導數(shù)運算法則結合起來，合理構造出相關的可導函數(shù)，然后利用該函數(shù)的性質(zhì)解決問題.

關鍵詞：核心素養(yǎng);導數(shù);構造函數(shù);證明

數(shù)學核心素養(yǎng)是學生知識、能力、情感態(tài)度價值觀的綜合體現(xiàn).函數(shù)不等式有助于學生數(shù)學核心素養(yǎng)的形成，集中體現(xiàn)了數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學運算等素養(yǎng).

以函數(shù)為背景，旨在考查導數(shù)運算法則的逆向、變形應用能力的不等式證明題，是近幾年高考試卷中的一位“?？汀?，經(jīng)常以壓軸題的形式出現(xiàn)，解答這類問題的有效策略是將題目的外形結構特征與導數(shù)運算法則結合起來，合理構造出相關的可導函數(shù)，然后利用該函數(shù)的性質(zhì)解決問題.

題目?已知函數(shù)f（x）=lnx-ax（x>0），a為常數(shù)，若函數(shù)f（x）有兩個零點x1，x2（x1≠x2）.

證明：x1x2>e2.

分析1?解決極值點偏移問題的最基本的方法，共有四個解題要點：

（1）求函數(shù)g（x）的極值點x0;

（2）構造函數(shù)f（x）=g（x0+x）-g（x0-x）;

（3）確定函數(shù)f（x）的單調(diào)性;

（4）結合F（0）=0，確定g（x0+x）與g（x0-x）的大小關系.

證法1?（巧抓極值點構造函數(shù)）由題意，函數(shù)f（x）有兩個零點x1，x2（x1≠x2），即f（x1）=f（x2）=0，易知lnx1，lnx2是方程x=aex的兩根.

設t1=lnx1，t2=lnx2，g（x）=xe-x，則g（t1）=g（t2）.

從而x1x2>e2lnx1+lnx2>2t1+t2>2.

下證：t1+t2>2.

因為g′（x）=（1-x）e-x，易得g（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，所以函數(shù)g（x）在x=1處取得極大值g（1）=1e.

當x→-∞時，g（x）→-∞;

當x→+∞時，g（x）→0且g（x）>0.

由g（t1）=g（t2），t1≠t2，不妨設t1

令F（x）=g（1+x）-g（1-x），x∈（0，1]，

則F′（x）=g′（1+x）+g′（1-x）=x（e2x-1）ex+1>0.

所以F（x）在（0，1]上單調(diào)遞增.

所以F（x）>F（0）=0對任意的x∈（0，1]恒成立.

即g（1+x）>g（1-x）對任意的x∈（0，1]恒成立.

由0

所以g[1+（1-t1）]=g（2-t1）>g[1-（1-t1）]=g（t1）=g（t2）.

即g（2-t1）>g（t2）.

又2-t1，t2∈（1，+∞），且g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，所以2-t12.

故x1x2>e2.

分析2?該方法的關鍵是巧妙引入變量s，然后利用等量關系，把t1，t2消掉，從而構造相應的函數(shù)，轉(zhuǎn)化所證問題.其解題要點為：

（1）取差構元：記s=t2-t1，則t2=t1+s，利用該式消掉t2;

（2）巧解消參：利用g（t1）=g（t2），構造方程，解之，利用s表示t1;

（3）構造函數(shù)：依據(jù)消參之后所得不等式的形式，構造關于s的函數(shù)G（s）;

（4）轉(zhuǎn)化求解：利用導數(shù)研究函數(shù)G（s）的單調(diào)性和最小值，從而證得結論.

證法2?（巧抓“根差”——s=△t=t2-t1構造函數(shù)）由題意，函數(shù)f（x）有兩個零點x1，x2（x1≠x2），即f（x1）=f（x2）=0，易知lnx1，lnx2是方程x=aex的兩根.

設t1=lnx1，t2=lnx2，g（x）=xe-x，則g（t1）=g（t2）.

從而x1x2>e2lnx1+lnx2>2t1+t2>2.

下證：t1+t2>2.

由g（t1）=g（t2），得t1e-t1=t2e-t2.

化簡得et2-t1=t2t1.①

不妨設t2>t1，由法1知，0

令s=t2-t1，則s>0，t2=s+t1.

代入①式，得es=s+t1t1，解得t1=ses-1.

則t1+t2=2t1+s=2ses-1+s.

故要證t1+t2>2，即證2ses-1+s>2.

又es-1>0，故要證2ses-1+s>2，

即證2s+（s-2）（es-1）>0.②

令G（s）=2s+（s-2）（es-1）（s>0），

則G′（s）=（s-1）es+1，G″（s）=ses>0.

故G′（s）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.

所以G′（s）>G′（0）=0.

從而G（s）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.

所以G（s）>G（0）=0.

所以②式成立，故t1+t2>2.

故x1x2>e2.

分析3?該方法的基本思路是直接消掉參數(shù)a，再結合所證問題，巧妙引入變量c=x1x2，從而構造相應的函數(shù).其解題要點為：

（1）聯(lián)立消參：利用方程f（x1）=f（x2）消掉解析式中的參數(shù)a;

（2）抓商構元：令c=x1x2，消掉變量x1，x2，構造關于c的函數(shù)h（c）;

（3）用導求解：利用導數(shù)求解函數(shù)h（c）的最小值，從而可證得結論.

證法3?（巧抓“根商”——c=x1x2構造函數(shù)）不妨設x1>x2，因為lnx1-ax1=0，lnx2-ax2=0，

所以lnx1+lnx2=a（x1+x2），lnx1-lnx2=a（x1-x2）.

所以lnx1-lnx2x1-x2=a.

欲證x1x2>e2，即證lnx1+lnx2>2.

因為lnx1+lnx2=a（x1+x2），

所以即證a>2x1-x2.

所以原問題等價于證明lnx1-lnx2x1-x2>2x1+x2.

即lnx1x2>2（x1-x2）x1+x2.

令c=x1x2（c>1），則不等式變?yōu)閘nc>2（c-1）c+1.

令h（c）=lnc-2（c-1）c+1，c>1，

所以h′（c）=1c-4（c+1）2=（c-1）2c（c+1）2>0.

所以h（c）在（1，+∞）上單調(diào)遞增.

所以h（c）>h（1）=ln1-0=0.

即lnc-2（c-1）c+1>0（c>1）.

因此原不等式x1x2>e2得證.

不等式證明是高考的熱門考點，函數(shù)的零點問題是近幾年的考查重點，本題以極值點偏移的小題為例，簡要探討構造函數(shù)問題.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部普通高中數(shù)學課程標準[M].北京：人民教育出版社，2017.

[2]華東師范大學數(shù)學系數(shù)學分析[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]人民教育出版社普通高中課程實驗教科書數(shù)學2-2 A版[M].北京：人民教育出版社，2018.

[4]林崇德21 世紀學生發(fā)展核心素養(yǎng)研究[M]. 北京：北京師范大學出版社，2016.

（收稿日期：2019-10-14）