利用微分方程建立汽車尾氣凈化器過濾過程的數(shù)學(xué)模型

申淑逸

（曲阜師范大學(xué)計算機(jī)學(xué)院 山東日照 276826）

一、模型分析

設(shè)排氣管和凈化器的長度分別為l1和l2，排氣設(shè)備總長度為l1+l2，有害氣體M均勻分布在排氣管之中，密度w0=M/l1，直接進(jìn)入空氣和沿凈化器穿行的數(shù)量比例為α0:α，α0+α。排氣管中還未通過凈化器的尾氣對有害氣體和吸收率和尾氣凈化器對隨尾氣穿行的有害氣體的吸收率分別是b和β，尾氣沿著排氣設(shè)備穿行的速度為v，燃料燃燒速度為u，并假設(shè)v＞＞v。令進(jìn)入大氣中的有害氣體的量為Q，在為Q建立模型得到數(shù)量表達(dá)式之前，先分析如何降低Q。

很顯然，提高尾氣凈化器對有害氣體的吸收率β、增長尾氣凈化器的長度l2可以降低Q，其次當(dāng)有害氣體沿凈化器穿行的速度v和比例α減少時，Q也會降低，下面通過微分方程建立數(shù)學(xué)模型對以上分析做出定量解答和驗證。

二、模型建立

以排氣管中有害氣體最先經(jīng)過的一端為坐標(biāo)原點，將排氣設(shè)備視作線段作為x軸的正半軸建立坐標(biāo)系。設(shè)t=0時在x=0處燃料燃燒，Q由穿過凈化器的流量確定，流量又與有害氣體在排期設(shè)備中的流量有關(guān)。定義兩個基本函數(shù)：有害氣體流量q(x,t)，表示單位時間t內(nèi)通過設(shè)備截面x處的有害氣體量；有害氣體密度w(x,t)，表示時刻t截面x處有害氣體含量。易知w(x,0)=w0，已知流量函數(shù)q(x,t)，則進(jìn)入大氣的有害氣體量Q就是x=l處的流量在尾氣穿過時間內(nèi)的總和：

首先求t=0時刻由尾氣攜帶的有害氣體單位時間內(nèi)通過x處的數(shù)量q(x,0)，計算(x,x+Δx)一段設(shè)備，令Δτ為尾氣穿過Δ需要的時間，有害氣體通過x和x+Δx處的流量分別為q(x,0)和q(x+Δx,0)，兩流量之差就等于這一段未設(shè)備對有害氣體的吸收量：

令Δτ →0，得微分方程：

設(shè)在x=0處點燃的燃料單位時間內(nèi)放出的有害氣體的量為H0，初始條件為：

q(0)=aH0,H0=uw0 ③

求解結(jié)果為：

在t時刻燃料燃燒至x=ut處，設(shè)此時燃料放出的有害氣體量為H(t)，則

H(t)=uw(ut,t) ⑤

根據(jù)已有分析，將坐標(biāo)原點平移至x=ut處可得：

由④和⑤可得出：

由于還未通過凈化裝置的尾氣也不斷吸收有害氣體，所以有害氣體密度w(x,t)由初值w0不斷增加，增量為w(x,t+Δt)-w(x,t)，根據(jù)守恒定律它的數(shù)值等于單位長度尾氣中有害氣體被吸收的部分，即：

如果令Δt→0，并將④和⑤代入，得：

解為：

將⑨代入⑦得：

最后將⑩代入①做積分，得：

三、結(jié)果分析