基坑土石方幾種體積計算公式的適用分析

成如剛

（黃岡職業(yè)技術學院 湖北 黃岡 438002）

在挖基礎土石方工程量計算實踐中，基坑平面形狀和基坑形體越來越多樣化，平面形狀已經不再局限于矩形、圓形，基坑的形體也不再局限于柱體、梯形體或者棱臺。面對這種情況，基坑土方體積計算公式該如何正確選擇呢？我們有必要對各種基坑（含基礎大開挖）土方形體體積計算公式的適用范圍進行分析。

1 土方垂直開挖，不放坡時的體積計算

此情況下，無論是否支擋土板、留工作面，任意形狀基坑均為柱體。

土方體積=坑底面積×挖深

1.1 任意形狀基坑

設基坑底面面積為S，基礎底面至設計室外標高深度為h，則：

1.2 矩形或方型基坑

設基坑底面尺寸為a×b，基礎底面至設計室外標高深度為h，此時坑底面面積S=ab，則：

1.3 圓形基坑、樁孔

設基坑底面半徑為r，基礎底面至設計室外標高深度為h，坑底面面積S=πr2，則：

2 土方開挖需放坡時的體積計算

放坡后形成各種形體，如擬柱體、梯形體、棱臺、圓臺、球缺、棱柱、圓柱、長方體等。

2.1 擬柱體體積公式及適用范圍

擬柱體是指所有的頂點都在兩個平行平面內的多面體。其體積公式為萬能公式，可計算初等幾何里各種形體的體積。公式如下：

其中：S上-上底面積；S下-下底面積；S0-中截面面積；h-高。

如果S（x）是x不超過三次的多項式，就能用擬柱體公式計算這個物體的體積。（注：用平行于底面的平面來切割物體，x記為平面到下底的距離，S（x）記為這個平面截物體所得的剖面面積）。[1]

長方體、圓柱、棱柱、圓錐、棱錐、圓臺、棱臺、梯形體、球、球冠、球缺等盡管各有自己求體積的公式，但都是擬柱體的特例，都可以用擬柱體公式計算體積[1-2]。

一般情況下，對任意平面形狀的基坑土方（含基礎大開挖土方），均可按擬柱體體積公式計算土方。

2.2 棱臺體積計算公式及適用范圍

當擬柱體的上下底面是對應邊平行的相似多邊形時，它就是棱臺。只要上、下平行的兩個面的對應邊比值相等，這兩個面相似[3]。

在土方計算時，公式（5）僅適用于基坑底面為正方形、圓形，且周邊放坡系數(shù)相等的情況。

當擬柱體的上下底面是對應邊平行，但上下底面不是相似多邊形時，就不是棱臺，此時體積計算按萬能公式h（S上+4S0+S下）計算，不能按公式（5）計算。

2.3 梯形體計算公式及適用范圍

梯形體（如圖1所示）是指上下底面平行且為平行四邊形，四個側面都是梯形的擬柱體，正四棱臺是梯形體的特例。

圖1 梯形體

其中：兩底為平行四邊形，a、b、A、B分別為上下底邊長；h為高。

正四棱臺是梯形體的特例，正四棱臺可采用梯形體體積公式計算，而梯形體體積不能采用正四棱臺體積公式計算。

如何判斷四棱臺還是梯形體呢?只要上、下平行的兩個面的對應邊比值相等，這兩個面相似，這時四個棱的延長線肯定交于一點，一定是四棱臺，不然就是梯形體。[3]

梯形體體積公式（6）也可轉換成另一體積公式：

如圖2所示，若a=a′+2c，b=b′+2c；A=a+2kh，B=b+2kh。代入體積公式（6），發(fā)現(xiàn)公式（6）與公式（7）相等。即h[ab+（a+A）（b+B）+AB]=h（a+Kh）（b+Kh）+K2h3=h（a′+2C+Kh）（b′+2C+Kh）+K2h3

在土方計算時，梯形體體積公式（7）僅適用于基坑底面為矩形且四面放坡系數(shù)相等的情況。只要是梯形體，公式（6）均適用。但對平面是三角形或者梯形的情況，可以補上大小一樣且互為對邊的圖形，形成矩形后也可適用公式（6）、（7），其體積計算結果取1/2即可，見圖2。

2.4 多個矩形組合形狀的基坑體積公式及適用范圍

多個矩形組合形狀的基坑土方（含基礎大開挖）形體還是擬柱體，無論周邊是否均勻放坡，均可按萬能公式（4）計算。

對由多個矩形組合的平面，周邊均勻放坡（放坡系數(shù)相等）時，也可以按如下公式[4]計算：

圖2 方形放坡地坑（梯形體）

其中：S下-坑底面積；L-坑底周長；h-高；K-放坡系數(shù)。

多個矩形可以組合成L形、凹形、凸形、十字形、Z形等形狀（見圖3[4]）。

圖3

對矩形組合的基坑，均適用擬柱體萬能公式（4）。滿足如下條件時，也可適用計算公式（8）：

①僅當周邊均勻放坡（放坡系數(shù)相等）時適用。若四周放坡不均勻，則只能適用擬柱體萬能公式（4）。

②對轉角處均為900的凹凸形等基坑平面，周邊均勻放坡時，適用公式（8）。否則，只能適用擬柱體萬能公式（4）。

③對于轉角處均為900的回形基坑平面，公式（8）不適用。只能適用擬柱體萬能公式（4）。

④對于有≠900轉角（含弧形）的基坑平面，公式（8）不適用。只能適用擬柱體萬能公式（4）。

3 實例計算比較

3.1 四棱臺與梯形體公式應用比較

背景資料：某工程挖矩形基坑，坑底長為7.0m，寬為4.0m，四周放坡系數(shù)0.5，深度為2.0m，三類土。計算挖基坑土方工程量。

計算過程：

基坑底a=7m，b=4m；基坑頂A=5+0.5×2×2=9m，B=4+0.5×2×2=6m

本基坑不是棱臺而是梯形體（判斷條件a：A=7/9=0.778≠b：B=4/6=0.667，不是棱臺）。

應用梯形體公式（6）計算：

若應用棱臺公式（5）計算，則結果有誤差，過程如下：

S上=9×6=54（m2），S下=7×4=28（m2）

二者結果差率=（80.59-80.67）/80.67=0.1%。上下面對應邊比值越不相近，差值越大[3]。

3.2 矩形組合坑體計算公式應用比較

背景資料：某大基坑底平面尺寸見圖4，坑深5.5m，四邊均按1：0.4的坡度放坡，計算基坑開挖的土方量。

計算過程：

方法一，利用萬能公式（4）計算：

該基坑每側邊坡放坡寬度為：Kh=0.4×5.5＝2.2m；坑底面積為：S下＝30×15－10×5＝400m2；坑口面積為：S上＝（30+2×2.2）×（15+2×2.2）-（10－2×2.2）×5＝34.4×19.4-5.6×5=639.36m2。

圖4 基坑底面布置

坑口面平面計算的另一方法：坑口面平面相當于下底面外放kh寬所圍成的平面，所以坑口平面面積也可按下式計算：S上=S下+下底周長×kh+4×kh×kh，下底周長L=100m，S上=400+100×2.2+4×2.2×2.2=639.36m2。

方法二，利用公式（8）計算：

二種方法計算結果一致。

4 結束語

一般情況下，無論哪種平面形狀的基坑，無論是否放坡，無論周邊放坡是否均勻，土石方體積計算均適用擬柱體體積萬能公式（4）。

對于平面為四邊形的基坑，土石方體積計算還可適用梯形體體積計算公式（6）。四周放坡一致時還可適用公式（7）。正四棱臺是梯形體的特例。

對于平面為矩形組合的基坑，若四周放坡均勻，土石方體積計算除適用擬柱體體積萬能公式（4）外，還可適用計算公式（8）和（7）。

把握以上幾點，對實踐工作中正確選擇基坑土石方的體積計算公式具有非常重要的意義。