靜中求動(dòng)，極限“顯靈”

廖支斌

對(duì)于立體幾何選擇題，由于其涉及的知識(shí)點(diǎn)多、推理復(fù)雜、運(yùn)算量大，學(xué)生感到較難掌握.學(xué)生在解立體幾何選擇題時(shí)，如果解題思想方法不當(dāng)，很容易影響解題速度及正常發(fā)揮.若學(xué)生能沖破思維定式，則可走出“山重水盡”的困境，走上“柳暗花明”的大道.下面筆者從動(dòng)態(tài)的角度出發(fā)，對(duì)極限的思想就兩個(gè)方面進(jìn)行例談.

一、在圖形形狀的變化中運(yùn)用極限思想

立體幾何中的柱、錐、臺(tái)之間有千絲萬縷的聯(lián)系，無論是定義，還是面積、體積公式，無不體現(xiàn)著極限思想.因此，在解答上述圖形問題時(shí)，為了避免復(fù)雜計(jì)算，可運(yùn)用極限思想去解決.

【例1】 已知圓錐的底面半徑為R，高為h，在其內(nèi)部放一高為x的內(nèi)接正n棱柱，當(dāng)棱柱的側(cè)面積取得最大值時(shí)，x的值是（ ）.

A.h2

B.h3

C.h4

D.3h4

解：將正n棱柱視為圓柱，這時(shí)S圓柱側(cè)=2·π≤（h-xhR）x=

2πRh（h-x）x≤2πRh·[（h-x）+x2]2=

πRh2

，當(dāng)且僅當(dāng)h-x=x，即x=h2時(shí)，圓柱側(cè)面積最大.

【例2】 一棱臺(tái)的上下底面積之比為1∶4，則以棱臺(tái)中截面為底面，以棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的棱錐與該棱臺(tái)的體積之比為（ ）.

A.27∶56 B.27∶64 C.9∶28 D.8∶27

解：將棱臺(tái)視為圓臺(tái)時(shí)，棱錐則可視為圓錐，由條件可得，上下底半徑為1∶2.設(shè)頂點(diǎn)O到上底面的距離為x，圓臺(tái)的高為y，則易求得xx+y=12，

∴x=y，進(jìn)而求得兩體積之比為27∶56，選A.

【例3】 過棱臺(tái)高的三等分點(diǎn)作兩個(gè)平行于底面的截面，則夾在兩截面間的幾何體的體積與原棱臺(tái)體積的比值是（ ）.

A.1∶3 B.8∶27 C.7∶27 D.不能確定

解：此題可考慮棱臺(tái)形狀的變化，當(dāng)棱臺(tái)趨于棱柱時(shí)，兩體積之比為1∶3，當(dāng)棱臺(tái)趨于棱錐時(shí)，兩體積之比為7∶27，因此只能選D.

二、在圖形的點(diǎn)、位置的變化中運(yùn)用極限思想

【例4】 空間四邊形ABCD的對(duì)角線AC=12，BD=10，截面MNRS與兩對(duì)角線AC、BD平行，則截面四邊形MNRS的周長(zhǎng)的取值范圍是（ ）.

A.（10，12） B.（4，11） C.（20，24） D.取值與AB、CD的長(zhǎng)有關(guān)

分析：若用常規(guī)方法，則要用到線面平行、線段成比例等性質(zhì)才能解決，運(yùn)算麻煩.若運(yùn)用極限思想，則簡(jiǎn)捷明了.

解：如圖1，易知截面為平行四邊形，當(dāng)MN→AC，即MN→12時(shí)，MS→0，∴截面MNRS的周長(zhǎng)→24，同樣，當(dāng)MS→BD，即MS→10時(shí)，截面MNSR的周長(zhǎng)→20，故選C.

【例5】 如圖2，設(shè)正三棱錐P—ABC的底面△ABC的中心為O，過O點(diǎn)的動(dòng)平面與三條側(cè)棱或其延長(zhǎng)線分別交于Q、R、S，則1PQ+1PR+1PS

（ ）.

A.有最大值無最小值

B.有最小值無最大值

C.有最大值也有最小值

D.等于一個(gè)常數(shù)

練習(xí)題：1.已知三棱錐S—ABC的頂點(diǎn)在底面的射影在△ABC內(nèi)，則∠ASC+∠BSC+∠CSA的大小范圍是（ ）.

A.（0，π）

B.（0，π2）

C.（π2.π）

D.（0，2π）

分析：當(dāng)頂點(diǎn)S→無窮遠(yuǎn)處，∠ASC+∠BSC+∠CSA→0，頂點(diǎn)S→底面時(shí)，∠ASC+∠BSC+∠CSA→2π，故選D.

2.由半徑為R的球面上一點(diǎn)P作球的兩兩垂直的三條弦PA、PB、PC，則PA2+PB2+PC2的值等于（ ）.

A.R2

B.2R2

C.3R2

D.4R2

解：當(dāng)PC→球面相切時(shí)，PC→0，而面PAB→過球心，AB→2R，則PA2+PB2+PC2→PB2+PC2→（2R）2=4R2；當(dāng)PB、PC→球面相切時(shí)，PB，PC→0，PA→2R，∴PA2+PB2+PC2→PA2→（2R）2=4R2，故選D.

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）endprint

對(duì)于立體幾何選擇題，由于其涉及的知識(shí)點(diǎn)多、推理復(fù)雜、運(yùn)算量大，學(xué)生感到較難掌握.學(xué)生在解立體幾何選擇題時(shí)，如果解題思想方法不當(dāng)，很容易影響解題速度及正常發(fā)揮.若學(xué)生能沖破思維定式，則可走出“山重水盡”的困境，走上“柳暗花明”的大道.下面筆者從動(dòng)態(tài)的角度出發(fā)，對(duì)極限的思想就兩個(gè)方面進(jìn)行例談.

一、在圖形形狀的變化中運(yùn)用極限思想

立體幾何中的柱、錐、臺(tái)之間有千絲萬縷的聯(lián)系，無論是定義，還是面積、體積公式，無不體現(xiàn)著極限思想.因此，在解答上述圖形問題時(shí)，為了避免復(fù)雜計(jì)算，可運(yùn)用極限思想去解決.

【例1】 已知圓錐的底面半徑為R，高為h，在其內(nèi)部放一高為x的內(nèi)接正n棱柱，當(dāng)棱柱的側(cè)面積取得最大值時(shí)，x的值是（ ）.

A.h2

B.h3

C.h4

D.3h4

解：將正n棱柱視為圓柱，這時(shí)S圓柱側(cè)=2·π≤（h-xhR）x=

2πRh（h-x）x≤2πRh·[（h-x）+x2]2=

πRh2

，當(dāng)且僅當(dāng)h-x=x，即x=h2時(shí)，圓柱側(cè)面積最大.

【例2】 一棱臺(tái)的上下底面積之比為1∶4，則以棱臺(tái)中截面為底面，以棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的棱錐與該棱臺(tái)的體積之比為（ ）.

A.27∶56 B.27∶64 C.9∶28 D.8∶27

解：將棱臺(tái)視為圓臺(tái)時(shí)，棱錐則可視為圓錐，由條件可得，上下底半徑為1∶2.設(shè)頂點(diǎn)O到上底面的距離為x，圓臺(tái)的高為y，則易求得xx+y=12，

∴x=y，進(jìn)而求得兩體積之比為27∶56，選A.

【例3】 過棱臺(tái)高的三等分點(diǎn)作兩個(gè)平行于底面的截面，則夾在兩截面間的幾何體的體積與原棱臺(tái)體積的比值是（ ）.

A.1∶3 B.8∶27 C.7∶27 D.不能確定

解：此題可考慮棱臺(tái)形狀的變化，當(dāng)棱臺(tái)趨于棱柱時(shí)，兩體積之比為1∶3，當(dāng)棱臺(tái)趨于棱錐時(shí)，兩體積之比為7∶27，因此只能選D.

二、在圖形的點(diǎn)、位置的變化中運(yùn)用極限思想

【例4】 空間四邊形ABCD的對(duì)角線AC=12，BD=10，截面MNRS與兩對(duì)角線AC、BD平行，則截面四邊形MNRS的周長(zhǎng)的取值范圍是（ ）.

A.（10，12） B.（4，11） C.（20，24） D.取值與AB、CD的長(zhǎng)有關(guān)

分析：若用常規(guī)方法，則要用到線面平行、線段成比例等性質(zhì)才能解決，運(yùn)算麻煩.若運(yùn)用極限思想，則簡(jiǎn)捷明了.

解：如圖1，易知截面為平行四邊形，當(dāng)MN→AC，即MN→12時(shí)，MS→0，∴截面MNRS的周長(zhǎng)→24，同樣，當(dāng)MS→BD，即MS→10時(shí)，截面MNSR的周長(zhǎng)→20，故選C.

【例5】 如圖2，設(shè)正三棱錐P—ABC的底面△ABC的中心為O，過O點(diǎn)的動(dòng)平面與三條側(cè)棱或其延長(zhǎng)線分別交于Q、R、S，則1PQ+1PR+1PS

（ ）.

A.有最大值無最小值

B.有最小值無最大值

C.有最大值也有最小值

D.等于一個(gè)常數(shù)

練習(xí)題：1.已知三棱錐S—ABC的頂點(diǎn)在底面的射影在△ABC內(nèi)，則∠ASC+∠BSC+∠CSA的大小范圍是（ ）.

A.（0，π）

B.（0，π2）

C.（π2.π）

D.（0，2π）

分析：當(dāng)頂點(diǎn)S→無窮遠(yuǎn)處，∠ASC+∠BSC+∠CSA→0，頂點(diǎn)S→底面時(shí)，∠ASC+∠BSC+∠CSA→2π，故選D.

2.由半徑為R的球面上一點(diǎn)P作球的兩兩垂直的三條弦PA、PB、PC，則PA2+PB2+PC2的值等于（ ）.

A.R2

B.2R2

C.3R2

D.4R2

解：當(dāng)PC→球面相切時(shí)，PC→0，而面PAB→過球心，AB→2R，則PA2+PB2+PC2→PB2+PC2→（2R）2=4R2；當(dāng)PB、PC→球面相切時(shí)，PB，PC→0，PA→2R，∴PA2+PB2+PC2→PA2→（2R）2=4R2，故選D.

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對(duì)于立體幾何選擇題，由于其涉及的知識(shí)點(diǎn)多、推理復(fù)雜、運(yùn)算量大，學(xué)生感到較難掌握.學(xué)生在解立體幾何選擇題時(shí)，如果解題思想方法不當(dāng)，很容易影響解題速度及正常發(fā)揮.若學(xué)生能沖破思維定式，則可走出“山重水盡”的困境，走上“柳暗花明”的大道.下面筆者從動(dòng)態(tài)的角度出發(fā)，對(duì)極限的思想就兩個(gè)方面進(jìn)行例談.

一、在圖形形狀的變化中運(yùn)用極限思想

立體幾何中的柱、錐、臺(tái)之間有千絲萬縷的聯(lián)系，無論是定義，還是面積、體積公式，無不體現(xiàn)著極限思想.因此，在解答上述圖形問題時(shí)，為了避免復(fù)雜計(jì)算，可運(yùn)用極限思想去解決.

【例1】 已知圓錐的底面半徑為R，高為h，在其內(nèi)部放一高為x的內(nèi)接正n棱柱，當(dāng)棱柱的側(cè)面積取得最大值時(shí)，x的值是（ ）.

A.h2

B.h3

C.h4

D.3h4

解：將正n棱柱視為圓柱，這時(shí)S圓柱側(cè)=2·π≤（h-xhR）x=

2πRh（h-x）x≤2πRh·[（h-x）+x2]2=

πRh2

，當(dāng)且僅當(dāng)h-x=x，即x=h2時(shí)，圓柱側(cè)面積最大.

【例2】 一棱臺(tái)的上下底面積之比為1∶4，則以棱臺(tái)中截面為底面，以棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的棱錐與該棱臺(tái)的體積之比為（ ）.

A.27∶56 B.27∶64 C.9∶28 D.8∶27

解：將棱臺(tái)視為圓臺(tái)時(shí)，棱錐則可視為圓錐，由條件可得，上下底半徑為1∶2.設(shè)頂點(diǎn)O到上底面的距離為x，圓臺(tái)的高為y，則易求得xx+y=12，

∴x=y，進(jìn)而求得兩體積之比為27∶56，選A.

【例3】 過棱臺(tái)高的三等分點(diǎn)作兩個(gè)平行于底面的截面，則夾在兩截面間的幾何體的體積與原棱臺(tái)體積的比值是（ ）.

A.1∶3 B.8∶27 C.7∶27 D.不能確定

解：此題可考慮棱臺(tái)形狀的變化，當(dāng)棱臺(tái)趨于棱柱時(shí)，兩體積之比為1∶3，當(dāng)棱臺(tái)趨于棱錐時(shí)，兩體積之比為7∶27，因此只能選D.

二、在圖形的點(diǎn)、位置的變化中運(yùn)用極限思想

【例4】 空間四邊形ABCD的對(duì)角線AC=12，BD=10，截面MNRS與兩對(duì)角線AC、BD平行，則截面四邊形MNRS的周長(zhǎng)的取值范圍是（ ）.

A.（10，12） B.（4，11） C.（20，24） D.取值與AB、CD的長(zhǎng)有關(guān)

分析：若用常規(guī)方法，則要用到線面平行、線段成比例等性質(zhì)才能解決，運(yùn)算麻煩.若運(yùn)用極限思想，則簡(jiǎn)捷明了.

解：如圖1，易知截面為平行四邊形，當(dāng)MN→AC，即MN→12時(shí)，MS→0，∴截面MNRS的周長(zhǎng)→24，同樣，當(dāng)MS→BD，即MS→10時(shí)，截面MNSR的周長(zhǎng)→20，故選C.

【例5】 如圖2，設(shè)正三棱錐P—ABC的底面△ABC的中心為O，過O點(diǎn)的動(dòng)平面與三條側(cè)棱或其延長(zhǎng)線分別交于Q、R、S，則1PQ+1PR+1PS

（ ）.

A.有最大值無最小值

B.有最小值無最大值

C.有最大值也有最小值

D.等于一個(gè)常數(shù)

練習(xí)題：1.已知三棱錐S—ABC的頂點(diǎn)在底面的射影在△ABC內(nèi)，則∠ASC+∠BSC+∠CSA的大小范圍是（ ）.

A.（0，π）

B.（0，π2）

C.（π2.π）

D.（0，2π）

分析：當(dāng)頂點(diǎn)S→無窮遠(yuǎn)處，∠ASC+∠BSC+∠CSA→0，頂點(diǎn)S→底面時(shí)，∠ASC+∠BSC+∠CSA→2π，故選D.

2.由半徑為R的球面上一點(diǎn)P作球的兩兩垂直的三條弦PA、PB、PC，則PA2+PB2+PC2的值等于（ ）.

A.R2

B.2R2

C.3R2

D.4R2

解：當(dāng)PC→球面相切時(shí)，PC→0，而面PAB→過球心，AB→2R，則PA2+PB2+PC2→PB2+PC2→（2R）2=4R2；當(dāng)PB、PC→球面相切時(shí)，PB，PC→0，PA→2R，∴PA2+PB2+PC2→PA2→（2R）2=4R2，故選D.

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