實(shí)際問(wèn)題驅(qū)動(dòng) 激發(fā)內(nèi)生動(dòng)力
——排列組合案例淺析

陳小霞

(重慶市大足區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校 重慶 402360）

偉大科學(xué)家愛(ài)因斯坦曾說(shuō)“興趣是最好的老師，它可以激發(fā)人的創(chuàng)造熱情、好奇心和求知欲?！痹谥袊?guó)古代的歷法中，“十天干”甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；“十二地支”子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥，天干地支排列組合從而衍生出一輪甲子60年。這樣古老的紀(jì)年法一直沿用至今，她在閃耀華夏祖先智慧光芒的同時(shí)，更帶給大家對(duì)生活、學(xué)習(xí)和工作的新思考。我們的祖先發(fā)明干支紀(jì)年法主要是為解決當(dāng)時(shí)生產(chǎn)生活對(duì)時(shí)間長(zhǎng)度記錄的需要，是本著具體的解決問(wèn)題而來(lái)的，自然就洞開(kāi)了思維，也激發(fā)了探索的動(dòng)力。由此可見(jiàn)，當(dāng)我們將學(xué)習(xí)的初衷內(nèi)化為奔著解決問(wèn)題而來(lái)，那學(xué)習(xí)的效果一定會(huì)向著提升能力而去。為此，筆者以高中數(shù)學(xué)為例，通過(guò)排列組合案例解析，和大家一起感受數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的魅力。

一、排列組合思想在高中數(shù)學(xué)中的兩個(gè)重要理論支撐

分類計(jì)數(shù)原理：如果獨(dú)立完成一件事情有n種不同的途徑，并且第一種途徑有種m1不同的方法，第二種途徑有m2種不同的方法……第n種途徑有mn種不同的方法；那么完成該事件總共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法。

分步計(jì)數(shù)原理：完成一件事情有n個(gè)不同的步驟：第一步有m1種不同的方法，第二步有m2種不同的方法……第n步有mn種不同的方法；那么完成該事件總共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法。

從上述兩個(gè)原理中容易發(fā)現(xiàn)：組合思想是分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，排列思想是分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用。但在實(shí)際生活中，兩者往往又是密不可分的，下面以具體事例說(shuō)明。

二、實(shí)際生活中的排列組合案例

（一）案例一：名額分配問(wèn)題

現(xiàn)有10臺(tái)相同的電腦，配送到6個(gè)不同的工作部門，要求：每個(gè)部門至少分配一臺(tái)。則可能有多少種不同的配送方法？

滲透核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算。

（二）案例二：工作安排問(wèn)題

某公司安排4名員工周六和周末分上下午4個(gè)時(shí)段值班，員工甲不值上午，員工乙不值周六，則不同的值班安排有多少種？

分析：值班的時(shí)段不同，值班的員工也不同，這是一個(gè)與順序相關(guān)的，所以是排列問(wèn)題。

1.法一：對(duì)立面求解

由于此處的限制元素有兩個(gè)，且兩限制元素有共同的限制時(shí)段即周六的上午，故可以用對(duì)立面運(yùn)算?？偳闆r（不考慮限制條件通排）有A44=4×3×2×1=24種，對(duì)立面有甲值班上午和乙值班周六（注意：甲值班周六的上午和乙值班周六上午時(shí)，兩個(gè)限制條件重合，故運(yùn)算時(shí)應(yīng)該減去）即C21·A33+C21·A33-A33=18種。因此，滿足條件的安排有N=24-18=6種。

2.法二：正面分類求解（按甲的限制條件分類）

圖1

第1類（圖1）：若甲排周六下午，則乙可以在周日上、下午任選（有2種可能），而剩下的2人則在剩下的2個(gè)位置任選（有A22種）故由分步計(jì)數(shù)原理得N1=2A22=4種。

圖2

第2類（如圖2）：若甲排周日下午，則乙只能排周日上午，同樣的，其余2人在在剩下的2個(gè)位置中任選（有A22種）即N2=A22=2種。

綜上：由分類計(jì)數(shù)原理得N=N1+N2=4+2=6種。

3.法三：正面分類求解（按乙的限制條件分類）

第1類：若乙排周日上午（圖3）

圖3

N1=2A22=4種。

第2類：若乙排周日下午（圖4）

圖4

N2=A22=2種。

同理：由分類計(jì)數(shù)原理得N=N1+N2=4+2=6種。

滲透核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析。

（三）案例三：列隊(duì)問(wèn)題（排數(shù)問(wèn)題）

1.類型1：相鄰元素捆綁（注意捆綁元素自身的順序）

例如：6人列隊(duì)，其中甲和乙必須相鄰，則不同的排法有多少種？

分析：第1步，先將甲乙捆綁一體，考慮彼此之間的左右順序有2種情況；第2步將甲乙看成一個(gè)整體連同剩下的5人看成6個(gè)新的整體有A66種。因此2A66種

滲透核心素養(yǎng)：邏輯推理；數(shù)學(xué)建模；直觀想象；數(shù)學(xué)運(yùn)算

2.類型2：不相鄰元素插空（空格的位置和個(gè)數(shù)）

例如：6人列隊(duì)，其中甲和乙不相鄰，則不同的排法有多少種不同的排法？

分析：第1步，先將除甲乙以外的4人排成一列，有A44種不同的排法；第2步，在已排好位置的4人中有3個(gè)位置，以及在兩端的2個(gè)位置，共5個(gè)位置中任選2位置排入甲和乙，有A52種不同的排法；最后，由分步計(jì)數(shù)原理知N=A44·A52種。

滲透核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象；邏輯推理；直觀想象；數(shù)學(xué)運(yùn)算

3.類型3：定序均分問(wèn)題

例如：6人列隊(duì)，要求甲只能站在乙的右邊，則有多少種不同的排法？種情況，故相當(dāng)于在不考慮甲和乙的限制下通排后，再平均分成

分析：甲和乙有A22種排法，而甲站在乙的右端只是其中的一A22份，而甲站在乙的右端只站其中的一份。所以N=A66/A22種。一般的，在排列中要求特殊元素順序一定時(shí)，都會(huì)用所有元素的全排列除以定序元素的全排列。又如：6人排成一列，要求甲乙丙三人從左到右按照身高從高到低的順序排成一列，則N=A66/A33種。

滲透核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象；邏輯推理；數(shù)學(xué)建模；直觀想象；數(shù)學(xué)運(yùn)算

（四）案例四：均分與部分均分分組問(wèn)題

例如：將A、B、C、D個(gè)人平均分成2組，有多少種不同的分法？

分析：此處只需要將兩個(gè)人分成一組，而不必管組內(nèi)人員的分工，所以它是一個(gè)無(wú)序問(wèn)題。第一步，從4人中任選兩人作為第一組（或第二組）的元素；第二步，將第一步選后剩下的元素作為另一組。第三步，此處只管將4人分2組，而不必區(qū)分誰(shuí)是第一組，誰(shuí)是第二組，所以應(yīng)該除以平均分得的組數(shù)的全排列。綜上知：N=C42·C22/A22=3種。另解(枚舉)AB+CD；AC+BD；AD+BC同理，將6人平均分成3組共有分法數(shù)為N=C62·C42·C22/A53=15種。枚舉為AB+(CDEF)有(AB+CD+EF；AB+CE+DF；AB+CF+DE)3種；同理，AC+(BDEF)，AD+(BCEF)，AE+(BCDF)，AF+(B CDE)各有3種，故由分類計(jì)數(shù)原理知總數(shù)為15種。一般地，將不同的元素完全平均（或者部分平均）分成n組，第一步按組順序選擇，第二步除以平均分得的組數(shù)的全排列。如：將5本不同的故事書(shū)分給3個(gè)小朋友，其中2人得2本，另1人得1本?？梢韵确殖?個(gè)組，其中由于有2個(gè)組是平均分，故分組N1=C52·C32·C11/A53=15種；然后再將分好的3組排給3個(gè)小朋友為A33=6種，由分步計(jì)數(shù)原理有N=15×6=90種。

滲透核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算

（五）案例五：染色問(wèn)題

例如：用5色染4區(qū)，要求相鄰的區(qū)域顏色不能相同。

分析：第1類：0組顏色相同（用4色）；N1=A54=5×4×3×2×1=120種。

圖5

第2類：只有一組顏色相同（用3色）（有兩個(gè)區(qū)域顏色相同AD或者BC）N2=2A53=2×5×4×3=120

圖6.1

圖6.2

第3類：2組顏色都相同（用2色）（AD顏色相同、BC顏色也相同）N3=A52=5×4=120種。

圖7

綜上知N=N1+N2+N3=120+120+20=260種。

滲透核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)建模；數(shù)學(xué)運(yùn)算；數(shù)據(jù)分析

通過(guò)上述案例，筆者認(rèn)為，在新高考背景下做好對(duì)學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)能力的培養(yǎng)和提升工作，一定要在“引”上多下功夫，引導(dǎo)學(xué)生積極發(fā)現(xiàn)、探索，拓展學(xué)科知識(shí)與生產(chǎn)生活的實(shí)際聯(lián)系，用解決實(shí)際問(wèn)題的任務(wù)驅(qū)動(dòng)激發(fā)學(xué)生的內(nèi)驅(qū)力，喚醒學(xué)生對(duì)新知的渴求，不斷積蓄參與學(xué)習(xí)的熱情，讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)不僅是作為工具學(xué)科而存在的，數(shù)學(xué)源頭里注入的生活活水，在滌蕩數(shù)學(xué)美的同時(shí)，也能讓我們的生產(chǎn)生活更加有序、高效。