基于GARCH 模型的多元控制圖研究①

李 雙，劉 瀏，沈婉晴

一、 引言

統(tǒng)計過程控制控制(SPC)是一種重要的監(jiān)控方法，它能夠提高許多領(lǐng)域產(chǎn)品的生產(chǎn)質(zhì)量包括工業(yè)、金融、經(jīng)濟、醫(yī)療保健、環(huán)境科學(xué)等領(lǐng)域，SPC 用千檢測產(chǎn)品質(zhì)量特征值發(fā)生變化的常用和主要工具是控制圖。 常規(guī)的質(zhì)量控制圖主要有休哈特控制圖、CUSUM 控制圖以及EWMA 控制圖。 休哈特控制圖是休哈特博士在1924 年提出來的，它對檢測大的漂移更有效，基于此Page 在1954 年提出了CUSUM 控制圖，Roberts 在1959 年提出了EWMA 控制圖，他們都對檢測中小漂移有更加好的效果。 在一元EWMA 控制圖的基礎(chǔ)上Cynthia A. Lowry 等人在1992 年提出了多元情況下的EWMA控制圖也就是MEWMA 控制圖，MEWMA 控制圖可以對多維隨機變量進行監(jiān)控，但也要求我們的觀測值要滿足獨立同正態(tài)分布的假設(shè)。 在金融數(shù)據(jù)等數(shù)據(jù)中，很多都不滿足MEWMA 控制圖的假設(shè)前提，例如股票收盤價一般具有異方差性，如果我們忽視異方差性把它看作獨立正態(tài)分布則控制圖性能會大大降低。 ARCH 模型由Engle 教授在1982 年首次提出，ARCH 模型能準確地模擬時間序列的波動性。Bollerslev(1986 年) 在ARCH 模型的基礎(chǔ)上提出了廣義ARCH 模型(GARCH 模型)，GARCH 模型是應(yīng)用最廣泛的推廣模型。 很多數(shù)據(jù)存在異方差性在對它們進行監(jiān)控時可以先擬合GARCH 模型。 例如股票數(shù)據(jù)，先對其擬合GARCH模型再利用控制圖進行監(jiān)控。 已有的控制圖方法都是對單只股票進行監(jiān)控，無法實現(xiàn)對多只股票同時進行監(jiān)控，但是很多股民通常都不會只買一只股票，而是同時持有不同的幾只股票。 同時把多只股票放在一個控制圖中進行監(jiān)控，能夠在較短的時間做出相應(yīng)的決策，很大程度上節(jié)約時間并且規(guī)避因為沒有及時做出決策而產(chǎn)生的風(fēng)險。 本文提出利用GARCH 型MEWMA 控制圖對多只具有異方差性的數(shù)據(jù)同時進行監(jiān)控，并運用蒙特卡洛法得到的ARL 對控制圖性能進行研究。 前人在對一元異方差的數(shù)據(jù)進行監(jiān)控時， 使用條件異標準差替代觀測值無條件標準差作為控制線標準差。 本文是針對多元情形，運用MEWMA 控制圖同時對多組具有異方差結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)進行監(jiān)控，在具有異方差性的數(shù)據(jù)中，利用它們各自的條件異方差作為MEWMA 控制圖觀測值的方差，通過蒙特卡洛法進行模擬，由結(jié)果可以看出在異方差情形下我們的方法效果較好。 應(yīng)用我們的方法，能夠同時對多只具有異方差性的數(shù)據(jù)進行在線監(jiān)控，能為投資者提供更好的參考，有廣闊的應(yīng)用前景。

二、 MEWMA 控制圖

Cynthia A.Lowry 等人在1992 年提出MEWMA 控制圖，MEWMA 控制圖可以同時對多個質(zhì)量特征進行監(jiān)控，它的模型如下。

假設(shè)觀測值Xt＝(x1t，x2t，…，xpt)T，t＝1，2，…，n是擁有P個質(zhì)量特征的P×1 維隨機向量且Xt～NP(μ，Σ)，μ，Σ分別為觀測值Xt的均值向量和協(xié)方差矩陣。

則MEWMA 統(tǒng)計量Qt構(gòu)造為：

其中：R＝diag(r1，r2，…rp)當(dāng)r1＝r2＝…＝rp時：

當(dāng)t→∞時：

0＜ri≤1，i＝1，…，p當(dāng)統(tǒng)計量Qt的值超出受控時的控制線UCL 時，控制圖會給出報警信號，表明此時我們的觀測值發(fā)生了漂移，控制線UCL 通常通過模擬得到。 衡量控制圖性能的指標是ARL(Average Run Length)，一般受控時ARL 越大越好，失控時我們希望ARL 越小越好。 受控時的ARL 稱為ARL0失控時為ARL1。

三、 GARCH 模型

當(dāng)受控過程Xt{ }存在波動聚簇性時，我們可以對其擬合GARCH(m，n)模型。 其模型結(jié)構(gòu)為：

其中：

m(≥1)，n(≥0)，a0≥0，bi≥0，aj≥0 有a0，bi，aj是常數(shù)。et～WN( 0，1)且對于所有的t，εt與{Xt-k，k≥1}相互獨立。 我們稱為給定前期信息集Ft-1條件下{Xt}的條件異方差，在t時刻有Xt～N(μ，)它刻畫了{Xt}的隨時間的波動情況。 張力健等人在構(gòu)造控制圖過程中，以{Xt}的條件異標準差σt作為觀測值標準差來構(gòu)造控制限即得到ARCH 型控制圖。 周丹等人把這種構(gòu)造控制圖的方法應(yīng)用到了EWMA 控制圖中，并取得了良好的效果。

四、 GARCH 模型的MEWMA 控制圖

對具有異方差性的數(shù)據(jù)，先對其擬合GARCH 模型再利用多元控制圖對它們進行同時監(jiān)控。 為了方便我們以二元MEWMA 控制圖為例，在異方差情形下的二元MEWMA 控制圖模型可以表示為如下形式：

隨機變量X1，t的模型為：

隨機變量X2，t的模型為：

則統(tǒng)計量Qt構(gòu)造為：

其中Xt＝(X1，t，X2，t)'，μ＝(μ1，μ2)'，e1，t與e2，t～WN(0，1)，μ是Xt的均值向量且X2，t的協(xié)方差矩陣，常規(guī)的MEWMA 控制圖中∑是一個定值，但是存在異方差性的數(shù)據(jù)其方差是會隨時間的變化而變化。先對觀測值分別擬和GARCH 模型，在用它們的條件異方差和替代∑中隨機變量各自的方差。

五、 舉例論證

以二元控制圖為例，在金融數(shù)據(jù)比如股票數(shù)據(jù)中，多支數(shù)據(jù)往往具有異方差性和相關(guān)關(guān)系，本節(jié)受控過程(Xt)與{Yt}具有異方差性且二者之間存在一定的相關(guān)關(guān)系Yt＝0.2Xt+0.05。

{Xt}的輸出模型設(shè)為：

μ1，μ2分別是序列Xt{ }，Yt{ }的均值。 在b1取不同值情形下，給定Xt{ }的模型后，受控過程Yt{ }的模型由Eviews 軟件擬合得到。 由應(yīng)用R 軟件，通過蒙特卡洛模擬法模擬一萬次得到模擬結(jié)果。 固定ARL0當(dāng)Xt{ }，Yt{ }均值同時發(fā)生漂移或者某一個變量的均值發(fā)生漂移時比較它們的ARL1，從而得到控制圖性能。 確定受控時ARL0＝200，μ1＝0，ε1，1＝0，ε2，1＝0，在失控情形下ARL1越小越好。 選取控制圖的平滑系數(shù)為r＝0.1，MEWMA 控制圖要求數(shù)據(jù)服從多元正態(tài)分布故先對數(shù)據(jù)進行多元正態(tài)性檢驗，應(yīng)用主成分分析法對{Xt}，{Yt}先進行二元正態(tài)性檢驗，在b1＝0，0.3，0.6，1 時檢驗的每組Q-Q 圖分別如下所示。

圖1 b1=0 時Q-Q 圖

圖2 b1=0.3 時Q-Q 圖

圖3 b1=0.6 時Q-Q 圖

圖4 b1=1 時Q-Q 圖

由Xt{ }，Yt{ }的Q-Q 圖可以看出不論b1取何值時都基本二元服從正態(tài)分布。Xt的均值為0，Yt的均值為0.05，因此可以建立二元MEWMA 控制圖對Xt{ }，Yt{ }同時進行監(jiān)控。以下是隨機變量的均值發(fā)生不同漂移后的模擬結(jié)果。

表1 在ARL0為200 時，b1取不同值下 Xt{ }， Yt{ }均值都發(fā)生漂移模擬結(jié)果

表2 ARL0為200 時，b1取不同值下Xt均值發(fā)生漂移模擬結(jié)果：

表3 ARL0為200 時，b1取不同值下Yt均值發(fā)生漂移模擬結(jié)果：

表1 到表3 都是運用R 軟件進行蒙特卡洛方法隨機模擬10000 次得出的結(jié)果，由模擬結(jié)果可以得出，隨著b1的值不斷增大不論是兩個變量的均值同時發(fā)生漂移，還是某一個變量的均值發(fā)生漂移，控制圖都能較快地給出報警信號，說明我們的方法是較好地。 特別是在兩者均值同時發(fā)生漂移時和Yt發(fā)生漂移時，控制圖效果很好能夠較快地給出報警信號。

六、 結(jié)語

在運用控制圖進行監(jiān)控過程中，很多數(shù)據(jù)存在異方差性，研究者通常采用GARCH 模型刻畫它的波動性，但是在以往的文獻中大多都是對一元情形下的異方差性數(shù)據(jù)進行監(jiān)控。 本文提出了對多元情形下存在異方差結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)進行監(jiān)控的方法，即運用隨機變量擬合的GARCH 模型的條件異方差替代隨機變量各自的無條件方差作為協(xié)方差矩陣中各自的方差。 先檢驗了數(shù)據(jù)的多元正態(tài)性，再通過蒙特卡洛方法證明了我們方法的監(jiān)控效果較好。 以此為基礎(chǔ)構(gòu)造控制圖能夠同時對多只具有異方差結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)進行監(jiān)控，能夠為投資者提供更多的參考。