由端點(diǎn)分析法談導(dǎo)數(shù)問(wèn)題解決

陳興

【摘要】在解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題時(shí)，有兩個(gè)問(wèn)題會(huì)給解題進(jìn)程帶來(lái)極大困擾，其一是審題無(wú)從下手，其二是解題策略如何選擇.端點(diǎn)分析法提供了一個(gè)審題破題的常用方式，同時(shí)通過(guò)端點(diǎn)分析可進(jìn)一步明晰何時(shí)采用端點(diǎn)效應(yīng)、分類(lèi)討論及分離參數(shù)等常用的解題策略.

【關(guān)鍵詞】審題;端點(diǎn)分析;解題策略

一、何為端點(diǎn)分析

【考題一】（2016全國(guó)Ⅲ文21題改編）設(shè)c>1，證明：當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，1+（c-1）x>cx.

【思路1】從題目知，兩個(gè)變量（一個(gè)參數(shù)c，一個(gè)變量x）的關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，剪不斷，理還亂，而不等式的等價(jià)變形非常簡(jiǎn)單，移項(xiàng)得1+（c-1）x-cx>0，可構(gòu)造函數(shù)f（x）=1+（c-1）x-cx.接下來(lái)，馬上進(jìn)行求導(dǎo)？當(dāng)然不是的，審題還沒(méi)開(kāi)始，對(duì)于函數(shù)f（x）=1+（c-1）x-cx毫無(wú)了解就開(kāi)始做題，這是大忌，先把x看作主元（當(dāng)然首選x），我們只需在x∈（0，1）得到不等式成立即可.從端點(diǎn)出發(fā)，f（0）=0，f（1）=0，看到這個(gè)結(jié)果應(yīng)當(dāng)無(wú)比興奮，如果函數(shù)在此區(qū)間上先增再減，那么問(wèn)題已經(jīng)得證，就從這里開(kāi)始解題吧，請(qǐng)看過(guò)程.

【解析1】令g（x）=1+（c-1）x-cx.

由于g′（x）=（c-1）-cxln? c，g′（0）=c-1-ln c>0，

g″（x）=-cxln 2c<0，

所以g′（x）=（c-1）-cxln c為減函數(shù)，

于是存在x0∈（0，+∞），使得x∈0，x0，g（x）單調(diào)遞增，x∈x0，+∞，g（x）單調(diào)遞減，

所以g（x）在（0，1）中的最小值必定在x=0或者x=1處取得，

又f（0）=0，f（1）=0，因此問(wèn)題得證.

【思路2】從所證不等式來(lái)看，解題者往往先入為主地將x看作主元來(lái)解題，事實(shí)上c與x的地位是平等的.不妨將c當(dāng)作主元來(lái)看本題，令f（c）=1+（c-1）x-cx（c>1，x∈（0，1））.

分析端點(diǎn)值，f（1）=0，c→+∞，f（c）→+∞，要使不等式恒成立，最好f（c）=1+（c-1）x-cx為增函數(shù)，再看單調(diào)性分析，由于f′（c）=x-xcx-1=x（1-cx-1）>0，問(wèn)題得證.

【解析2】將c當(dāng)作主元，因此f（c）=1+（c-1）x-cx（c>1，x∈（0，1）），

由于f′（c）=x-xcx-1=x（1-cx-1）>0，

所以f（c）=1+（c-1）x-cx在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，

所以f（c）>f（1）=0.證畢.

【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】端點(diǎn)分析是審題的一個(gè)必要步驟，至少我們可以掌握更多函數(shù)本身的信息，了解函數(shù)圖像的起點(diǎn)和終點(diǎn)，給我們更多解題的空間.

二、端點(diǎn)分析結(jié)合單調(diào)性分析消除端點(diǎn)效應(yīng)的顧慮

【考題二】（2016全國(guó)Ⅱ文20題改編） 已知函數(shù)f（x）=（x+1）ln x-a（x-1）.若當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）>0，求a的取值范圍.

【思路1】分析是一種有效的學(xué)習(xí)方式，而對(duì)于解題那就要融會(huì)貫通了.我們依然從審題開(kāi)始，從整體來(lái)看，這是恒成立求參數(shù)范圍的問(wèn)題.恒成立求參數(shù)范圍有非常多的策略可用，選誰(shuí)？從哪里入手？這是問(wèn)題的關(guān)鍵所在.從端點(diǎn)開(kāi)始吧，由于f（1）=0，x→+∞，f（x）→+∞，函數(shù)值從0開(kāi)始連續(xù)變化到+∞會(huì)經(jīng)歷什么樣的變化？可以發(fā)揮你的想象.事實(shí)上，我們分析一下導(dǎo)數(shù)的情況，解題就很清晰了.注意到定義域?yàn)椋?，+∞），而題干要求（1，+∞），只是定義域的一個(gè)子區(qū)間，而f′（x）=ln x+1x+1-a，再次對(duì)f′（x）=ln x+1x+1-a進(jìn)行端點(diǎn)分析，f′（1）=2-a，x→+∞，f′（x）→+∞，左端點(diǎn)正負(fù)沒(méi)定，再次求導(dǎo)f″（x）=1x-1x2>0，因此f′（x）=ln x+1x+1-a是單調(diào)遞增函數(shù)，因此f′（x）=ln x+1x+1-a的正負(fù)情況只有兩種情形.情形一，2-a≥0，即f′（x）=ln x+1x+1-a≥0，此時(shí)f（x）為遞增函數(shù)，結(jié)合端點(diǎn)f（1）=0滿(mǎn)足條件;情形二，2-a<0，此時(shí)存在x0∈（1，+∞），使得x∈0，x0f′（x）=ln x+1x+1-a<0，結(jié)合端點(diǎn)f（1）=0，不滿(mǎn)足條件.題目解決.

【解析1】由已知，f（1）=0，f′（x）=ln x+1x+1-a，f″（x）=1x-1x2>0，f′（1）=2-a，

當(dāng)2-a≥0時(shí)，f′（x）=ln x+1x+1-a≥f′（1）=2-a≥0，

所以，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以f（x）>f（1）=0.

當(dāng)2-a<0時(shí)，存在x0∈（1，+∞），使得x∈0，x0f′（x）=ln x+1x+1-a<0，結(jié)合端點(diǎn)f（1）=0，不滿(mǎn)足條件.

綜上，a∈（-∞，2].

【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】端點(diǎn)為臨界值時(shí)，分類(lèi)討論的分界點(diǎn)恰好在導(dǎo)數(shù)端點(diǎn)值的零點(diǎn).

【思路2】由于f（1）=0，x→+∞，f（x）→+∞，由于區(qū)間左端點(diǎn)恰好是所證不等關(guān)系的臨界值.由于是臨界值，因此可以得到不等式成立的必要條件f′（1）≥0，即2-a≥0，通過(guò)證明此條件也是充分條件，問(wèn)題得以解決.這種解決問(wèn)題的思路很多人稱(chēng)為“端點(diǎn)效應(yīng)”.利用端點(diǎn)值處于臨界值，通過(guò)單調(diào)性分析，得到結(jié)論成立的必要條件，但此范圍未必具有充分性，從思路1中對(duì)f′（x）=ln x+1x+1-a的端點(diǎn)分析并結(jié)合其單調(diào)性分析，可以得到f（x）在（1，+∞）上只有兩種情形（見(jiàn)思路1），顯然由f′（1）≥0得到的范圍具有充分性，所以可以放心應(yīng)用“端點(diǎn)效應(yīng)”這一解題策略.

【解析2】由于f（1）=0，要使不等式f（x）>0在（1，+∞）上成立，必有f′（1）≥0.

由f′（x）=ln x+1x+1-a，

代入，得2-a≥0，即a∈（-∞，2].

另一方面，當(dāng)a∈（-∞，2]時(shí)，由于f″（x）=1x-1x2>0，

所以f′（x）=ln x+1x+1-a≥f′（1）≥0，

所以f（x）≥f（1）=0.

綜上，a∈（-∞，2].

三、端點(diǎn)分析結(jié)合單調(diào)性分析堅(jiān)定選擇常數(shù)分離

【考題三】（2018全國(guó)Ⅱ文21題改編）已知函數(shù)f（x）=1[]3x3-a（x2+x+1），證明：f（x）只有一個(gè)零點(diǎn).

【解析1】由于x2+x+1>0，

所以f（x）=0等價(jià)于x3[]x2+x+1-3a=0.

設(shè)g（x）=x3[]x2+x+1-3a，則

g′（x）=x2（x2+2x+3）[]（x2+x+1）2，

僅當(dāng)x=0時(shí)g′（x）=0，

所以g（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，故g（x）至多有一個(gè)零點(diǎn)，從而f（x）至多有一個(gè)零點(diǎn).

又f（3a-1）=-6a2+2a-1[]3=-6a-1[]62-1[]6<0，f（3a+1）=1[]3>0，故f（x）有一個(gè)零點(diǎn).

綜上，f（x）只有一個(gè)零點(diǎn).

【參考答案解構(gòu)】此題要證明一個(gè)三次函數(shù)零點(diǎn)唯一，從解答來(lái)看，至關(guān)重要的一步是將參數(shù)a給獨(dú)立出來(lái)，構(gòu)造新函數(shù)g（x），其中能順利構(gòu)造出來(lái)g（x）有兩個(gè)方面，一是x2+x+1>0，二是g′（x）=x2（x2+2x+3）[]（x2+x+1）2≥0，接下來(lái)解題順理成章.至于為什么構(gòu)造一個(gè)比原函數(shù)f（x）復(fù)雜得多的函數(shù)來(lái)處理，只有通過(guò)求導(dǎo)之后才能看出其中秘密.

下面通過(guò)“端點(diǎn)分析結(jié)合單調(diào)性分析”來(lái)明確獨(dú)立參數(shù)a的必要性，給解題者的策略選擇提供參考依據(jù).

【端點(diǎn)值分析】x→-∞，f（x）→-∞，x→+∞，f（x）→+∞，由零點(diǎn)存在性定理，至少存在一個(gè)零點(diǎn).

【單調(diào)性分析】f′（x）=x2-2ax-a，Δ=4a2+4a，正負(fù)未定，即零點(diǎn)情況未定，因此f（x）的單調(diào)性并不明顯.

從兩方面分析，若直接研究f（x）的零點(diǎn)問(wèn)題，需要對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論，而且涉及隱零點(diǎn)運(yùn)用問(wèn)題，過(guò)程復(fù)雜得多.為了對(duì)比，也將這種解題過(guò)程展示出來(lái).

【解析2】因?yàn)閒′（x）=x2-2ax-a，

令f′（x）=0，得Δ=4a2+4a.

當(dāng)Δ≤0，即-1≤a≤0時(shí)，f′（x）≥0，

此時(shí)顯然有唯一零點(diǎn).

當(dāng)Δ>0，即a<-1或a>0時(shí)，由f′（x）=0，

有x1=a+a2+a，x2=a-a2+a.

下面討論a>0的情形（a<-1的情形一樣，略去）.

由于f（x1）

當(dāng)x∈（-∞，x2）時(shí)單調(diào)遞增，在（x2，0）時(shí)單調(diào)遞減.此時(shí)x22=2ax2-a，x32=2ax22-ax2，

f（x2）=x32-a（x22+x2+1），將上式代入，得f（x2）=-a<0，因此x∈（-∞，0）無(wú)零點(diǎn).

綜上，f（x）只有唯一零點(diǎn).

四、總 結(jié)

端點(diǎn)分析法提供了一種審題切入的思路，同時(shí)根據(jù)端點(diǎn)值的情況可以進(jìn)一步猜想函數(shù)可能的走勢(shì)，從而問(wèn)題得以解決.端點(diǎn)分析結(jié)合單調(diào)性分析可以更加明確“端點(diǎn)效應(yīng)”能否順利解決問(wèn)題，同時(shí)對(duì)于分離參數(shù)的選擇是否合適提供了一個(gè)思考的方向.

【參考文獻(xiàn)】

熊丙章，劉麗穎.數(shù)學(xué)理解研究綜述[J].渤海大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2005（01）：39-42.