理想氣體狀態(tài)方程微分式及其應(yīng)用

許冬保

(江西省九江第一中學(xué) 332000)

一、理想氣體狀態(tài)方程微分式

設(shè)某理想氣體在溫度為T時(shí)，壓強(qiáng)及體積分別為p、V.由克拉珀龍方程知pV=nRT，式中n為摩爾數(shù)，R為摩爾氣體常量.

假設(shè)氣體的質(zhì)量不變(或n不變).對(duì)該式兩邊進(jìn)行微分運(yùn)算，可以得到d(pV)=nRdT，即pdV+Vdp=nRdT

下面對(duì)該式作些討論.

1. 查理定律微分式

2.蓋—呂薩克定律微分式

3.玻意耳定律微分式

4.體積功的微分式

假設(shè)氣體發(fā)生準(zhǔn)靜態(tài)過程，且氣體的壓強(qiáng)保持不變，當(dāng)體積變化dV時(shí)，因體積變化所對(duì)應(yīng)的元功為dW=pdV.結(jié)合克拉珀龍方程微分式，得到dW=nRdT.

二、應(yīng)用

1.水銀柱移動(dòng)問題的分析

例1 如圖1所示，兩容器用水平細(xì)管相連，容器內(nèi)裝有溫度均為T的同種理想氣體.若管中有一小段水銀柱將A、B兩部分氣體隔開，現(xiàn)使A、B同時(shí)升高溫度，若A升高到T+ΔTA，B升高到T+ΔTB，已知VA=2VB，欲使水銀柱向右移動(dòng)，則 ( ).

C.ΔTA<ΔTBD.ΔTA>ΔTB

分析A、B兩部分氣體溫度升高時(shí)，兩部分氣體的體積不變，假設(shè)壓強(qiáng)的增加量分別為ΔpA、ΔpB.由查理定律的微分式，有

欲使水銀柱向右移動(dòng)，則dpA>dpB，即dTA>dTB或ΔTA>ΔTB.選項(xiàng)D正確.

點(diǎn)評(píng)水銀柱移動(dòng)問題涉及氣體壓強(qiáng)、體積和溫度三個(gè)量的變化，常用假設(shè)法進(jìn)行分析.假設(shè)溫度變化時(shí)水銀柱不動(dòng)，通過比較水銀柱兩側(cè)氣體壓強(qiáng)的增量，來判斷水銀柱移動(dòng)的方向.或反過來由水銀柱移動(dòng)方向來判斷溫度變化的情況.解題方法上也常選擇p-T圖像進(jìn)行直觀分析.

例2 如圖2所示，三根粗細(xì)均勻的細(xì)玻璃管，中間均用一段水銀柱封住溫度相同的空氣柱，且V1=V2>V3，h1

A.丙管 B.甲管和乙管

C.乙管和丙管 D.三管上移一樣多

例3 如圖3所示，底部連通的均勻玻璃管a、b、c，上端封閉，原先三管中水銀面處在同一水平面上，如果再從底部緩慢注入稍許水銀，則三管中水銀面高度的情況為 ( ).

A.a中最高

B.b中最高

C.c中最高

D.一樣高

2.水銀柱注入問題的分析

例4 如圖5所示，長(zhǎng)度為82cm的粗細(xì)均勻的直玻璃管，內(nèi)有齊口2cm長(zhǎng)水銀柱封閉一定質(zhì)量的氣體，已知外界大氣壓強(qiáng)為76cm Hg.已知環(huán)境溫度不變，若從管口緩慢加入水銀，則能注入多長(zhǎng)的水銀柱？

由玻意耳定律，有p1V1=p2V2.

代入已知數(shù)據(jù)，解得x=2cm(x=0，舍去)

點(diǎn)評(píng)由圖5可進(jìn)一步討論：初態(tài)時(shí)，若管中空氣柱的長(zhǎng)度小于或等于管內(nèi)氣體的壓強(qiáng)，則無法注入水銀到管中，通過等溫線中斜率的分析可以比較方便地討論直玻璃管中水銀柱的注入問題.

注意當(dāng)p2=V2時(shí)，得到x=1cm.其對(duì)應(yīng)的物理意義是，該條件下的氣體溫度高于題述所給的環(huán)境溫度.

3.氣體做功問題的分析

例5 一定質(zhì)量的某種理想氣體從狀態(tài)a開始，經(jīng)歷等溫或等壓過程ab、bc、cd、da回到初始狀態(tài)，p-T圖像如圖6所示.其中對(duì)角線ac的延長(zhǎng)線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O.以下結(jié)論正確的是( ).

A.在a、c兩狀態(tài)氣體的體積相等

B.在狀態(tài)c時(shí)氣體的內(nèi)能等于它在狀態(tài)a時(shí)的內(nèi)能

C.在過程da中氣體從外界吸收的熱量大于氣體對(duì)外界做的功

D.在過程cd中氣體向外界放出的熱量小于外界對(duì)氣體做的功

E.在過程bc中外界對(duì)氣體做的功等于在過程da中氣體對(duì)外界做的功

分析僅對(duì)選項(xiàng)E進(jìn)行分析.由圖6可知：在過程bc中，壓強(qiáng)不變，由體積功的微分式，得dW=nRdT，即Wbc=nRΔT；同理，在過程da中，壓強(qiáng)不變，體積功為Wda=nRΔT.比較得到Wbc=Wda.選項(xiàng)ACE正確.

點(diǎn)評(píng)若由體積功的定義及玻意耳定律進(jìn)行推導(dǎo)得到Wbc=Wda，過程煩瑣.本題應(yīng)用微分式處理，輕松得到dW∝dT，有效地提高了思維品質(zhì).