解析構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的運用

夏碧芳

(福建省福州第十一中學(xué) 350001)

構(gòu)造法包括構(gòu)造方程、構(gòu)造方程、構(gòu)造數(shù)列等諸多內(nèi)容，難度較大，要想靈活運用并非易事.教學(xué)中，為學(xué)生講解構(gòu)造法相關(guān)知識，使學(xué)生深入理解構(gòu)造法，掌握構(gòu)造法運用的注意事項.同時，精講、優(yōu)選典型例題以及訓(xùn)練題，使學(xué)生在聽課、訓(xùn)練中，切實掌握構(gòu)造法運用技巧，做到靈活運用.

一、構(gòu)造方程的運用

解答部分高中數(shù)學(xué)試題時，經(jīng)常需要構(gòu)造一元二次方程，利用方程根與系數(shù)的關(guān)系以及Δ求解.為使學(xué)生能夠熟練地構(gòu)造方程，教學(xué)中，一方面，為學(xué)生講解構(gòu)造方程注意事項，即，要認(rèn)真讀題，結(jié)合題干構(gòu)建已知條件與方程的橋梁，而非盲目地構(gòu)造.另一方面，優(yōu)選例題，板書通過構(gòu)造方程解題的步驟，使學(xué)生認(rèn)真體會，加以充分地理解與吸收.

分析題干僅僅給出兩個等式，直接求解的難度較大，很多學(xué)生不知道如何下手.教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察兩個等式，找到兩個等式間的關(guān)系，通過構(gòu)造方程解題.

解由16cosC+4sinB+tanA=0，可設(shè)4=t，則不難構(gòu)造一元二次方程：(cosC)t2+(sinB)t+tanA=0.

Δ=sin2B-4cosCtanA,

又∵sin2B=4cosCtanA,∴Δ=0.

則關(guān)于t的一元二次方程有兩個相等實根，即，t1=t2=4.由根與系數(shù)的關(guān)系得：

二、構(gòu)造函數(shù)的運用

構(gòu)造函數(shù)在高考中較為常見，常用于解答大題中某一問，難度較大.教學(xué)中，一方面，為學(xué)生講解構(gòu)造函數(shù)的技巧，如為兩個函數(shù)，常通過作差構(gòu)造新的函數(shù)，而后利用導(dǎo)數(shù)知識進行討論.另一方面，優(yōu)選有代表性的試題，對學(xué)生進行訓(xùn)練，使學(xué)生在訓(xùn)練中掌握構(gòu)造函數(shù)解題的方法與步驟.

例2已知函數(shù)f(x)=x2+4x+2，g(x)=ex(2x+2)，若x≥-2時，f(x)≤kg(x)，求k的取值范圍.

分析題干涉及兩個函數(shù)，且給出“f(x)≤kg(x)”，可考慮運用構(gòu)造函數(shù)法解題.

解由已知條件，構(gòu)造函數(shù)F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2.

則F′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).

由題設(shè)可知F(0)≥0且F(-2)≥0，

可得1≤k≤e2.

令F′(x)=0，解得x1=-lnk，x2=-2.

(1)當(dāng)1≤k0.

可知在(-2，x1)上F(x)單調(diào)遞減，在(x1，+∞)上,F(x)單調(diào)遞增.因此在[-2，+∞)上最小值為F(x1)=-x1(x1+2)≥0.所以當(dāng)x≥-2時，F(xiàn)(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立.

(2)當(dāng)k=e2時，則F′(x)=2e2(x+2)(ex-e-2)，當(dāng)x>-2時，F(xiàn)′(x)>0，即F(x)在(-2，+∞)上單調(diào)遞增.而F(-2)=0，因此，當(dāng)x≥-2時，F(xiàn)(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立.

綜上可知k的取值范圍為[1，e2].

三、構(gòu)造數(shù)列的運用

構(gòu)造數(shù)列解答數(shù)學(xué)試題，對學(xué)生的要求進一步提高，教學(xué)中，為幫助學(xué)生樹立解題的自信，一方面，為學(xué)生講解等差、等比數(shù)列基礎(chǔ)知識，包括性質(zhì)、通項公式、前n項和求解方法等，使學(xué)生打牢基礎(chǔ).另一方面，構(gòu)造數(shù)列難度較大，教學(xué)中應(yīng)結(jié)合具體題目，對學(xué)生進行解題上的引導(dǎo)，使學(xué)生嘗到學(xué)習(xí)的成就感，自覺、認(rèn)真掌握構(gòu)造數(shù)列知識.

兩式相減得：

構(gòu)造法雖是解答高中數(shù)學(xué)試題的有效方法，但其難度較大，教學(xué)中應(yīng)注重教學(xué)研究，運用一定策略，使學(xué)生更好地掌握.一方面，教學(xué)中仍應(yīng)將數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識傳授作為教學(xué)重點，而后再進行構(gòu)造法知識的滲透.另一方面，為學(xué)生講解各構(gòu)造法的具體應(yīng)用，鼓勵學(xué)生認(rèn)真反思，把握應(yīng)用構(gòu)造法的關(guān)鍵點，遇到類似數(shù)學(xué)試題能夠迅速找到突破口.