理工科大學(xué)數(shù)學(xué)課程間的類(lèi)比與融合問(wèn)題探討

曹秀娟 王言英

摘? 要：理工科大學(xué)數(shù)學(xué)課程一般包括高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)和復(fù)變函數(shù)與積分變換四門(mén)課程.本文從課程內(nèi)容、課程思想和教學(xué)方法三個(gè)方面，探討了高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)、高等數(shù)學(xué)和概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、高等數(shù)學(xué)和復(fù)變函數(shù)與積分變換等課程間的類(lèi)比與融合問(wèn)題，提出了教與學(xué)的建設(shè)性建議，對(duì)提高大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量具有一定的指導(dǎo)意義。

關(guān)鍵詞：內(nèi)容? 思想? 方法? 類(lèi)比? 融合

中圖分類(lèi)號(hào)：G642.0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1674-098X（2020）11（c）-0226-04

Discussions on the Analogy and Integration of Mathematics Courses in Universities of Science and Engineering

CAO Xiujuan? WANG Yanying

（Department of Basic Courses， Shandong University of Science and Technology （Jinan）， Jinan， Shandong Province， 250031 China）

Abstract： The course of College Mathematics of science and engineering generally includes advanced mathematics， linear algebra， probability theory and mathematical statistics， and complex variable function and integral transformation. From three aspects of content， thought and method， this paper discussed the analogy and integration between higher mathematics and linear algebra， higher mathematics and probability theory and mathematical statistics， higher mathematics and complex variable function and integral transformation. This paper puts forward some constructive suggestions on teaching and learning， which has a certain guiding significance to improve the quality of college mathematics teaching.

Key Words： Content; Thought; Method; Analogy; Integration

目前，大多數(shù)理工科大學(xué)數(shù)學(xué)課程包括《高等數(shù)學(xué)》《線性代數(shù)》《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》以及《復(fù)變函數(shù)與積分變換》，授課順序絕大多數(shù)是先講《高等數(shù)學(xué)》，再講《線性代數(shù)》和《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》，最后講授《復(fù)變函數(shù)與積分變換》。這些數(shù)學(xué)課程是理工科大學(xué)的基礎(chǔ)理論課程，也叫通識(shí)教育必修課，為后繼專(zhuān)業(yè)課程的學(xué)習(xí)提供必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法，在大學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中起著非常重要的作用。但在教學(xué)過(guò)程中，經(jīng)常聽(tīng)到大學(xué)生反映數(shù)學(xué)課程多而且難學(xué)，尤其是學(xué)校論壇里，對(duì)數(shù)學(xué)課的抱怨最多，關(guān)于數(shù)學(xué)的段子最多，不少同學(xué)數(shù)學(xué)課掛科，甚至畢業(yè)前才補(bǔ)考通過(guò)。數(shù)學(xué)課真的那么難通過(guò)嗎？其實(shí)，這些課程沒(méi)有傳說(shuō)中那么難學(xué)，它們既是相互獨(dú)立的課程，相互間又有密切聯(lián)系，在課程內(nèi)容、數(shù)學(xué)思想和學(xué)習(xí)方法等方面具有共性，教師在授課過(guò)程中注意類(lèi)比、聯(lián)系、總結(jié)，學(xué)生掌握了這些特點(diǎn)，學(xué)習(xí)起來(lái)就能融會(huì)貫通，得心應(yīng)手，達(dá)到事半功倍的效果。尤其是《高等數(shù)學(xué)》，作為基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)，作為大學(xué)生接觸的第一門(mén)大學(xué)數(shù)學(xué)課程，其內(nèi)容、思想和方法都對(duì)其他幾門(mén)數(shù)學(xué)課程起到鋪墊作用。因此，研究課程間的聯(lián)系、類(lèi)比和融合問(wèn)題，對(duì)于提高大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效果具有重要的意義。

1? 內(nèi)容的類(lèi)比與融合

1.1 《高等數(shù)學(xué)》和《線性代數(shù)》有關(guān)內(nèi)容的類(lèi)比與融合

《高等數(shù)學(xué)》中多元函數(shù)求條件極值理論中，求函數(shù)在條件和下的極值問(wèn)題，按照拉格朗日系數(shù)法，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，求偏導(dǎo)，得到方程組

（1）

解方程組，求得極值 （極大值或者極小值）。若記，，，則分別是曲面，和的法向量。方程組（1）的前3個(gè)式子可以寫(xiě)成的形式，說(shuō)明向量線性相關(guān)，這便是《線性代數(shù)》中向量線性相關(guān)的概念，若向量線性相關(guān)，說(shuō)明共面，則可寫(xiě)成行列式的形式，又與《高等數(shù)學(xué)》中向量混合積的計(jì)算聯(lián)系了起來(lái)。

《線性代數(shù)》中向量?jī)?nèi)積的概念就是《高等數(shù)學(xué)》中向量數(shù)量積概念的一種推廣，n維向量沒(méi)有了3維向量那樣直觀的長(zhǎng)度和夾角的概念，但是依然可以根據(jù)向量的坐標(biāo)來(lái)定義n維向量的長(zhǎng)度和夾角。若在《高等數(shù)學(xué)》中向量代數(shù)的教學(xué)中，啟發(fā)式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生將3維向量推廣到n維向量，向量?jī)?nèi)積的概念自然就有了。在《線性代數(shù)》的向量?jī)?nèi)積教學(xué)中，再回憶3維向量的有關(guān)概念，同學(xué)們比較好接受新的知識(shí)點(diǎn)。

1.2 《高等數(shù)學(xué)》和《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》有關(guān)內(nèi)容的類(lèi)比與融合

《高等數(shù)學(xué)》中微積分學(xué)的內(nèi)容是《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》中連續(xù)型隨機(jī)變量有關(guān)概念和概率計(jì)算的基礎(chǔ)。比如，一維連續(xù)型隨機(jī)變量的定義是由廣義積分上限的函數(shù)界定的，即若對(duì)于隨機(jī)變量的分布函數(shù)，存在非負(fù)的可積函數(shù)，使，則稱(chēng)隨機(jī)變量X是連續(xù)型隨機(jī)變量，稱(chēng)是隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)，且有，該歸一性實(shí)質(zhì)是《高等數(shù)學(xué)》中廣義積分的收斂性問(wèn)題;對(duì)于和，有關(guān)系，這是《高等數(shù)學(xué)》中積分上限函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題，而積分上限函數(shù)定義中只講了下限是有限常數(shù)的情況，為了后續(xù)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程的需要，應(yīng)在《高等數(shù)學(xué)》學(xué)習(xí)中加以說(shuō)明無(wú)限常數(shù)的情況。事件的概率也轉(zhuǎn)化為積分計(jì)算問(wèn)題，即。連續(xù)型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E（X）也是積分問(wèn)題，即廣義積分的絕對(duì)收斂問(wèn)題。類(lèi)似地，二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概念，事件的概率計(jì)算，數(shù)學(xué)期望等又與二重積分有關(guān)，特別是廣義二重積分有關(guān)。而《高等數(shù)學(xué)》中只是講解了一維廣義積分和二重積分化為二次積分的計(jì)算方法以及應(yīng)用，廣義二重積分幾乎沒(méi)有提及過(guò)，屬于延伸部分的內(nèi)容。為了后續(xù)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》的順利學(xué)習(xí)，應(yīng)在《高等數(shù)學(xué)》學(xué)習(xí)中拓展廣義二重積分的概念和有關(guān)計(jì)算，為課程間的銜接做好準(zhǔn)備。

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》中離散型隨機(jī)變量的有關(guān)概念是以《高等數(shù)學(xué)》中無(wú)窮級(jí)數(shù)的有關(guān)內(nèi)容為基礎(chǔ)的。比如，離散型隨機(jī)變量 分布律的歸一性，實(shí)質(zhì)是無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂性問(wèn)題;離散型隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望又是無(wú)窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂的問(wèn)題，相關(guān)的計(jì)算轉(zhuǎn)化為《高等數(shù)學(xué)》中無(wú)窮級(jí)數(shù)求和函數(shù)的問(wèn)題。例如：隨機(jī)變量X服從參數(shù)為P的幾何分布，即，，其中，，，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為

1.3 《高等數(shù)學(xué)》和《復(fù)變函數(shù)與積分變換》有關(guān)內(nèi)容的類(lèi)比與融合

在函數(shù)部分，《高等數(shù)學(xué)》講，《復(fù)變函數(shù)與積分變換》里也講，只是對(duì)于函數(shù)來(lái)說(shuō)，Z的取值范圍不同，一個(gè)是實(shí)數(shù)范圍，一個(gè)是復(fù)數(shù)范圍。對(duì)于函數(shù)的一些性質(zhì)，比如周期性、有界性，對(duì)于一些特殊函數(shù)，自變量取值范圍不同，性質(zhì)不同。例如：指數(shù)函數(shù)滿(mǎn)足，說(shuō)明指數(shù)函數(shù)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)是以為周期的，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)則是沒(méi)有周期性的;正余弦函數(shù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)是有界的，滿(mǎn)足，，但在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，都是無(wú)界的。在教學(xué)過(guò)程中，注意采取類(lèi)比、對(duì)比的方法講解，有助于學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)點(diǎn)的理解和區(qū)分。

在導(dǎo)數(shù)概念中，《復(fù)變函數(shù)與積分變換》中導(dǎo)數(shù)的概念為，形式上與《高等數(shù)學(xué)》中一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念相同，但由于復(fù)數(shù)范圍內(nèi)是在復(fù)平面內(nèi)沿任何方向或任何曲線的，所以比實(shí)數(shù)范圍內(nèi)只是沿實(shí)數(shù)軸復(fù)雜的多，可以理解為《高等數(shù)學(xué)》中二元函數(shù)求極限時(shí)，方式的任意性。

在級(jí)數(shù)部分，復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（，）的收斂問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化實(shí)部級(jí)數(shù)和虛部級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題，即實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題?！稄?fù)變函數(shù)與積分變換》中泰勒級(jí)數(shù)是《高等數(shù)學(xué)》中實(shí)數(shù)范圍內(nèi)泰勒級(jí)數(shù)的延伸，求收斂半徑的方法和求泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式的方法均與《高等數(shù)學(xué)》中實(shí)數(shù)范圍內(nèi)泰勒級(jí)數(shù)相同;《復(fù)變函數(shù)與積分變換》中洛朗級(jí)數(shù)是《高等數(shù)學(xué)》中實(shí)數(shù)范圍內(nèi)泰勒級(jí)數(shù)的推廣，而對(duì)洛朗級(jí)數(shù)的學(xué)習(xí)又反過(guò)來(lái)使學(xué)生更好的理解實(shí)數(shù)范圍內(nèi)泰勒級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間。

2? 思想的類(lèi)比與融合

2.1 《高等數(shù)學(xué)》和《線性代數(shù)》有關(guān)思想的類(lèi)比與融合

《高等數(shù)學(xué)》中線性微分方程解的結(jié)構(gòu)與《線性代數(shù)》中線性方程組的有關(guān)的解的理論是平行的，相似的。

線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，以二階線性微分方程為例，

（2）

（3）

非齊次線性微分方程（3）的通解可以表示成對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程（2）的通解與非齊次線性微分方程（3）的特解的和的形式。

而在《線性代數(shù)》中線性方程組解的理論有，非齊次線性微分方程組AX=b的通解可以寫(xiě)成對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程組AX=0的通解與非齊次線性微分方程組AX=b的一個(gè)特解的和的形式。

2.2 《高等數(shù)學(xué)》和《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》有關(guān)思想的類(lèi)比與融合

《高等數(shù)學(xué)》中微分（或求導(dǎo)）和積分是互逆的兩種運(yùn)算，這種思想方法在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》中有所體現(xiàn)。對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，若存在非負(fù)的可積函數(shù)，使成立，則稱(chēng)隨機(jī)變量X是連續(xù)型隨機(jī)變量，稱(chēng)是X的概率密度函數(shù)，且有，之所以稱(chēng)是X的概率密度函數(shù)是因?yàn)槭堑膶?dǎo)數(shù)即變化率的問(wèn)題。

2.3 《高等數(shù)學(xué)》和《復(fù)變函數(shù)與積分變換》有關(guān)思想的類(lèi)比與融合

《高等數(shù)學(xué)》中講函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)于一元函數(shù)來(lái)說(shuō)，函數(shù)可導(dǎo)則連續(xù);對(duì)于二元函數(shù)來(lái)說(shuō)，函數(shù)在某點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的連續(xù)性之間沒(méi)有關(guān)系，但若是函數(shù)可微，則不管是一元函數(shù)還是二元函數(shù)，函數(shù)都會(huì)連續(xù)?！稄?fù)變函數(shù)與積分變換》中講復(fù)變函數(shù)的性質(zhì)，也講連續(xù)性和可導(dǎo)性，還延伸到解析性。復(fù)變函數(shù)對(duì)應(yīng)兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)和，二元實(shí)變函數(shù)可微，且滿(mǎn)足C-R 方程等價(jià)于復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)，因此，若復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)則二元實(shí)變函數(shù)可微，進(jìn)而，二元實(shí)變函數(shù)連續(xù)，則對(duì)應(yīng)的復(fù)變函數(shù)連續(xù)，故可得結(jié)論：復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)則連續(xù)。

3? 方法的類(lèi)比與融合

3.1 《高等數(shù)學(xué)》和《線性代數(shù)》有關(guān)方法的類(lèi)比與融合

例3-1 任何一個(gè)定義在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上的函數(shù)，總可以表示成一個(gè)奇函數(shù)與偶函數(shù)的和的形式。

證明：設(shè)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間D上有定義，

令，，則易證是D上的偶函數(shù)，是D上的奇函數(shù)，且。

例3-2任何一個(gè)n階實(shí)矩陣都可以表示為一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣和一個(gè)反對(duì)稱(chēng)矩陣的和的形式。

證明：設(shè)A為一個(gè)n階實(shí)矩陣，令，，則易證，B是一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣，C是一個(gè)反對(duì)稱(chēng)矩陣，且。

以上這兩道題目，例3-1來(lái)自《高等數(shù)學(xué)》，例3-2來(lái)自《線性代數(shù)》，問(wèn)題不同，思想相同，均用構(gòu)造函數(shù)或矩陣的方法使問(wèn)題得到解決，具有異曲同工之妙。

3.2 《高等數(shù)學(xué)》和《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》有關(guān)方法的類(lèi)比與融合

在《高等數(shù)學(xué)》的學(xué)習(xí)中，從一元函數(shù)微分學(xué)到多元函數(shù)微分學(xué)，從定積分到二重積分、三重積分再到曲線積分、曲面積分，運(yùn)用類(lèi)比、對(duì)比的學(xué)習(xí)方法特別有效，可以將新知識(shí)轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過(guò)的舊知識(shí)，降低學(xué)習(xí)的難度，加強(qiáng)所學(xué)內(nèi)容的區(qū)分與聯(lián)系，從而達(dá)到融會(huì)貫通、舉一反三的熟練程度?！陡怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計(jì)》中，從一維隨機(jī)變量到二維、多維隨機(jī)變量的有關(guān)概念、性質(zhì)及相關(guān)計(jì)算的學(xué)習(xí)，也可以運(yùn)用類(lèi)比、對(duì)比的學(xué)習(xí)方法，引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比思維，自覺(jué)對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行研究分析，重點(diǎn)把握其區(qū)別與聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力。

3.3 《高等數(shù)學(xué)》和《復(fù)變函數(shù)與積分變換》有關(guān)方法的類(lèi)比和融合

《高等數(shù)學(xué)》中，可以利用曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件，用偏積分的方法求二元函數(shù)。例如：在整個(gè)面內(nèi)，是某個(gè)二元函數(shù)的全微分，求出一個(gè)這樣的二元函數(shù)。解答如下：，由和 得，，取，得一滿(mǎn)足條件的二元函數(shù)。

《復(fù)變函數(shù)與積分變換》中，可以利用曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件，用偏積分的方法求共軛調(diào)和函數(shù)。設(shè)為單連通區(qū)域D內(nèi)的一個(gè)調(diào)和函數(shù)，記是的共軛調(diào)和函數(shù)，則由條件得，，由的調(diào)和性，即，可知，曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，可用偏積分法求出：

，

其中，是區(qū)域D內(nèi)一定點(diǎn)。

4? 結(jié)語(yǔ)

《高等數(shù)學(xué)》《線性代數(shù)》《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》和《的復(fù)變函數(shù)與積分變換四門(mén)大學(xué)數(shù)學(xué)課程，在內(nèi)容、思想和方法等方面具有相通之處，在《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)中，強(qiáng)調(diào)這些重點(diǎn)內(nèi)容，學(xué)生在后繼課程學(xué)習(xí)中就能順利銜接，降低學(xué)習(xí)難度，同時(shí)，在后繼課程教學(xué)中不斷復(fù)習(xí)、回顧《高等數(shù)學(xué)》中的相關(guān)內(nèi)容，學(xué)生又可以再次溫習(xí)《高等數(shù)學(xué)》的相關(guān)內(nèi)容，如此反復(fù)，學(xué)生可以逐漸對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)課程融會(huì)貫通。這些研究探討，對(duì)于提高大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效果具有一定的現(xiàn)實(shí)指導(dǎo)意義。

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