基于Bayes 概率模型的圓鋼管混凝土短柱軸壓承載力計(jì)算

呂貝貝 ，何曉升 ，2，高 峰 ，譚朝明 ，曲廣龍

（1.山西大同大學(xué) 建筑與測繪工程學(xué)院，山西 大同037003；2.中國礦業(yè)大學(xué)（北京）力學(xué)與建筑工程學(xué)院，北京 100083；3.山東科技大學(xué) 礦山災(zāi)害預(yù)防控制省部共建國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室培育基地，山東 青島 266590）

與普通混凝土相比，鋼管混凝土由于改善了核心混凝土的受力狀態(tài)，從而具有了塑性高，韌性好，承載力高等顯著優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于建筑結(jié)構(gòu)和橋梁工程中。近年來，隨著煤炭開采深度的增加，開采條件日益復(fù)雜，支護(hù)困難巷道帶來的問題越來越突出，鋼管混凝土支架作為巷道中新的支護(hù)結(jié)構(gòu)形式在深埋軟巖巷道中取得了良好的應(yīng)用效果[1-2]。目前，各國學(xué)者對于鋼管混凝土柱抗壓性能進(jìn)行了大量的試驗(yàn)研究及理論分析，并取得了很多成果，為工程設(shè)計(jì)提供了重要依據(jù)。各國現(xiàn)行設(shè)計(jì)規(guī)范中鋼管混凝土柱受壓承載力計(jì)算方法多為基于試驗(yàn)結(jié)果回歸的半經(jīng)驗(yàn)半理論公式，缺乏合理的理論模型，鋼管混凝土柱抗壓理論模型始終未形成統(tǒng)一認(rèn)識(shí)。且這種半經(jīng)驗(yàn)半理論公式都是基于地面建筑應(yīng)用的鋼管混凝土結(jié)構(gòu)，與地面建筑中使用的鋼管混凝土結(jié)構(gòu)相比，井下使用的鋼管混凝土結(jié)構(gòu)徑厚比較小。因此建立1 種統(tǒng)一的理論模型進(jìn)行鋼管混凝土短柱軸壓承載力估算有助于更準(zhǔn)確估算鋼管混凝土支架的承載能力。貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷理論綜合考慮樣本信息和先驗(yàn)信息，近年來已逐漸被引入結(jié)構(gòu)分析的相關(guān)計(jì)算中[3-4]。利用無信息先驗(yàn)分布貝葉斯多元線性參數(shù)估計(jì)方法，建立基于影響參數(shù)的圓鋼管混凝土短柱貝葉斯概率抗壓模型，基于該模型和收集到的170 組圓鋼管混凝土柱試驗(yàn)結(jié)果完成了模型參數(shù)計(jì)算及基于貝葉斯理論的試件短柱軸壓承載力計(jì)算，并利用貝葉斯參數(shù)剔除法進(jìn)行模型簡化，進(jìn)而得到了簡化概率抗壓模型，與GB 50396—2014《鋼管混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)范》、AISC 美國鋼結(jié)構(gòu)協(xié)會(huì)規(guī)范以及AIJ 日本建筑協(xié)會(huì)規(guī)范計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比分析，驗(yàn)證了該模型的有效性及優(yōu)越性。

1 規(guī)范計(jì)算模型

GB 50396—2014《鋼管混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)范》[5]中對圓鋼管混凝土柱抗壓強(qiáng)度計(jì)算模型，反映了工程結(jié)構(gòu)中構(gòu)件軸壓破壞的內(nèi)在規(guī)律，根據(jù)式（1）進(jìn)行承載力N0計(jì)算：

式中：Ac為核心混凝土橫截面面積；fc為核心混凝土抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值；θ 為套箍系數(shù)；a 為與混凝土強(qiáng)度等級(jí)有關(guān)的系數(shù)；As為鋼管橫截面面積；fs為鋼管抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值。

AISC 美國鋼結(jié)構(gòu)協(xié)會(huì)規(guī)范采用塑性應(yīng)力分布法來進(jìn)行圓鋼管混凝土軸心受壓短柱承載力NAISC的計(jì)算，見式（3），并考慮了構(gòu)件的局部屈曲，定義當(dāng)鋼管屈服時(shí)核心混凝土強(qiáng)度降低5%，即為0.95fc′。

式中：pno為鋼管混凝土柱的名義強(qiáng)度；pc為彈性屈曲臨界荷載。

式中：fc′為混凝土圓柱體抗壓強(qiáng)度；As、Ac為核心混凝土和鋼管截面面積；c2為核心混凝土強(qiáng)度折減系數(shù)，取 0.95。

式中：K 為長度等效系數(shù)；L 為柱的有效計(jì)算長度；（EI）eff為有效截面剛度。

式中：Es、Ec為鋼管和核心混凝土強(qiáng)度模量；Is、Ic為鋼管和核心混凝土的截面慣性矩；c3為考慮混凝土開裂后而對混凝土抗彎剛度進(jìn)行折減的系數(shù)。

AIJ 日本建筑協(xié)會(huì)規(guī)范中關(guān)于圓鋼管混凝土軸心受壓短柱承載力NAIJ計(jì)算，見式（8）。主要是通過對鋼管承載力定義1 個(gè)提升系數(shù)來考慮鋼管混凝土柱的強(qiáng)度提升。

式中：γc為混凝土圓柱體抗壓強(qiáng)度折減系數(shù)，取0.85；η 為強(qiáng)度提升系數(shù)，取 0.27。

2 貝葉斯參數(shù)估計(jì)

2.1 貝葉斯理論簡介

與經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)“從無到有”的理念不同，貝葉斯統(tǒng)計(jì)是“從有到有”的過程[6]，其推斷模式為先驗(yàn)信息⊕樣本信息?后驗(yàn)信息，即：將有關(guān)參數(shù)的歷史信息作為先驗(yàn)信息，結(jié)合樣本信息進(jìn)行未知參數(shù)估計(jì)，此處“⊕”表示貝葉斯定理的作用。在統(tǒng)計(jì)過程中，如果先驗(yàn)信息很少或沒有，則取未知參數(shù)的先驗(yàn)分布為無信息先驗(yàn)分布。

2.2 無信息先驗(yàn)分布參數(shù)估計(jì)

假設(shè)隨機(jī)變量 y 和自變量 x1、x2、…、xm之間存在線性關(guān)系：

式中：εi為獨(dú)立同分布于 N（0，1）的隨機(jī)變量，即 εi～N（0，1）；αi和 σ 為未知模型參數(shù)，并假設(shè)其先驗(yàn)信息是無知的。

則據(jù)貝葉斯假設(shè)可得參數(shù)的先驗(yàn)分布為：

據(jù)貝葉斯定理可得未知參數(shù)α 和σ 的后驗(yàn)信息，其中α 的后驗(yàn)分布為多元t 分布，據(jù)t 分布性質(zhì)可求得α 的后驗(yàn)期望值和協(xié)方差值。σ2的后驗(yàn)分布為逆Gamma 分布，據(jù)逆Gamma 分布的性質(zhì)可求得σ2的后驗(yàn)期望值。

3 模型建立

3.1 樣本信息

查閱國內(nèi)外關(guān)于圓鋼管混凝土軸心受壓短柱的抗壓試驗(yàn)資料，從文獻(xiàn)[7-27]中共收集到170 組試驗(yàn)數(shù)據(jù)，基本情況見表1。主要考慮了構(gòu)件截面尺寸（D×t×L，D 為柱子直徑，t 為鋼管壁厚，L 為柱子長度）、混凝土抗壓強(qiáng)度fc、鋼管抗壓強(qiáng)度fs、套箍指數(shù)θ 等因素，試驗(yàn)數(shù)據(jù)關(guān)于不同影響參數(shù)的分布情況如圖1。

3.2 概率模型建立

通過對圓鋼管混凝土軸心受壓短柱抗壓承載力的研究，綜合貝葉斯理論，假設(shè)公式（11）來計(jì)算構(gòu)件抗壓承載力。

表1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)Table 1 Test results

圖1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)關(guān)于不同參數(shù)的分布情況Fig.1 Distribution of parameter values of 170 test results

式中：x 表示圓鋼管混凝土短柱抗壓承載力影響因素的向量形式；A=（α，σ）為未知的模型參數(shù)，可利用上述貝葉斯參數(shù)估計(jì)方法，并結(jié)合樣本信息對其進(jìn)行估計(jì)；cd為先驗(yàn)?zāi)Ｐ?，是基于影響參?shù)的概率模型，無先驗(yàn)?zāi)Ｐ?；γ（x，α）為誤差修正項(xiàng)，形式未知；ε 為正態(tài)隨機(jī)變量；α=［α1，α2，…，αp］T，為對 x 的修正系數(shù)；σ 為后驗(yàn)分布所產(chǎn)生的方差。

本次研究只包含破壞試驗(yàn)數(shù)據(jù)，根據(jù)需要對式（11）進(jìn)行對數(shù)運(yùn)算，則確定鋼管混凝土短柱抗壓概率模型形式為：

式中：hi（x）是根據(jù)力學(xué)理論選擇的函數(shù)，是對影響參數(shù)的評估，取h1（x）＝ln2 為修正常數(shù)，h2（x）＝ln（D/t）考慮徑厚比影響，h3（x）＝ln（L/D）考慮長徑比影響，h4（x）＝lnθ 考慮套箍指標(biāo)影響，h5（x）＝ln（fs/fc）考慮混凝土與鋼管相對強(qiáng)度影響，h6（x）＝lnfc考慮混凝土強(qiáng)度影響，h7（x）＝lnAc考慮核心混凝土面積影響；σ 表示模型誤差。

3.3 計(jì)算結(jié)果

采用貝葉斯無信息先驗(yàn)分布，以表1 中試驗(yàn)數(shù)據(jù)為樣本信息，根據(jù)式（13）利用貝葉斯多元線性參數(shù)估計(jì)方法對未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。最終概率模型如式（14）。為與規(guī)范及試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比，利用《鋼管混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)范》、AISC 美國鋼結(jié)構(gòu)協(xié)會(huì)規(guī)范以及AIJ 日本建筑協(xié)會(huì)規(guī)范中鋼管混凝土柱抗壓承載能力的計(jì)算模型對170 根試件進(jìn)行計(jì)算，貝葉斯承載能力NB計(jì)算結(jié)果及對比結(jié)果見表1。

3.4 模型簡化

后驗(yàn)分布的σ 為0.169，可以剔除對抗壓承載能力影響不顯著的修正項(xiàng)，達(dá)到對式（14）的簡化。根據(jù)參數(shù) α＝［α1，α2，…，α9］T的后驗(yàn)分布可計(jì)算每 1個(gè)分量 αi的后驗(yàn)變異系數(shù)（coefficient of variation），即：

式中：μi、σi分別為 αi后驗(yàn)分布的期望值和標(biāo)準(zhǔn)差值。

變異系數(shù)的大小與修正項(xiàng)對圓鋼管混凝土短柱抗壓承載力的影響程度直接相關(guān)，變異系數(shù)cov（αi）越大，說明修正項(xiàng)hi（x）對抗壓承載力的影響越不顯著。尋找最大的cov（αi），并將與其對應(yīng)的hi（x）項(xiàng)刪除，由剩余的hi（x）項(xiàng)組成新的修正函數(shù)γ（x，α），再利用樣本信息和貝葉斯無信息參數(shù)估計(jì)法對剩余未知參數(shù)（α，σ）重新進(jìn)行估計(jì)。重復(fù)此步驟，直至σ 的后驗(yàn)期望值顯著增大則停止剔除，至此完成簡化，具體的參數(shù)剔除過程見表2。

表2 參數(shù)剔除過程Table 2 Stepwise deletion process

從表2 中可以看出當(dāng)剔除影響參數(shù)h3（x）＝ln（L/D）時(shí)，σ 值沒有顯著變化，但當(dāng)剔除參數(shù)h2（x）＝ln（D/t）時(shí)，σ 值顯著增大到0.229，可見h1（x），h2（x），h4（x），h5（x），h6（x），h7（x）對構(gòu)件抗壓承載能力影響顯著，不能剔除，可得簡化后的概率模型為：

4 概率模型優(yōu)越性證明

現(xiàn)將收集到的170 根圓鋼管混凝土軸心受壓短柱試件的抗壓試驗(yàn)值按照大小重新排列，并結(jié)合基于影響參數(shù)的簡化概率模型的抗壓承載能力計(jì)算值，概率模型性能如圖2。由圖可見，抗壓承載能力試驗(yàn)值與計(jì)算值走勢相同，且大部分的試驗(yàn)值落入了概率模型的陰影部分。說明基于影響參數(shù)的概率模型與試驗(yàn)值吻合良好，可對圓鋼管混凝土短柱抗壓承載能力進(jìn)行無偏估計(jì)。證明了概率模型具有精度高隨機(jī)性小的優(yōu)越性能。

圖2 概率模型性能Fig.2 Performance of probabilistic model

各個(gè)模型計(jì)算值與試驗(yàn)值對比結(jié)果見表1，統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表3。以中國規(guī)范為例，其中利用基于影響參數(shù)的貝葉斯簡化概率模型計(jì)算170 根鋼管混凝土軸心受壓短柱試件的抗壓承載力時(shí)，μ（Ntest/NB）為1.010，σ（Ntest/NB）為 0.161，較利用《鋼管混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)范》模型計(jì)算同樣試件抗壓承載能力時(shí)的μ（Ntest/NGB）=1.147，σ（Ntest/NGB）=0.179 均減小。說明基于影響參數(shù)的簡化概率模型對鋼管混凝土短柱抗壓承載能力的計(jì)算值，較規(guī)范模型計(jì)算值更接近試驗(yàn)值，且隨機(jī)性較小。

以散點(diǎn)圖的形式對基于影響參數(shù)的簡化概率模型計(jì)算結(jié)果Ntest/NB與各規(guī)范模型計(jì)算結(jié)果Ntest/NGB、Ntest/NAISC、Ntest/NAIJ進(jìn)行了對比如圖3～圖5。以中國規(guī)范為例說明：由圖可見，Ntest/NB與Ntest/NGB分布相同，但較Ntest/NGB分布更集中。說明簡化概率模型合理考慮了各影響因素對鋼管混凝土短柱抗壓承載能力的影響，證明了該模型的合理性和準(zhǔn)確性。

表3 各模型與試驗(yàn)值比值統(tǒng)計(jì)結(jié)果Table 3 Statistical results between different models

圖3 GB 規(guī)范模型與貝葉斯模型對比Fig.3 Comparison between GB model and Bayes model

圖4 AISC 規(guī)范模型與貝葉斯模型對比Fig.4 Comparison between AISC model and Bayes model

5 結(jié) 論

研究以收集到的170 組國內(nèi)外關(guān)于圓鋼管混凝土短柱抗壓試驗(yàn)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，從貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷理論出發(fā)，利用其無信息先驗(yàn)分布參數(shù)估計(jì)法，建立了圓鋼管混凝土短柱基于影響參數(shù)的概率抗壓模型。采用貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷理論推得的概率模型計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)值相比，誤差很??；當(dāng)與各國規(guī)范模型相比時(shí)，概率模型計(jì)算結(jié)果與規(guī)范模型計(jì)算結(jié)果分布相同，但更接近試驗(yàn)值。說明基于影響參數(shù)的簡化概率模型具有合理性，且精度高隨機(jī)性小，可對圓鋼管混凝土短柱的抗壓承載能力進(jìn)行無偏估計(jì)。為圓鋼管混凝土短柱的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了可靠的理論依據(jù)。

圖5 AIJ 規(guī)范模型與貝葉斯模型對比Fig.5 Comparison between AIJ model and Bayes model