求直線與圓問(wèn)題中的最值

◇ 張風(fēng)嬌

直線與圓的位置關(guān)系有相離、相切和相交三種情況．而直線與圓問(wèn)題中的最值，往往就是通過(guò)判斷直線與圓的位置關(guān)系，結(jié)合相關(guān)的信息加以分析與解決．下面就結(jié)合直線與圓問(wèn)題中比較常見(jiàn)的弦長(zhǎng)、代數(shù)式、面積等最值問(wèn)題進(jìn)行實(shí)例剖析．

1 弦長(zhǎng)最值問(wèn)題

例1已知圓C:(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l:(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)，求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線l的方程及最短弦的長(zhǎng)度．

直線l的方程可化為(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0，由于m∈R，所以直線l恒過(guò)x＋y－4＝0與2x＋y－7＝0的交點(diǎn)，聯(lián)立直線方程得直線l恒過(guò)定點(diǎn)A(3，1)，圓心C(1，2)，d＝|AC|＝(半徑)，則點(diǎn)A在圓C內(nèi)，那么當(dāng)弦長(zhǎng)最短時(shí)有l(wèi)⊥AC，由，知直線l的斜率為k＝2，所以直線l的方程為y－1＝2(x－3)，整理得2xy－5＝0，則最短弦的長(zhǎng)度為

利用圓的性質(zhì)，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，通過(guò)數(shù)形結(jié)合來(lái)處理相應(yīng)的弦長(zhǎng)最值問(wèn)題較為簡(jiǎn)捷．

2 代數(shù)式最值問(wèn)題

例2已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋y2－4x＋1＝0．

(2)求y－x的最小值．

(2)設(shè)y－x＝b，即y＝x＋b，b為直線在y軸上的截距，當(dāng)直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)直線與圓相切且切點(diǎn)在第四象限時(shí)b最小，此時(shí)圓心C到直線的距離為，解得，所以y－x的最小值為

求解代數(shù)式的最值問(wèn)題，往往通過(guò)代數(shù)式所表示的幾何意義以及數(shù)形結(jié)合來(lái)判斷直線與圓的位置關(guān)系，從而使最值問(wèn)題得以解決．?dāng)?shù)形結(jié)合是處理此類(lèi)問(wèn)題的常用方法與關(guān)鍵所在．

3 距離最值問(wèn)題

例3已知圓C:x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．

(1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程；

(2)從圓C外一點(diǎn)P(x1，y1)向該圓引一條切線，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

(1)由于切線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，當(dāng)截距不為零時(shí)，設(shè)切線方程為x＋y＝a，由題知圓心C(－1，2)到切線的距離等于圓的半徑2，即解得a＝－1或a＝3；當(dāng)截距為零時(shí)，設(shè)y＝kx，同理可得或則所求切線的方程為x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0或或

(2)由于切線PM與半徑CM垂直，則|PM|2＝即則2x1－4y1＋3＝0，那么動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是直線2x－4y＋3＝0，則知|PM|的最小值就是|PO|的最小值，而|PO|的最小值為O到直線2x－4y＋3＝0的 距 離可得故所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為

求解直線與圓的距離問(wèn)題，關(guān)鍵是正確切入(即|PM|的最小值就是|PO|的最小值)，把有關(guān)的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系問(wèn)題、方程問(wèn)題、參數(shù)問(wèn)題等，利用方程的求解等方式確定有關(guān)的距離最值問(wèn)題．