奇數(shù)齒數(shù)圓柱齒輪齒頂尺寸的計(jì)算探討

陳 林

（南京高速齒輪制造有限公司，江蘇 南京 211123）

齒輪是一種常見(jiàn)的機(jī)械傳動(dòng)件，被廣泛使用在各種機(jī)械設(shè)備中。通過(guò)齒輪副的嚙合運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)力和運(yùn)動(dòng)的傳遞。一個(gè)齒輪副中的兩齒輪齒數(shù)往往滿足互質(zhì)的條件，以使得嚙合的機(jī)會(huì)更均等，通常相嚙合兩齒輪的齒數(shù)會(huì)存在奇數(shù)齒的情況。而齒頂圓直徑作為齒輪件加工制造過(guò)程需要控制的參數(shù)，會(huì)影響到齒輪副的重合度以及實(shí)際頂隙，通常加以公差約束，甚至?xí)鳛楫a(chǎn)品的終檢尺寸來(lái)要求。這就需要加工過(guò)程對(duì)尺寸的控制更為精準(zhǔn)，從制造過(guò)程來(lái)看，奇數(shù)齒數(shù)由于無(wú)法直接測(cè)量齒頂圓直徑，可行的是將齒頂圓直徑換算成齒頂圓最大弦長(zhǎng)，用量具直接檢測(cè)齒頂圓最大弦長(zhǎng)。常用且易于操作的方法就是采用游標(biāo)卡尺或者外徑卡尺來(lái)直接檢測(cè)尺寸。加工時(shí)通過(guò)控制該尺寸來(lái)間接地保證齒頂圓直徑達(dá)到設(shè)計(jì)要求，尤其是在齒形已加工好的零件再加工齒頂圓的情形就只能采用間接法保證齒頂圓尺寸的準(zhǔn)確性。那么，尺寸轉(zhuǎn)化計(jì)算的準(zhǔn)確性就顯得至關(guān)重要。

1 齒頂最大弦長(zhǎng)的計(jì)算

關(guān)于齒頂圓最大弦長(zhǎng)的計(jì)算公式，查閱文獻(xiàn)及生產(chǎn)使用情況，常用的是便于現(xiàn)場(chǎng)計(jì)算的近似公式，如下

圖2 奇數(shù)齒數(shù)齒頂圓尺寸的檢測(cè)示意圖

經(jīng)過(guò)仔細(xì)推敲分析并結(jié)合生產(chǎn)實(shí)踐，會(huì)發(fā)現(xiàn)上述公式計(jì)算不準(zhǔn)確或者不符合實(shí)際檢測(cè)條件，因?yàn)闇y(cè)量時(shí)，卡尺的卡爪間并不能準(zhǔn)確保證正好落在齒頂正中心位置，多次可能會(huì)得到差異較大的一系列檢測(cè)值，存在較大的測(cè)量誤差，實(shí)現(xiàn)齒頂圓直徑尺寸的控制。然而，最大值從理論上及實(shí)際測(cè)量時(shí)通過(guò)兩卡爪跨過(guò)相對(duì)兩齒頂?shù)睦饩€，如圖2 所示。從理論上該值是唯一的，生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際檢測(cè)也可以較容易地實(shí)現(xiàn)，測(cè)量系統(tǒng)性誤差較小。

由圖2 可知，齒頂圓最大弦長(zhǎng)計(jì)算公式為

式中：ad 為齒頂圓直徑，Z 為齒數(shù)（是一個(gè)奇數(shù)）。

上述近似公式可以通過(guò)圖1 所示的幾何關(guān)系得到。

圖1 齒頂圓最大弦長(zhǎng)近似表達(dá)

áa為齒頂圓端面壓力角。

圖3 齒頂圓最大弦長(zhǎng)示意圖

對(duì)比上述兩種計(jì)算公式，精確計(jì)算公式需要計(jì)算齒頂圓齒厚，相比之下簡(jiǎn)化版公式則較為簡(jiǎn)單，方便生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)在沒(méi)有專門的計(jì)算工具的條件下使用，下面對(duì)簡(jiǎn)化版公式及精確計(jì)算兩種公式進(jìn)行簡(jiǎn)要的對(duì)比分析，考慮齒數(shù)對(duì)簡(jiǎn)化版公式結(jié)果準(zhǔn)確性的影響。以便于在誤差能夠接受的范圍內(nèi)合理地選擇公式，做到“又快又準(zhǔn)”。從直觀上看齒數(shù)越少兩者差異越大，兩者的差異體現(xiàn)在是否考慮了齒頂圓齒厚對(duì)應(yīng)圓心角影響，如圖3 所示。

2 計(jì)算誤差分析

圖4 近似計(jì)算公式誤差

表1 近似計(jì)算公式誤差表

表2 各精度等級(jí)及模數(shù)對(duì)應(yīng)臨界齒數(shù)

根據(jù)計(jì)算結(jié)果，可得到如表2所示不同模數(shù)各精度等級(jí)對(duì)應(yīng)的臨界齒數(shù)，當(dāng)齒數(shù)大于該臨界值時(shí)，相應(yīng)的齒輪件采用近似公式控制的齒頂圓尺寸能夠達(dá)到相對(duì)應(yīng)的精度等級(jí)。由圖4可見(jiàn)，隨著模數(shù)的增加，近似計(jì)算公式更易導(dǎo)致齒頂圓尺寸超差；如對(duì)于齒頂圓直徑尺寸要求h9級(jí)的齒輪件，理論上能保證尺寸落在公差帶內(nèi)相對(duì)應(yīng)模數(shù)1,5,10,15,20及25的臨界齒數(shù)分別為17,43,57,60,65和68，如圖4及表2。也就是模數(shù)為5的齒輪當(dāng)其齒數(shù)不少于43時(shí)，按照近似公式結(jié)果加工的齒輪件能夠使齒頂圓達(dá)到h9級(jí)公差要求內(nèi)，模數(shù)為10的齒輪件當(dāng)其齒數(shù)不少于57時(shí)，按照近似公式結(jié)果加工的齒輪件能夠使齒頂圓達(dá)到h9級(jí)公差以內(nèi)。

3 結(jié)論

近似公式的計(jì)算誤差與齒輪件的齒數(shù)及模數(shù)相關(guān)。相同模數(shù)條件下隨著齒數(shù)的增加誤差逐漸減小，齒數(shù)增加至臨界齒數(shù)以上時(shí)，計(jì)算誤差會(huì)減小至相應(yīng)公差等級(jí)要求的誤差以內(nèi)；對(duì)齒數(shù)較大的齒輪，計(jì)算誤差相對(duì)較小，能夠滿足精度要求，而對(duì)齒數(shù)較少的齒輪件則可能會(huì)使得齒頂圓尺寸超差；隨著模數(shù)的增加，臨界齒數(shù)呈現(xiàn)出逐漸增加的趨勢(shì)，對(duì)公式計(jì)算精確性要求更高。