一類脈沖隨機(jī)泛函微分方程的分布穩(wěn)定性分析

梁青

(海南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 海南 ?？?571158)

1 引言

隨機(jī)泛函微分方程的穩(wěn)定性問題一直是許多學(xué)者關(guān)注的焦點(diǎn), 已獲得很多好的結(jié)論[1?3].關(guān)于隨機(jī)泛函微分方程的穩(wěn)定性, 許多文獻(xiàn)考慮的是方程解的依概率穩(wěn)定、指數(shù)穩(wěn)定或幾乎必然穩(wěn)定.但事實(shí)上, 從任意初始狀態(tài)開始, 充分長時(shí)間后, 方程解可能收斂于一個(gè)隨機(jī)變量,即依分布穩(wěn)定.換句話說, 無論系統(tǒng)的初始狀態(tài)是什么, 長時(shí)間后系統(tǒng)將處于平衡狀態(tài), 此狀態(tài)用不變測(cè)度來刻畫.Hu 和Wang 在文獻(xiàn)[4]中討論了帶Markov 切換的中立型隨機(jī)泛函微分方程的依分布穩(wěn)定性; Bao 等在文獻(xiàn)[5]中討論了帶Markov 切換的中立型隨機(jī)延遲微分方程的依分布穩(wěn)定性.另一方面, 脈沖效應(yīng)是自然界的普遍現(xiàn)象, 關(guān)于脈沖隨機(jī)泛函微分方程的穩(wěn)定性已有許多好的成果.Pan 和Cao 在文獻(xiàn)[6]中研究了有限延時(shí)的脈沖隨機(jī)泛函微分方程的p 階矩指數(shù)穩(wěn)定性和幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定性; Zhu 在文獻(xiàn)[7]中研究了帶Markov切換的脈沖隨機(jī)泛函微分方程的p 階矩指數(shù)穩(wěn)定性; Kao, Zhu 和Qi 在文獻(xiàn)[8]中研究了帶Markov 切換的脈沖隨機(jī)泛函微分方程的p 階矩指數(shù)穩(wěn)定性、幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定性和p 階矩指數(shù)不穩(wěn)定性, 并指出了該方程可被脈沖指數(shù)穩(wěn)定化的條件; 在文獻(xiàn)[9]中, Li 進(jìn)一步討論了隨機(jī)泛函微分方程的穩(wěn)定性問題, 通過利用方程的比較原理等技巧, 放寬了對(duì)擴(kuò)散算子的限制, 引入方程系數(shù)的積分平均值和平均脈沖區(qū)間, 得到了新的Lyapunov 穩(wěn)定性標(biāo)準(zhǔn); 在文獻(xiàn)[10]和[11]中, Hu 和Zhu 提出了帶有依賴于分布延時(shí)的脈沖效應(yīng)的隨機(jī)泛函微分方程和脈沖隨機(jī)延遲微分方程的Razumikhin 穩(wěn)定性定理, 該穩(wěn)定性標(biāo)準(zhǔn)的特點(diǎn)是Razumikhin 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是不確定的, 且對(duì)方程參數(shù)的限制進(jìn)一步弱化.但是, 關(guān)于脈沖隨機(jī)泛函微分方程的分布穩(wěn)定性的工作很少.本文從一個(gè)脈沖隨機(jī)泛函微分方程出發(fā), 利用弱收斂方法、伊藤公式和隨機(jī)分析技巧, 給出了該方程依分布穩(wěn)定的充分條件, 從而恰到好處地填補(bǔ)了這一空白.

2 準(zhǔn)備工作

設(shè)(?,F,{Ft}t≥0,P) 是一個(gè)完備的帶流的概率空間, {Ft}t≥0是滿足通常條件的流.本文中所有的隨機(jī)變量和隨機(jī)過程都定義在這個(gè)概率空間上. Rn為n 維歐氏空間, 定義內(nèi)積和范數(shù)分別為:若A 是矩陣, 則其跡范數(shù)為其中 AT表示 A 的轉(zhuǎn)置. B(t)=(B1(t),B2(t),··· ,Bm(t))T是 m 維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).設(shè) τ >0, PC([?τ,0];Rn)={? :[?τ,0]→ Rn|?(t+) 和 ?(t?) 存在, 且 ?(t?)= ?(t)},這里 ?(t+),?(t?) 分別表示函數(shù) ?(t) 在 t 處的右極限和左極限.

考慮以下脈沖隨機(jī)泛函微分方程

其中 ξ ∈ M, M 是 PC([?τ,0];Rn) 的有界子集且 ξ 是 F0可測(cè)的.方程 (2.1) 的解 x(t) 記作是脈沖時(shí)刻,表示 xξ(t) 在 tk處的跳躍幅度.f :PC([?τ,0];Rn)× R+→ Rn, g :PC([?τ,0];Rn)× R+→ Rn×m, Ik:R+× Rn→ Rn.

假設(shè)f, g 和Ik滿足一定的條件, 比如Lipschitz 條件和線性增長條件, 即存在三個(gè)正的常數(shù)K1,K2,K3, 使得

(i) 對(duì)任意正數(shù) t 和 φ,ψ ∈ PC([?τ,0];Rn), 有 |f(φ,t)?f(ψ,t)|∨ |g(φ,t)?g(ψ,t)|≤

(ii) 對(duì)任意正數(shù) t 和 φ ∈ PC([?τ,0];Rn), 有 |f(φ,t)|∨ |g(φ,t)|≤ K2(1+

(iii) 對(duì)任意正數(shù) t, 自然數(shù) k 和 x,y ∈ Rn, 有 |Ik(t,x)? Ik(t,y)|≤ K3|x ? y |.

在這些條件下, 方程 (2.1) 存在唯一解 xξ(t),t ≥ 0,xξ(t) 在 (tk,tk+1) 上連續(xù), 在 tk處左連續(xù)且存在右極限[6?9], f(0,t)≡ 0,g(0,t)≡ 0,Ik(t,0)≡ 0,k =1,2,···, 這蘊(yùn)含 xξ(t)≡ 0 是(2.1) 的一個(gè)平凡解. f, g 和Ik滿足以下條件.

存在常數(shù)λ1> λ2>0,λ3>0 及[?τ,0]上的概率測(cè)度μ,對(duì)任意的?,ψ ∈ PC([?τ,0];Rn)和 t ≥ 0, 有

其中 L = {h : PC([?τ,0];Rn)× [0,+∞) → R,|h(ξ,ω)? h(η,ω)| ≤1,ξ,η ∈ PC([?τ,0];Rn),w ∈ [0,+∞)}.

下面先給出方程(2.1) 依分布穩(wěn)定的定義.

定義1[12,14]隨機(jī)過程是分布穩(wěn)定的是指存在一個(gè)概率測(cè)度π ∈P(L), 使得當(dāng)t → +∞ 時(shí),P(ξ,t,·)弱收斂于π,即對(duì)任意的ξ ∈ PC([?τ,0];Rn),有0, 此時(shí)也稱方程(2.1) 依分布穩(wěn)定.

3 主要結(jié)果

為了證明本文的主要結(jié)果, 先給出以下引理.

引理1假設(shè)(2.2) 和(2.3) 式成立, 對(duì)任意的ξ ∈M, 有

證對(duì)任意的 δ1>0, t>0, ttk, k =0,1,2,···, 用伊藤公式, 有

把式(3.5) 代入式(3.4), 并且用式(3.1), 得

當(dāng) t ∈ (t1,t2]時(shí), 注意到 xξ(t) 在 (tk?1,tk) 內(nèi)連續(xù), 在 tk處左連續(xù)有右極限, k = 1,2,3,···,用式(2.2), 得

用類似得到式(3.5) 的方法, 有

由式 (3.1) 和 (3.6), 得

把式 (3.8) 和 (3.9) 代入式 (3.7), 得當(dāng) t ∈ (t1,t2]時(shí), 有

重復(fù)以上步驟, 注意到 0< α <1, 對(duì) n=2,3,4,··· , 當(dāng) t ∈ (tn,tn+1]時(shí), 有

如果 δ1? λ1+ λ2eδ1τ<0, 則此時(shí)

顯然式(3.12) 對(duì)t ∈(t1,t2]也成立.下面對(duì)任意自然數(shù)n, 限制t ∈(tn,tn+1], 分兩種情況討論.

(1) n<(N1+1)N2.此時(shí)

(2) n ≥ (N1+1)N2.對(duì)滿足 K ≥ (N1+1)N2的自然數(shù) k, 因 tN1≤ τ < tN1+1, 故tk? tN1+1< tk? τ ≤ tk? tN1, 而 tk? tN1+1> tk? (N1+1)B2≥ tk? (N1+1)N2B1>tk?(N1+1)N2, 所以

無論哪種情況, 都有

顯然, (3.14) 式對(duì) t ∈ [t0,t1]也成立, 故 (3.14) 式對(duì) t ∈ [0,+∞) 成立, 利用 Gronwall 不等式,得

其中 C2,k是正的常數(shù), k =0,1,2···, 由式 (3.17) 和 (3.18) 得

再由式(3.1), (3.16) 和(3.19), 得

對(duì)任意的t>0, 存在非負(fù)整數(shù)n0, 使得tn0

(1) n0≥(N1+1)N2.

由式 (3.16), (3.20) 和 (3.21) 得

其中C3>0 是常數(shù).

(2) N1

(3) n0≤N1.

以下給出本文的主要結(jié)果.

定理1假設(shè)引理1 的條件都滿足, 則方程(2.1) 依分布穩(wěn)定.

證設(shè)是方程(2.1) 滿足初始條件x0=η 的解, 其中η ∈M.由引理1,

由文獻(xiàn) [12]的引理 2.4, P(t,ξ,·)t≥0是 P(L) 中的 Cauchy 列, 故存在唯一概率測(cè)度π(·)∈ P(L), 使得 dL(P(t,0,·),π(·))→ +∞,t → +∞. 所以

即 t → +∞ 時(shí), 概率測(cè)度 P(t,ξ,·)t≥0弱收斂于 π(·), 故方程 (2.1) 依分布穩(wěn)定.

4 示例

下面舉例說明第3 節(jié)中結(jié)論的正確性.考慮以下一維脈沖隨機(jī)泛函微分方程

其中 x0= ξ,ξ ∈ M, 這里 a,b 是常數(shù), 且與前兩節(jié)一樣,假設(shè)式 (4.1) 有唯一解, 設(shè)為 xξ(t), 且式 (3.1) 成立.這時(shí)

設(shè) B1=B2> τ,N1=0,N2=1,B3=1, 取則式 (3.2) 和 (3.3) 成立, 而

即式(2.2) 和(2.3) 成立.由定理1 知方程(4.1) 依分布穩(wěn)定.