Robin邊界條件下的拋物方程爆破分析

凌征球, 覃思乾, 周澤文

(玉林師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,廣西 玉林 537000)

1 引言

在過(guò)去的幾十年間, 非線(xiàn)性?huà)佄锓匠探獾谋茊?wèn)題已經(jīng)得到了很廣泛的研究, 文獻(xiàn)[1,2]有較詳細(xì)的介紹.其中, 關(guān)于解爆破時(shí)間T 的研究,仍然有許多文章僅針對(duì)T 的上界, 但下界的估計(jì)卻更加符合實(shí)際情況.隨著Payne[3]開(kāi)創(chuàng)性的工作以后, 這種討論爆破時(shí)間下界估計(jì)的研究得到了許多學(xué)者的關(guān)注.需要指出的是, Li[4]在齊次Dirichlet 邊界條件下討論了方程

的爆破問(wèn)題, 獲得了方程的解發(fā)生爆破時(shí)爆破時(shí)間的下界估計(jì).這里拓展文[4]的研究范圍,將在Robin 邊界條件

下討論相同的問(wèn)題.在這種邊界條件下, 文獻(xiàn)[4]使用的Sobolev 不等式不再可以使用.另外,由于方程中梯度項(xiàng)的存在, 需要克服一些困難.因此, 當(dāng)方程的解發(fā)生爆破時(shí), 通過(guò)建立合適的Sobolev 型微分不等式, 獲得了爆破時(shí)間的下界估計(jì).關(guān)于爆破時(shí)間下界估計(jì)的更多結(jié)論見(jiàn)文獻(xiàn)[5–11].

2 爆破情況

設(shè)? ?R3是具有足夠光滑邊界?? 與凸性的有界區(qū)域.考慮如下具有非線(xiàn)性梯度項(xiàng)的拋物問(wèn)題

其中p,k >0,q >2 , ?和?表示拉普拉斯和梯度算子, T 是可能的爆破時(shí)間, (?u/?ν) 表示在邊界向外的法向單位導(dǎo)數(shù), u0(x) 滿(mǎn)足適當(dāng)緊條件的連續(xù)函數(shù).

根據(jù)最大值原理有u ≥0.另外, 除了在某些時(shí)刻會(huì)發(fā)生爆破之外, 還假設(shè)問(wèn)題存在古典正解.當(dāng)解發(fā)生爆破時(shí), 本文的目的是要確定爆破時(shí)間的下界估計(jì).為此, 定義下面的輔助函數(shù)

利用分部積分與邊界條件, 簡(jiǎn)單的計(jì)算就可以得到

下面考慮J1.由于的指數(shù)是q 而不是2, 因此需要一點(diǎn)技巧去克服這個(gè)困難使得其指數(shù)變成2.為了方便, 令并通過(guò)Hlder 不等式就有

的第一正特征值.利用Robin 邊界條件, 又有

再根據(jù)散度定理

利用? 的凸性可以令

以及Young 不等式得到

這里θ 是任意正的常數(shù).這樣從(2.8) 式和(2.6) 式就可以獲得

如果?, 也就是λ1滿(mǎn)足

然后選擇充分小的θ, 使得

這樣(2.9) 式就可以寫(xiě)成:

因此根據(jù)J1的定義就有

下面考慮(2.13) 式右邊的第一項(xiàng).如果p>1, 利用Hlder 不等式和arbq≤ra+qb,r+q =1,a,b>0 得到

借助文獻(xiàn)[3]的思想, 下面尋找一個(gè)合適的Sobolev 型不等式來(lái)計(jì)算u9(8p+q)/8的積分.首先, 令xim和xiM分別表示? 在坐標(biāo)xi上的最小值與最大值, Dz表示? 與平面x3= z相交的截面.其次, 為了方面計(jì)算, 設(shè)ω :=u(8p+q)/4.根據(jù)Schwarz 不等式得到

這樣可以獲得

類(lèi)似的,

把上面兩式左右相乘并在Dz上積分, 即有

再代回(2.15) 式得到

最后, 為了計(jì)算ω3在Dz上的積分, 用?+表示? 在Dz上的部分, 而相應(yīng)的邊界是??+, 而下面部分與邊界則分別用??和???表示.這樣根據(jù)散度定理,

由此得到

即可以擴(kuò)展(2.19) 式到i=3 的情況.又由于

因此從(2.18) 式得

另外根據(jù)Schwarz 不等式, 有

因此(2.20) 式可以變成

類(lèi)似于(2.7) 與(2.8) 式, 可以得到

把(2.22) 式代入(2.21) 式,

這里ε1是任意正的常數(shù), 并且還假設(shè)

結(jié)合 (2.13), (2.14), (2.24)–(2.27) 式, 并選擇 ε1滿(mǎn)足

由此就可以獲得

下面估算J2.類(lèi)似于(2.14) 式, 首先有

然后從J2的定義得到

這里ε2也是一個(gè)任意正的常數(shù).把(2.30) 式代進(jìn)(2.29) 式, 并且選擇ε2滿(mǎn)足

(2.29) 式就變成

把(2.28) 和(2.31) 式代入(2.4) 式, 就可以獲得關(guān)于函數(shù)? 的一階微分不等式

再積分得到

由此得到爆破時(shí)間T 的一個(gè)下界估計(jì)

其中?(0)=?[u0(x)]8p+1dx.

把上面的分析總結(jié)成如下定理.

定理1如果p>以及(2.10) 式成立, 那么當(dāng)問(wèn)題(2.1) 的非負(fù)古典解u在(2.2) 式測(cè)度? 的意義下有限時(shí)刻T 發(fā)生爆破時(shí), 則T 的下界T0由(2.35) 式給出.

3 非爆破情況

這里考慮p < 1 的情況, 此時(shí)問(wèn)題(2.1) 的解不會(huì)在有限時(shí)刻內(nèi)發(fā)生爆破.令?(t) 依然是(2.2) 式定義的輔助函數(shù), 從(2.4) 式得到

類(lèi)似(2.11) 式的討論, 有

其中

因此從(2.13) 式得到

把(3.4), (3.5) 式代入(3.3) 式得

下面估算J2.類(lèi)似(2.11) 式的討論也得到

利用(3.4) 式與(3.7) 式有

最后, 結(jié)合(3.1),(3.6) 與(3.8) 式就可以得到下面的一階微分不等式

顯然, 如果問(wèn)題(2.1)的解u 在測(cè)度? 的意義下發(fā)生爆破, 那么從(3.9)式導(dǎo)出?(t)≤0,這是一個(gè)矛盾.這樣就得到了下面的定理.

定理2假設(shè)u 是問(wèn)題(2.1) 的一個(gè)非負(fù)古典解, 如果p < 1 和第一特征值λ1滿(mǎn)足2l0λ1?3k(16p+q)>0, 那么u 不能在測(cè)度? 的意義下發(fā)生爆破.

注為了給出定理2 的證明, 可以使用另外的輔助函數(shù)來(lái)代替(2.2) 式定義的函數(shù)?(t).例如, 類(lèi)似文獻(xiàn)[6], 可以定義函數(shù)Φ(t)=?u2dx 來(lái)完成定理的證明.