一類脈沖分?jǐn)?shù)階偏微分方程解的振動(dòng)性

馮 茜, 馬晴霞, 劉安平

(中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(武漢) 數(shù)學(xué)與物理學(xué)院, 湖北 武漢 430074)

1 引言

脈沖微分方程理論的出現(xiàn)使得對(duì)理論物理、化學(xué)、生物技術(shù)和人口動(dòng)力學(xué)等學(xué)科中的某些過(guò)程和現(xiàn)象的精確模擬成為可能.近年來(lái), 由于分?jǐn)?shù)階微分方程在反常擴(kuò)散、多孔介質(zhì)力學(xué)、非牛頓流體力學(xué)、粘彈性力學(xué)、軟物質(zhì)力學(xué)、生物醫(yī)學(xué)以及控制系統(tǒng)等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用,其研究越來(lái)越受到人們的關(guān)注.不論在理論還是應(yīng)用中, 人們主要研究分?jǐn)?shù)階微分方程的定性性質(zhì), 研究方向眾多, 如解的存在性以及帶有初值條件或邊界條件的分?jǐn)?shù)階微分方程解的穩(wěn)定性, 其相關(guān)定性理論研究迅速發(fā)展, 并得到了一些研究成果.偏微分方程解的振動(dòng)問(wèn)題已有一些學(xué)者通過(guò)研究得到了一些結(jié)論[1]?[3].近年來(lái), 分?jǐn)?shù)階微分方程的振動(dòng)性問(wèn)題受到廣泛關(guān)注, 一些學(xué)者研究帶阻尼項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階微分方程的振動(dòng)性[4]?[10], 并陸續(xù)有很好的研究成果發(fā)表[11]?[17].但關(guān)于脈沖分?jǐn)?shù)階微分方程的振動(dòng)性研究卻很少, 本篇論文借鑒現(xiàn)有的一些研究結(jié)果以及方法來(lái)進(jìn)一步討論脈沖分?jǐn)?shù)階偏微分方程的性質(zhì).

本文將討論如下方程

其中 α ∈(0,1), ? 為拉普拉斯算子, ? 是Rn內(nèi)的有界域, ?? 充分光滑,= ? ∪ ??, N為 ?? 的單位外法向量, 0

如下是本文的基本假設(shè)

(H1) a(t),p(t),ai(t) ∈ C(R+;R+), r(t) ∈ Cα(R+;R+) 且 τi≥ 0 是常數(shù), i ∈ Ij={1,2··· ,j}; αk> ?1, βk> ?1.

定義1.1[18]f :R+→R, 階數(shù)為α>0 的Riemann-Liouville 左側(cè)分?jǐn)?shù)階積分定義如下

上式在R+是逐點(diǎn)定義的, Γ 是gamma 函數(shù).

定義1.2[19]修正后的Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義如下

下面給出關(guān)于α 階修正后的Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的一些計(jì)算公式

及一些在本文的證明中要用到的記號(hào)

2 主要結(jié)果和證明

定理2.1如果下列脈沖分?jǐn)?shù)階微分不等式

沒(méi)有最終正解, 且下列脈沖分?jǐn)?shù)階微分不等式

沒(méi)有最終負(fù)解, 那么方程(1.1) 和(1.2) 的每個(gè)非平凡解u(x,t) 在E 內(nèi)都是振動(dòng)的.

證設(shè)u(x,t)是方程(1.1)和(1.2)的一個(gè)非振動(dòng)解.不妨設(shè)存在t0≥0,使得u(x,t)>0,u(x,t ?τi)>0, (x,t)∈ ?× [t0,+∞).

由Green 公式、邊值條件(1.2) 及條件(H2), 容易得到

由 (2.3)–(2.7) 式, 得到

當(dāng)t=tk.分別對(duì)方程(1.1) 的第二個(gè)式子和第三個(gè)式子關(guān)于x 在? 內(nèi)積分, 得到

若u(x,t) 是脈沖分?jǐn)?shù)階微分方程(1.1) 和(1.2) 的最終負(fù)解.用類似方法, 容易得到U(t) = ? u(x,t)dx 是脈沖分?jǐn)?shù)階微分不等式(2.2) 的最終負(fù)解, 這與假設(shè)矛盾.定理得證.

引理 2.2[18]若

引理2.3若0<α<1, 則

證由定義1.1 和1.2 可得

令t=s+μ(x ?s), 利用Beta 函數(shù)的定義得

引理2.4[20]假設(shè)w ∈PC1[R+,R],

其中 g1,g2∈ C[R+,R], δk是常數(shù), PC1[R+,R]= {x(t) : R+→ R, x(t)在除 t = tk,k =1,2,···以外的點(diǎn)連續(xù)可微存在, 且則

定理2.5假設(shè)存在t?≥0,

且

證用反證法.假設(shè)U(t) 是脈沖分?jǐn)?shù)階微分不等式(2.1) 的非振動(dòng)解.不失一般性, 假設(shè)U(t) 是脈沖分?jǐn)?shù)階微分不等式(2.1) 的最終正解, 存在t?≥0 , 使得U(t)>0,U(t ?τi)>0,G(t)>0, t ≥ t?.由 (2.1) 式及引理 2.3, 有

對(duì)上述不等式從T 到t 積分, 得

令

則w(t)>0, 由(2.1) 式及引理2.3, 容易得到

即

其中ψ(t) = ceR(t)q(t).利用(H1) 和w(t) 的定義式, 不等式(2.1) 的第二個(gè)式子和第三個(gè)式子變?yōu)?/p>

則(2.18) 式變?yōu)?/p>

由 (2.19)–(2.21) 式, 容易得到

根據(jù)引理2.4, 得

若U(t) 是不等式(2.2) 的一個(gè)非振動(dòng)解.不妨設(shè)U(t) 是脈沖分?jǐn)?shù)階微分不等式(2.2) 的最終負(fù)解, 則G(t) < 0,t ∈[t?,∞).用類似方法, 容易得到令w(t) =則w <0.根據(jù)(2.2) 式, 可以得到即

由引理2.4, 得

則

3 舉例

例1考慮如下問(wèn)題

邊界條件為

則由定理2.5 可知, 問(wèn)題(3.1) 和(3.2) 的解都是振動(dòng)的.