二次函數(shù)與必修一教學的五次“邂逅”

廣東省廣州大學附屬中學

二次函數(shù)是貫穿高中數(shù)學的一種非常重要的函數(shù),也是連接初中和高中數(shù)學的重要紐帶,盡管初中有學習過二次函數(shù),但多是淺顯和機械式的學習,不能從本質上加以理解.進入高中后,還需進行深入再學習,而人教版必修一教材并沒有專門去講二次函數(shù),這就需要我們在必修一的教學過程中,有目的去滲透二次函數(shù)的知識.那么該如何滲透,筆者談談自己的一些做法.

滲透一一元二次不等式的解法.在必修一集合,函數(shù)定義域、值域等相關問題不可避免的需要解一元二次不等式.在高一開學初滲透相關知識,有助于做好初高中知識銜接,幫助學生掌握解一元二次不等式的基本技能,有助于必修一的函數(shù)學習.

回顧初中二次函數(shù)知識,引導學生總結出解二次不等式一般ax2+bx+c (a ＞0)＞0 或ax2+bx+c (a ＞0)＜0的步驟:

1.求出方程的根的判別式,判斷方程的根的情況(若有根的求出實數(shù)根);

2.畫出二次函數(shù)的草圖(尤其是圖象與x軸的交點情況);

3.由圖得不等式的解集.(看圖說話)

幫助學生總結:以a ＞0為例,填寫如下的表1,其中二次項系數(shù)不為1的因式分解,二次項系數(shù)為負的解不等式,作為難點和易錯點需重點突破,此過程中滲透的思想方法:函數(shù)思想、數(shù)形結合、化歸轉化.

表1 不等式的解集

滲透二二次函數(shù)在區(qū)間上的最值.在學習完函數(shù)基本性質后,學生對最值、值域、單調性等知識有所理解,此時滲透二次函數(shù)最值相關知識,可以讓學生體會數(shù)形結合思想,加深理解由單調性求最值的基本方法,建立簡單的分類討論意識.

典型例題(1)畫出函數(shù)f(x)=3+2x-x2的圖象;

(2)結合圖象分別求出函數(shù)在下列區(qū)間上的最大、最小值.

1)x ∈[-1,0]2)x ∈[-1,3]3)x ∈[t,t+1]

方法感悟

1)f(x)在[-1,0]單調性____,f(x)最大值____,最小值____;

2)f(x)在[-1,3]單調性____,f(x)最大值____,最小值____;

3)題由于不明確對稱軸x = 1是否在區(qū)間[t,t+1]內,因此要分三類:

第一類:x = 1 在[t,t+1]的左邊:即t ≥1,畫出草圖,f(x)單調性____,f(x)最大值____,最小值____;

第二類:x = 1 在[t,t+1]內:即t ＜1 ＜t+1,即____;(注意:本題求最小值要繼續(xù)分類)

第三類:x=1 在[t,t+1]右邊:即t+1 ≤1,即____;

通過典型例題引導學生總結二次函數(shù)在區(qū)間上最值的算法步驟:

第一步:利用“配方法”結合圖象得函數(shù)的對稱軸(或頂點)及函數(shù)的單調性;

第二步:判斷對稱軸(或頂點)是否在所要求的區(qū)間內,明確是否需要“分類討論”;

第三步:利用單調性(圖象的直觀體現(xiàn))得最值.

變式1已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+2,其中x ∈[-1,2].

(1)若函數(shù)f(x)在[-1,2]上單調遞增,則實數(shù)a的取值范圍為____;

(2)若函數(shù)f(x)在[-1,2]上單調,則實數(shù)a的取值范圍為____;

(3)若f(x)≥a 恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;

(4)若存在x 使f(x)≥a 成立,求實數(shù)a的取值范圍.

變式2已知a/=0,函數(shù)f(x)=ax2-2ax+1 在[-1,2]上的最大值為M(a),求M(a)的表達式.

例題設置可層層遞進,其中含字母的配方,二次項系數(shù)含有參數(shù),準確尋找討論依據(jù),是本部分的重難點,需根據(jù)班級實際情況,設置不同層次的難度,通過典型例題,逐步突破.

滲透三二次函數(shù)的圖像變換.在學習完指對數(shù)函數(shù)后,需要補充函數(shù)圖像變換的相關知識,二次函數(shù)圖像的相應變換可滲透其中,這時以二次函數(shù)為背景,講解對稱、翻折、平移等變換,有助于學生對圖形變換的理解.

典型例題(1)畫出曲線y = x2-x 及y = x2-|x|的圖像.

(2)若直線y = 1 與曲線y = x2-|x|+a 有四個交點,求實數(shù)a的取值范圍.

分析直線y =1 與曲線y =x2-|x|+a 有四個交點?方程1 = x2-|x|+a 有四個實數(shù)根(先不要著急畫草圖,再移項變形試試)

?方程____有四個實數(shù)根

?直線y =1-a 與曲線y =____有四個交點.

變式1若直線y =1 與曲線y =|x2-x|+a 有四個交點,實數(shù)a的取值范圍為____.

變式2若直線y =1 與曲線y =(x-1)2-|x-1|+a有四個交點,實數(shù)a的取值范圍為____.

變式3設定義在R 上的函數(shù)f(x)= -x2+3x-2,若方程|f(x)|-kx-k =0 有四個不同的實根,則實數(shù)k的取值集合為____.

在此過程中,學生不僅可以通過二次函數(shù)加深對基本圖像變換的理解,還可以體會方程的根與函數(shù)圖像交點個數(shù)的互相轉化.

滲透四二次函數(shù)的零點分布.在學習完函數(shù)零點相關知識后,滲透二次函數(shù)的零點分布,有助于加強對零點概念的理解,幫助學生掌握二次函數(shù)零點分布的代數(shù)轉化.

二次方程根的分布可以轉化為二次函數(shù)的零點分布問題,利用二次函數(shù)的圖象解決,需用到轉化思想、數(shù)形結合、零點存在定理.

表2 方程的根

典型例題實數(shù)m取何值時,關于x的二次方程x2-2(m+2)x+m2-1 = 0 有一根位于區(qū)間(0,1),另一根位于區(qū)間(1,2)?

變式(1)有一個正根,有一個負根;(2)有兩個都大于2的根;(3)有兩個都小于2的根;(4)在(0,2)內有一個根;(5)兩根都在(0,2)內;(6)兩根都不在(0,2)內.

一元二次方程根的分布(二次函數(shù)零點分布)總結歸納:

滲透五含參數(shù)一元二次不等式及二次函數(shù)的綜合問題.在必修一結束后,可將前四次滲透的二次函數(shù)知識進行拓展和加深,以典型例題增強學生分類討論意識及能力,重點關注含參不等式的解法與含參分段函數(shù)最值的分類討論.

(1)含參數(shù)一元二次不等式解法

典型例題已知a ＞0,解關于x的不等式(3x+2a)(xa)＞0.

變式1已知a ∈R,解關于x的不等式(3x+2a)(x-a)＞0.

變式2已知a ∈R,解關于x的不等式3x2-ax-2a2＞0.

變式3已知a ∈R,解關于x的不等式a(3x+2a)(xa)＞0.

感悟方法嚴格按照算法步驟,抓住主要矛盾,捕捉分類契機,層層遞進,不重不漏！

能力提高充分利用變式教學,幫助學生理解分類討論本質,提高數(shù)學能力！

1.討論關于x的不等式(x-a2)(x-a)＞0的解集(a為實數(shù)).

變式1討論關于x的不等式x2=-(a+a2)x+a3＞0的解集.

變式2討論關于x的不等式的解集.

2.討論關于x的不等式(mx-1)(x-1)＞0的解集(m為實數(shù)).

變式1討論關于x的不等式mx2-(m+1)x+1＞0的解集.

變式2討論關于x的不等式的解集.

(2)含參數(shù)一元二次分段函數(shù)的最值

典型例題設a為實數(shù),函數(shù)f(x)=x2+2a|x-1|,x ∈R.

(1)討論函數(shù)f(x)的奇偶性;

(2)求函數(shù)f(x)的最小值.

分析帶有字母的問題,往往要“分類討論”

當____,f(x)是____函數(shù);用特殊值給予確認;

(2)

推薦方法分對稱軸的區(qū)間討論法

圖2: a ≥1

圖3: -1 ＜a ＜1

圖4: a ≤-1

變式1設a為實數(shù),函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+1,x ∈R.

(1)討論函數(shù)的奇偶性;

(2)若f(x)的最小值為2,求實數(shù)a的值.

變式2函數(shù)f(x)=2x2+(x-a)|x-a|.

(1)函數(shù)f(x)是否具有奇偶性;

(2)求f(x)的最小值.

其中一元二次不等式的零點分類比較,開口方向,含絕對值的二次函數(shù)(分段函數(shù))的最值討論,都是難點.充分利用變式教學和數(shù)學結合的思想,有助于學生突破難點,提升能力.

考慮到必修一教學課時問題,設計這五次滲透時,盡可能以學案的形式呈現(xiàn),讓學生能充分利用課外時間.由于各個學校學生層次不同,在設計每次滲透時,可依據(jù)學生水平,設置不同的難度.

二次函數(shù),有豐富的內涵和外延,作為最基本的初等函數(shù),它可以建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系.二次函數(shù)不僅在必修一中至關重要,在與導數(shù)知識結合中,二次不等式,零點與最值更是作為基本的解題工具,需要學生熟練掌握.以上只是筆者自己的一點體會,不足之處請批評指正.