均勻線陣中基于降秩Capon的近場(chǎng)源定位

陳未央，徐 樂(lè)，張小飛

（南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，南京，211106）

引 言

空間信源定位是陣列信號(hào)處理領(lǐng)域中的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)，它在醫(yī)學(xué)成像、雷達(dá)、無(wú)線通信、聲吶等方面都有著廣泛的應(yīng)用[1-2]。針對(duì)這一問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)提出了多種經(jīng)典算法，其中，包括最大似然(Maximum likelihood,ML)算法[3-7]、借助旋轉(zhuǎn)不變性估計(jì)信號(hào)參數(shù)(Estimation of signal parameters via rotational invariance techniques,ESPRIT)算法[8-10]、基于子空間理論的多重信號(hào)分類(Multiple signal classification,MUSIC)算法[11-13]等。根據(jù)信源距離接收陣列的遠(yuǎn)近，空間信源定位又可分為近場(chǎng)信源定位和遠(yuǎn)場(chǎng)信源定位。對(duì)于近場(chǎng)信源而言，信號(hào)入射至各個(gè)陣元時(shí)產(chǎn)生的相位差是關(guān)于陣元位置的非線性函數(shù)，因此遠(yuǎn)場(chǎng)信源波達(dá)方向(Direction of arrival,DOA)的估計(jì)方法大多不能直接應(yīng)用于近場(chǎng)信源定位。對(duì)于近場(chǎng)來(lái)說(shuō)，空間信源的定位問(wèn)題不僅與信源的波達(dá)方向有關(guān)，還與信源與陣列之間的距離有關(guān)。因此，近場(chǎng)信源定位的數(shù)據(jù)模型中，既包括信源的角度信息，也包括距離信息，這樣能夠更加準(zhǔn)確地描述信源在空間中相對(duì)于陣列的位置。

針對(duì)近場(chǎng)信源的定位問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者做了大量研究工作，提出了多種應(yīng)用于近場(chǎng)的信源定位方法，根據(jù)原理的不同，可大致分為非譜峰搜索和譜峰搜索兩類。非譜峰搜索類的算法一般借助二階或高階統(tǒng)計(jì)量，通過(guò)計(jì)算閉式解得到信源的參數(shù)估計(jì)。近年來(lái)學(xué)者們提出了多種基于二階統(tǒng)計(jì)量的算法[14-15]。由于高階統(tǒng)計(jì)量具有保持信號(hào)相位并去除高斯噪聲干擾的良好特性，一些基于高階統(tǒng)計(jì)量的算法也被陸續(xù)提出[16-17]。由于不需要進(jìn)行譜峰搜索，該類算法的計(jì)算復(fù)雜度普遍較低，但信號(hào)參數(shù)的估計(jì)精度也明顯降低。同時(shí)，該類算法需要多次矩陣分解操作，且需要對(duì)所獲得的參數(shù)估計(jì)進(jìn)行額外配對(duì)[18-19]。

譜峰搜索類算法的共同特點(diǎn)是估計(jì)精度高，但計(jì)算量巨大。Swindlehurst等[20]首先提出了基于最大似然的近場(chǎng)源參數(shù)估計(jì)方法，該方法具有優(yōu)異的統(tǒng)計(jì)特性，但計(jì)算復(fù)雜度非常高。Huang等[21]證明了信源位于近場(chǎng)時(shí)，子空間理論中信號(hào)子空間和噪聲子空間的正交特性依然是成立的，并由此提出了基于近場(chǎng)信源的經(jīng)典二維MUSIC算法，該方法估計(jì)精度高，但由于需要二維全局空域空間譜搜索，所以計(jì)算量同樣巨大。近年來(lái)，許多其他近場(chǎng)信源定位算法被提出，如Root-MUISC算法[22]、路徑跟蹤法[23]、加權(quán)線性預(yù)測(cè)法[24]、改進(jìn)型路徑跟蹤算法[25]等，這些算法均對(duì)已有算法進(jìn)行了改進(jìn)與優(yōu)化，在一定程度上降低了計(jì)算復(fù)雜度。

從上述兩類算法的介紹與分析中可知，如何有效地降低計(jì)算復(fù)雜度，避免譜峰搜索和進(jìn)行參數(shù)配對(duì)，同時(shí)最大限度地提升參數(shù)估計(jì)精度，是近場(chǎng)信源定位技術(shù)研究的關(guān)鍵點(diǎn)?；诖耍疚膶⒕仃嚱抵人枷肱cCapon算法結(jié)合，對(duì)經(jīng)典的近場(chǎng)源估計(jì)方法進(jìn)行簡(jiǎn)化，提出了一種均勻線陣中基于降秩(Rank reduce,RARE)思想的近場(chǎng)源參數(shù)估計(jì)方法。本文的主要貢獻(xiàn)如下：(1)提出了基于降秩思想的角度和距離參數(shù)聯(lián)合估計(jì)方法；(2)相較于經(jīng)典二維Capon(Two-dimensional Capon,2D-Capon)算法，本文算法避免了二維譜峰搜索，大大減小了計(jì)算復(fù)雜度；(3)本文算法的參數(shù)估計(jì)性能接近經(jīng)典2D-Capon算法，具有較高的參數(shù)估計(jì)精度；(4)本文算法無(wú)需信源數(shù)估計(jì)。

圖1 近場(chǎng)信源定位均勻線陣模型Fig.1 Structure of uniform linear array for near-field sources localization

1 數(shù)據(jù)模型

如圖1所示，方位角與距離分別為(θk,rk)的K個(gè)近場(chǎng)信源發(fā)射信號(hào)，入射到由M=2N+1個(gè)沿x軸均勻排列的陣元組成的均勻線陣上，選取中心陣元為陣列的相位參考點(diǎn)。對(duì)于近場(chǎng)信源而言，信源的距離滿足rk∈[0.62(D3/λ)1/22D2/λ]，其中λ為信源波長(zhǎng)，D為陣列孔徑。此時(shí)信源位于陣列的菲涅爾區(qū)域，信號(hào)到達(dá)陣列時(shí)呈球面形式[20]，不能再近似為平面波。假設(shè)K個(gè)接收信號(hào)互不相關(guān)且具有相同的中心頻率ω0，陣元間距不大于四分之一波長(zhǎng)[24]。

則第m個(gè)陣元上的接收信號(hào)可以表示為[26]

式中：γk=-2πd sin θk/λk；φk= πd2cos2θk/λkrk；sk(t)表示第 k個(gè)信源發(fā)出的信號(hào)被第 m 個(gè)陣元接收并解調(diào)后的基帶信號(hào)；nm(t)表示陣元上的加性噪聲；θk∈[-π/2,π/2]為第k個(gè)信號(hào)入射方向的反方向與y軸之間的夾角；λk為第k個(gè)信號(hào)的波長(zhǎng)；rk為信源到參考陣元之間的距離。將式(1)寫成矩陣的形式為

利用J個(gè)快拍的接收信號(hào)，可以計(jì)算信號(hào)協(xié)方差矩陣為

為不失一般性，本文做如下假設(shè)：

(1)信源為相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的窄帶隨機(jī)過(guò)程，零均值，具有非零功率，信源的波長(zhǎng)歸一化為1；

(2)陣元接收噪聲為零均值、白或色高斯噪聲，并與信源統(tǒng)計(jì)獨(dú)立；

(3)對(duì)于不同的信源，即 i≠ j，相位參數(shù)各不相同，即滿足 γi≠ γj，φi≠ φj；

(4)陣元為全向陣元且響應(yīng)特性完全相同，無(wú)通道不一致、互耦等因素的影響，空間增益為1，陣元間距滿足 d ≤ min(λ1/4,…,λK/4)；

(5)陣元個(gè)數(shù)與信源個(gè)數(shù)滿足K≤N。

2 降秩Capon算法

在經(jīng)典的近場(chǎng)2D-Capon算法中，信源參數(shù)(θ,r)可通過(guò)式(5)在空域中進(jìn)行全局譜峰搜索得到

式中 a(θ,r)為

經(jīng)典2D-Capon算法需要全局二維譜峰搜索，復(fù)雜度很高。為了降低算法復(fù)雜度，本文借鑒降秩思想，提出降秩Capon算法來(lái)實(shí)現(xiàn)二維參數(shù)估計(jì)，該算法有效避免了高復(fù)雜度的二維譜峰搜索過(guò)程。

由于陣列結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，導(dǎo)向矢量可以分解成如下形式[27]

式中

式中：ζ(θ)∈ C(2N+1)×(N+1)僅包含信源的角度信息，v(θ,r)∈ C(N+1)×1同時(shí)包含角度和距離信息。由式(8)可知 v(θ,r)≠ 0，故可將式(7)代入式(5)，得到

式中：C(θ)= ζH(θ )R-1xζ(θ)，可見 C(θ)∈ C(N+1)×(N+1)中只包含信源角度參數(shù)信息。又 v(θ,r) ≠ 0可知，C(θ )為非負(fù)定的共軛對(duì)稱矩陣，因此 vH(θ,r)C(θ)v(θ,r)=0成立的充要條件為當(dāng)且僅當(dāng) C(θ)為奇異矩陣。由假設(shè)條件可知，當(dāng)K≤N時(shí)，噪聲子空間Un的列秩不小于N+1，則可知C(θ)為滿秩矩陣，只有當(dāng)角度參數(shù)信息取到信源的實(shí)際位置時(shí)，矩陣C(θ)會(huì)降秩，即rank{C(θ)}＜N+1，此時(shí)C(θ)就會(huì)變成奇異矩陣，正交性成立。因此可以通過(guò)式(10)的一維譜峰搜索得到信源的DOA估計(jì)為

由式(10)得到信源的角度估計(jì)參數(shù)之后，將θ?k依次逐個(gè)代入經(jīng)典2D-Capon譜函數(shù)中，并構(gòu)造式(11)中的距離搜索的譜函數(shù)，在距離上進(jìn)行一維譜峰搜索，可得到距離參數(shù)的估計(jì)r?k為

式中：距離的搜索范圍r∈[0.62(D3/λ)1/22D2/λ]，k=1,…,K，由于需要將K個(gè)角度估計(jì)逐個(gè)代入，可知需要進(jìn)行K次一維搜索。上述搜索過(guò)程能使得距離估計(jì)r?k與角度估計(jì)θ?k自動(dòng)配對(duì)。

至此，已經(jīng)完成了均勻線陣中近場(chǎng)信源基于降秩Capon算法的角度和距離參數(shù)的估計(jì)，該降秩Capon算法的主要步驟總結(jié)如下：

步驟1根據(jù)式(4)計(jì)算接收信號(hào)協(xié)方差矩陣Rx；

步驟2根據(jù)式(5)構(gòu)造譜峰搜索函數(shù)，并按式(7)將導(dǎo)向矢量a(θ,r)拆分為a(θ,r)=ζ(θ)v(θ,r)，并構(gòu)造C(θ)= ζH(θ)R?-1xζ(θ)；

步驟3利用C(θ)，由式(10)構(gòu)造關(guān)于角度信息的一維函數(shù)，通過(guò)角度搜索得到接收信號(hào)的DOA估計(jì)；

步驟4將得到的信源DOA估計(jì)結(jié)果逐個(gè)代入式(11)，然后再通過(guò)距離的一維譜峰搜索，得到與角度參數(shù)配對(duì)的距離估計(jì)。

3 算法分析

降秩Capon算法的復(fù)雜度主要包括：計(jì)算接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣R?x需要O{M2J}，求R?-1x需要O{M3}，角度搜索需要 O{ngM(N+1)(M+N+1)}，K 次距離搜索 O{nlKM(M+1)}，因此總的復(fù)雜度為O{M3+M2J+ngM(N+1)(M+N-1)+nlKM(M+1)}；傳統(tǒng)的經(jīng)典2D-Capon算法的復(fù)雜度為 O{M3+M2J+ngnlM(N+1)(M+N+1)}。其中，ng=[π/2-(-π/2)]/Δg為角度空間的譜峰搜索次數(shù)；nl=[2D2/λ-0.62(D3/λ)1/2]/Δl為近場(chǎng)距離區(qū)間內(nèi)的譜峰搜索次數(shù)，Δg和Δl為搜索步長(zhǎng)；M為陣元個(gè)數(shù)；N=(M-1)/2；J為快拍數(shù)；K為信源個(gè)數(shù)。圖2分別給出了本文所提出的降秩Capon算法與經(jīng)典的2D-Capon算法在不同的陣元數(shù)和快拍數(shù)下的復(fù)雜度對(duì)比。由圖2可以看出，相較于經(jīng)典的2D-Capon算法，降秩Capon算法大大降低了計(jì)算的復(fù)雜度。

圖2 算法復(fù)雜度對(duì)比圖Fig.2 Complexity comparison of two algorithms

本文所提算法優(yōu)點(diǎn)總結(jié)如下：

（1）該算法能夠有效實(shí)現(xiàn)近場(chǎng)源角度與距離參數(shù)的聯(lián)合估計(jì)，且參數(shù)自動(dòng)配對(duì)；

（2）該算法避免二維譜峰搜索，相比較于經(jīng)典的2D-Capon算法，大大降低了計(jì)算的復(fù)雜度；

（3）該算法的參數(shù)估計(jì)性能非常接近經(jīng)典2D-Capon算法，具有較高的參數(shù)估計(jì)精度；

（4）該算法無(wú)需信源數(shù)估計(jì)。

4 仿真結(jié)果

本文采用蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)仿真，仿真中假設(shè)有兩個(gè)近場(chǎng)信號(hào)被陣列所接收，其角度和距離參數(shù)分別為(10°,0.3λ)和(40°,0.8λ)。M、K、J分別為陣列陣元數(shù)、信源數(shù)和接收信號(hào)快拍數(shù)。為了評(píng)估算法的參數(shù)估計(jì)性能，仿真實(shí)驗(yàn)次數(shù)為1 000次。角度和距離估計(jì)的求根均方誤差(Root mean square error,RMSE)分別定義如下

式中：θk和rk分別為第k個(gè)信源的角度和距離的實(shí)際值和分別為第i次實(shí)驗(yàn)中得到的第k個(gè)信源的角度和距離參數(shù)的估計(jì)值。

仿真1圖3為本文算法在信噪比SNR=10 dB的情況下，角度和距離估計(jì)結(jié)果分布圖。仿真中，陣元數(shù)M=9，信源數(shù)K=2，快拍數(shù)J=200。從圖3可以看出本文算法可以有效用于近場(chǎng)信源的角度和距離參數(shù)估計(jì)。

仿真2圖4和圖5分別給出了本文算法在不同的快拍數(shù)下的角度和距離參數(shù)估計(jì)性能。仿真2中陣元數(shù)M=9，信源數(shù)K=2，分別設(shè)置信源數(shù)為J=100，J=200，J=300。由圖中可以看到，隨著快拍數(shù)的增大，本文算法角度和距離估計(jì)性能越來(lái)越好。

仿真3圖6和圖7分別給出了本文所提的RARE-Capon算法與傳統(tǒng)的2D-Capon算法角度和距離參數(shù)估計(jì)性能對(duì)比圖。仿真3中，考慮陣元數(shù)M=9，信源數(shù)K=2和快拍數(shù)J=200。從圖6，7可以看出，本文中的RARE-Capon算法與經(jīng)典2D-Capon算法參數(shù)估計(jì)性能非常接近。

圖3 角度和距離參數(shù)估計(jì)的散布圖Fig.3 Angle and range estimation of the proposed algorithm

圖4 角度的估計(jì)性能隨快拍數(shù)變化情況Fig.4 Angle estimation performance versus different snapshots

圖5 距離的估計(jì)性能隨快拍數(shù)變化情況Fig.5 Range estimation performance versus different snapshots

圖6 角度估計(jì)性能對(duì)比Fig.6 Angle estimation performance comparison

圖7 距離估計(jì)性能對(duì)比Fig.7 Range estimation performance comparison

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)均勻線陣中近場(chǎng)信源的角度和距離參數(shù)聯(lián)合估計(jì)問(wèn)題，本文提出了一種降秩Capon算法。該算法無(wú)需信源數(shù)估計(jì)，且由于不需要進(jìn)行二維譜峰搜素，其計(jì)算復(fù)雜度遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于傳統(tǒng)的2D-Capon算法。同時(shí)，該算法能夠獲得自動(dòng)配對(duì)的角度和距離參數(shù)估計(jì)。仿真表明，其參數(shù)估計(jì)性能與經(jīng)典的2D-Capon算法非常接近，且具有較高的參數(shù)估計(jì)精度。