基于熱濕耦合模型的三層多孔織物厚度決定反問題

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(浙江理工大學(xué)理學(xué)院，杭州 310018)

基于熱濕耦合模型的三層多孔織物厚度決定反問題

潘啟天，徐映紅，徐定華

(浙江理工大學(xué)理學(xué)院，杭州 310018)

在耦合的熱濕傳遞數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，提出了一類三層多孔織物厚度決定反問題。首先給出了完整的三層多孔織物熱濕傳遞數(shù)學(xué)模型，使用有限差分法求解該模型，并分析了差分格式解的唯一性；其次以該熱濕傳遞模型為基礎(chǔ)，根據(jù)低溫環(huán)境下保暖性設(shè)計要求，提出了三層多孔織物厚度決定反問題；最后利用遺傳算法進(jìn)行數(shù)值求解，通過Matlab進(jìn)行數(shù)值模擬，數(shù)值結(jié)果驗證了算法的有效性。

熱濕傳遞；正問題；唯一性；反問題；數(shù)值模擬

0 引 言

雖然人們對服裝的個性化或者美觀性越來越關(guān)注，但是保暖性能仍是人們選擇服裝時考慮的重要因素。紡織材料的熱濕傳遞性能的優(yōu)劣，對于服裝保暖效果有直接影響。根據(jù)服裝熱功能性要求來反推紡織材料參數(shù)，能夠給服裝設(shè)計師在設(shè)計織物、選擇紡織材料的類型、結(jié)構(gòu)以及厚度等方面提供理論指導(dǎo)，有利于達(dá)到省時省力節(jié)約成本的目的。

對紡織材料傳熱傳質(zhì)機(jī)理的研究始于20世紀(jì)30年代，主要集中在與有關(guān)紡織品熱濕舒適性的衡量指標(biāo)探索以及織物傳熱傳質(zhì)模型建立和數(shù)值求解方面。1939年，Henry[1]提出了第一個建立在微元體上的描述織物中熱濕傳輸?shù)鸟詈蠑?shù)學(xué)模型。1992年，Li等[2]建立了更精確的服裝熱濕舒適調(diào)節(jié)模型。此后，F(xiàn)an等[3]、Wu等[4]、Ye等[5]都對紡織材料中幾種典型的熱濕傳遞過程進(jìn)行了深入研究，提出或修正了相關(guān)模型。目前，對于織物熱濕耦合研究已不斷完善，其模型已經(jīng)由簡單發(fā)展到復(fù)雜，綜合考慮了吸濕/放濕機(jī)理、濕氣擴(kuò)散、液態(tài)水的毛細(xì)芯吸、凝結(jié)/蒸發(fā)等多種復(fù)雜現(xiàn)象。

從2008年開始，一些學(xué)者采用傳熱傳質(zhì)方程，根據(jù)熱濕舒適性和其它功能性要求，研究紡織材料厚度、孔隙率、熱傳導(dǎo)率等參數(shù)識別問題。Du等[6-7]對由兩塊不同溫度的平板和織物構(gòu)成的系統(tǒng)給出了一個包含傳導(dǎo)和熱輻射的熱交換模型，研究了以隔熱性最佳為目標(biāo)，求多層均勻紡織材料的最優(yōu)孔隙率值以及非均勻紡織材料隨厚度變化的最優(yōu)孔隙率分布的問題。Korycki[8-9]采用熱質(zhì)傳遞耦合模型，通過靈敏度分析，分別研究了三層紡織材料最優(yōu)厚度識別問題以及三維各向異性的復(fù)合紡織材料形狀優(yōu)化問題。Xu等根據(jù)人體著裝后熱濕舒適性要求，研究了紡織材料厚度、熱傳導(dǎo)率和孔隙率等參數(shù)識別問題。[10-14]

本文根據(jù)文獻(xiàn)[8]采用的熱質(zhì)傳遞耦合模型，給出了求解正問題模型的數(shù)值算法，并討論了解的唯一性；根據(jù)低溫環(huán)境下保暖性要求，提出了在總厚度一定的條件下的三層多孔織物厚度決定反問題，并采用遺傳算法進(jìn)行數(shù)值求解，通過數(shù)值實驗驗證算法的有效性。

1 紡織材料熱濕傳遞數(shù)學(xué)模型

1.1 紡織材料熱濕傳遞模型

“人體-織物-環(huán)境”系統(tǒng)示意如圖1所示。在該系統(tǒng)中，三層多孔織物由貼近環(huán)境的表層、中間層以及貼近皮膚處的里層組成，以皮膚與三層織物的接觸面為坐標(biāo)原點(diǎn)構(gòu)建坐標(biāo)系。

圖1 人體-織物-環(huán)境系統(tǒng)注：T0表示皮膚處的溫度；w0表示皮膚處的水蒸氣濃度；Te表示環(huán)境的溫度；wf表示皮膚處的水蒸汽濃度；L1、L2、L表示厚度。

在低溫條件下，本文給出模型的假設(shè)條件：

a) 每一層織物都是各向同性的；

b) 忽略輻射傳熱；

c) 熱濕傳遞過程中，織物結(jié)構(gòu)幾乎不變，各層孔隙率保持不變；織物因含濕量和溫度的改變而造成的體積變化忽略，織物空隙的曲折系數(shù)視為常數(shù)；

d) 系統(tǒng)內(nèi)水分通過吸附和去吸附在環(huán)境和材料兩者間傳輸；

e) 纖維表面的溫度與其附近的空氣溫度相同；

f) 纖維表面的飽和水蒸氣壓力和其附近的空氣飽和水蒸氣壓力相同；

g) 織物層之間緊密聯(lián)系在一起，忽略微氣候區(qū)和織物層間的空氣層。

Korycki[8]提出的三層模型主要參考了Li等[15]的單層織物熱濕傳遞模型。由質(zhì)量守恒和熱量守恒定律，在織物層內(nèi)纖維內(nèi)的水蒸氣濃度wf、纖維孔隙間空氣中的水蒸氣濃度wa以及織物溫度T滿足如下偏微分方程組：

(1)

其中：ε為織物的孔隙率，ha為水蒸氣的擴(kuò)散系數(shù)，ζ為織物的有效曲折率，c為織物的體積熱容，λw為織物吸收水蒸氣所釋放的熱量，λ為織物的熱傳導(dǎo)率。

為了研究偏微分方程(1)中狀態(tài)變量wa和wf的關(guān)系，Li等[15]通過實驗發(fā)現(xiàn)wf滿足

其中：Ha為空氣的相對濕度，Hf為織物的相對濕度，k1和k2為調(diào)整系數(shù)。

通過使用以下物理量：水蒸氣壓力e、水蒸氣濃度相對濕度w、絕對濕度H、飽和水蒸氣壓力E，得到：

假設(shè)纖維周圍空氣與纖維表面具有相同溫度和相同飽和水蒸氣濃度，則有：

以及

(2)

其中：ef表示纖維表面處的水蒸氣壓力，ea表示孔隙間的水蒸氣壓力，Ef表示纖維表面處的飽和水蒸氣壓力，Ea表示孔隙間的飽和水蒸氣壓力，Tf表示纖維表面處的溫度，Ta表示孔隙間的溫度。稱為吸收系數(shù)，反映織物吸收水蒸氣的能力，在假設(shè)條件下，由式(2)可知，其與纖維表面處的水蒸氣壓力以及孔隙間的水蒸氣壓力有關(guān)，當(dāng)溫度變化范圍較小時，水蒸氣壓力變化較小，從而可假定在同種紡織材料內(nèi)的吸收系數(shù)保持不變。于是偏微分方程(1)可寫為：

(3)

令Ω1=(0,L1),Ω2=(L1,L2),Ω3=(L2,L)。三層多孔織物的熱濕傳遞模型歸結(jié)如下：

a) 在織物層中水蒸氣濃度wf(x,t)滿足：

(4)

初始條件：

wf(x,0)=wI(x), 0≤x≤L

(5)

內(nèi)外邊界條件：

(6)

以及織物層中間兩個接觸面條件：

(7)

b)在織物層中溫度T(x,t)滿足

(8)

初始條件：

T(x,0)=TI(x),0≤x≤L

(9)

內(nèi)外邊界條件：

(10)

以及織物層中間接觸面條件：

(11)

其中：we與Te分別為外部環(huán)境的水蒸氣濃度和溫度，tfinal表示時間，ha為水蒸氣在空氣中的擴(kuò)散系數(shù)，ε1、ε2、ε3為圖1中對應(yīng)的(0,L1)、(L1,L2)、(L2,L)層相應(yīng)的孔隙率，λ1、λ2、λ3為對應(yīng)層的熱傳導(dǎo)率，λw1、λw2、λw3為織物對應(yīng)層吸收水蒸氣所釋放的熱量，c1、c2、c3為對應(yīng)層的有效體積熱容，ζ1、ζ2、ζ3為對應(yīng)層的有效曲折率有效曲折率，hw1、hw2、hw3為對應(yīng)織物層的質(zhì)對流系數(shù)，η1、η2、η3為對應(yīng)層的吸收系數(shù)，k為熱對流系數(shù)。

式(4)—(11)所組成的耦合偏微分方程組的定解問題稱為正問題。

1.2 有限差分求解格式及數(shù)值解的唯一性

tj=j·τ,j=0,1,…,N;

令

(12)

其中：ik=1,2,3,且i=1,…,m1-1,m1+1,…,m1+m2-1,m1+m2+1,…,m1+m2+m3-1.

左右邊界差分格式為：

(13)

在第一層與第二層接觸面，即當(dāng)i=m1時有：

(14)

在第二層與第三層接觸面，即當(dāng)i=m1+m2時有：

(15)

(16)

其中：ik=1,2,3,且i=1,…,m1-1,m1+1,…,m1+m2-1,m1+m2+1,…,m1+m2+m3-1.

左右邊界差分格式為：

(17)

在第一層與第二層接觸面，即，當(dāng)i=m1時有：

(18)

在第二層與第三層接觸面，即，當(dāng)i=m1+m2時有：

(19)

下面證明求解水蒸氣濃度有限差分格式解的唯一性。

定理1格式(12)—(15)和格式(16)—(19)均有唯一解。

2 基于保溫性能的紡織材料厚度決定反問題

服裝材料的熱濕傳遞性能能夠直接影響人體的著裝舒適度，而織物的厚度、孔隙率、熱傳導(dǎo)率對于織物的熱濕傳遞性能的影響占據(jù)著很大比重[16]，所以在服裝設(shè)計選擇材料時，須確定這三個參數(shù)。本節(jié)根據(jù)服裝保暖性最佳為目標(biāo)，提出了低溫環(huán)境下三層紡織材料最優(yōu)厚度設(shè)計問題。

2.1 三層織物厚度決定反問題的數(shù)學(xué)歸結(jié)

在人體-織物-環(huán)境系統(tǒng)中，假設(shè)織物的孔隙率、曲折系數(shù)和導(dǎo)熱系數(shù)均已知，考慮在低溫環(huán)境下，當(dāng)三層織物總厚度給定時，根據(jù)控制方程和給定的初邊值條件，最優(yōu)決定織物每層的厚度，使得服裝保暖性(即隔熱性)最佳。

令l1=L1，l2=L2-L1，l3=L-L2，織物與環(huán)境接觸的邊界上的熱流密度為:

q(x,t)

|x=L=k(T(x,t)|x=L-Te)，

上述厚度決定反問題可以表示為以下最優(yōu)表達(dá)式:

(20)

2.2 求解算法

采用遺傳算法求解厚度決定反問題。遺傳算法是由Holland和他的同事于20世紀(jì)60年代提出，是借鑒生物進(jìn)化過程而提出的一種啟發(fā)式搜索算法[17-18]。該算法具有良好的全局搜索能力，可以快速地搜索出解空間中的全局解，是一種高效、并行、全局搜索的方法。遺傳算法求解上面最優(yōu)化問題的基本計算步驟為：

Step1準(zhǔn)備工作。個體采用二進(jìn)制編碼，定義適當(dāng)?shù)倪m應(yīng)度函數(shù)，設(shè)置初始化群個體數(shù)n、染色體基因個數(shù)、最大迭代次數(shù)C、交叉概率、變異概率。

Step2種群初始化。以隨機(jī)的方式產(chǎn)生個體的集合作為初始種群Z=(z1,z2,…,zn)。

Step3選擇操作。計算適應(yīng)度，采用基于適應(yīng)度比例的選擇策略，確定各個體在下一代出現(xiàn)的次數(shù)。

Step4交叉操作。按照交叉概率從群體中隨機(jī)確定進(jìn)行交叉的個體數(shù)目，配對進(jìn)行交叉操作，在對應(yīng)位置交換若干個基因片段，產(chǎn)生新的個體。

Step5變異操作。按照變異概率，隨機(jī)選取相應(yīng)數(shù)目的個體，對選中的個體的某些基因位執(zhí)行變異。在二進(jìn)制時，對執(zhí)行變異的個體的對應(yīng)位求反即可。

Step6終止條件判斷。當(dāng)最優(yōu)個體的適應(yīng)度和群體的適應(yīng)度不再上升，或者迭代次數(shù)i>C時終止，輸出解，否則轉(zhuǎn)到Step 3，繼續(xù)循環(huán)執(zhí)行。

3 數(shù)值計算

3.1 正問題的數(shù)值計算

本節(jié)首先給出正問題的一個數(shù)值實驗。采用常見的紡織材料(棉、涂棉(經(jīng)過涂覆加工的棉纖維產(chǎn)品)、滌綸、羊毛)做數(shù)值模擬。方程中對應(yīng)織物的物理參數(shù)見表1(數(shù)據(jù)來源參考文獻(xiàn)[8])。其余參數(shù)為：水蒸氣在空氣中的擴(kuò)散系數(shù)ha=2.49×10-5m/s，三層織物的總厚度L=0.007 m，總時間tfinal=360 s,環(huán)境溫度Te=1 ℃,織物左邊界條件溫度

T0(t)=(35.84+exp(0.0002t)) ℃，初始溫度TI(x)=1 ℃，左邊界纖維中水蒸氣濃度滿足關(guān)系式w0(t)=(0.05+ 0.25t- 0.0001t2) kg/m3，環(huán)境中水蒸氣濃度we(t)=0.05 kg/m3，初始時刻纖維中水蒸氣濃度wI(x)=0.05 kg/m3。

表1 紡織材料結(jié)構(gòu)參數(shù)和物理參數(shù)

在總厚度一定的情形下，給定各層材料的厚度，進(jìn)行數(shù)值計算，分別得到了三層織物內(nèi)的溫度和水蒸氣濃度的分布，如圖2—圖3所示。

圖2 三層多孔織物模擬時的水蒸氣濃度和溫度的分布(l1=0.002 m,l2=0.002 m)

圖3 固定位置和固定時刻時的溫度圖像

從圖2中可以看出，水蒸氣濃度和溫度沿厚度方向從內(nèi)到外均是逐漸降低的，這是符合實際情況的。從圖3 (a)中可以看出，在總厚度不變的情況下，如果三層織物厚度組合不同，在同一時刻，最外層的溫度是不同的。從圖3 (b)中可以看出，同一位置，因為厚度組合的不同，溫度降低的速率也有所不同。

3.2 反問題的數(shù)值計算

利用Matlab進(jìn)行數(shù)值實驗尋找厚度最優(yōu)組合。僅考慮最佳保暖性可能導(dǎo)致所得的解不唯一，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)最小值對應(yīng)多組厚度組合時，優(yōu)先考慮三層織物的總重量最輕。參考表1中給出的各種織物的密度值可知，在目標(biāo)函數(shù)值相同的情形下，優(yōu)先選擇滌綸層厚度最大組合，其次選擇羊毛層厚度最大的織物組合，最后選擇棉織物層厚度最大組合。

首先以棉-包棉-滌綸組成的三層織物為例。當(dāng)?shù)谝粚涌椢锖偷诙涌椢锖穸热〔煌禃r，畫出其不同厚度值對應(yīng)的總熱量散失圖形，如圖4所示。利用Matlab直接計算求得其中最小點(diǎn)對應(yīng)的厚度組合為(3.0,3.2) mm，即當(dāng)?shù)谝粚用蕻a(chǎn)品厚度為3.0 mm，第二層包棉產(chǎn)品厚度為3.2 mm，第三層滌綸的厚度為0.8 mm時，目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小值。

圖4 (棉-包棉-滌綸)情形下的不同厚度組合對應(yīng)的熱量散失

以羊毛-棉-滌綸為三層織物材料時進(jìn)行數(shù)值模擬，得到不同厚度值對應(yīng)的總熱量散失圖形，如圖5所示。利用Matlab直接計算求得當(dāng)?shù)谝粚雍穸葹?.2 mm, 第二層厚度為2.9 mm 時取得最小值。

圖5 (羊毛-棉-滌綸)情形下的不同厚度組合對應(yīng)的熱量散失

采用遺傳算法利用Matlab編程計算以上兩個例子，計算結(jié)果見表2。

表2 厚度優(yōu)化近似值

遺傳算法計算結(jié)果與圖形結(jié)果一致，說明了遺傳算法的有效性。由于總厚度給定，該厚度設(shè)計反問題只有兩個參數(shù)所以能畫出其圖形，利用圖形檢驗遺傳算法的有效性。當(dāng)厚度參數(shù)多于兩個時，沒法直接畫出熱量散失的空間圖形，只能利用遺傳算法直接計算各層厚度最佳值。

4 結(jié) 論

本文主要給出了一類三層多孔織物熱濕傳遞耦合模型的數(shù)值解的唯一性證明，在該模型的基礎(chǔ)上，根據(jù)保暖性要求提出了新的厚度決定反問題。由于邊界條件的復(fù)雜性，文中沒有給出穩(wěn)定性和收斂性分析，只給出了總厚度一定的條件下的三層多孔織物厚度決定反問題，還可以繼續(xù)做更多層厚度決定反問題，以及多層織物孔隙率﹑熱傳導(dǎo)率決定反問題等，下一步工作需要利用實驗的方法來驗證本文中提出的反問題的合理性。

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AnInverseProblemofThicknessDeterminationforThree-LayerPorousFabricBasedonaCoupledHeatandMoistureModel

PANQitian,XUYinghong,XUDinghua

(School of Sciences, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 310018, China)

Based on a coupled heat and moisture transfer mathematical model, an inverse problem of thickness determination for three-layer porous fabric is put forward. Firstly, a complete heat and moisture transfer mathematical model for three-layer porous fabric is given, and the finite difference method is used to solve this model. Besides, the uniqueness of the solution is analyzed. Secondly, based on the heat and moisture transfer model, inverse problem of thickness determination for three-layer porous fabric is proposed according to the requirement of thermal insulation. Finally, the genetic algorithm is used to solve this problem, and numerical simulation was carried out through Matlab. The numerical result verified the effectiveness of this algorithm.

heat-moisture transfer; direct problem; uniqueness; inverse problem; numerical simulation

10.3969/j.issn.1673-3851.2017.11.004

2016-11-07 網(wǎng)絡(luò)出版日期： 2017-03-28

國家自然科學(xué)基金項目(11471287，11501513)

潘啟天(1991-)，男，安徽安慶人，碩士研究生，主要從事反問題理論及應(yīng)用研究。

徐映紅，E-mail：xyh7913@163.com

O242.1

A

1673- 3851 (2017) 06- 0771- 07

(責(zé)任編輯：康鋒)