降維突破思維難點(diǎn)，升維發(fā)展空間觀念

徐磊

【摘要】本文以《正方體的表面展開(kāi)圖》教學(xué)為例，論述幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)幾何知識(shí)難點(diǎn)、發(fā)展空間思維的方法，建議教師通過(guò)“體—面—體”的有效轉(zhuǎn)化，用“降維”的方式讓三維立體圖“躺”下來(lái)，初步建立面體之間的聯(lián)系，再“升維”將二維平面圖“立”起來(lái)進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，從而勾連學(xué)生對(duì)二維平面圖和三維立體圖之間的聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 幾何思維 空間觀念

【中圖分類(lèi)號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2020）45-0108-03

小學(xué)生的幾何思維具有具體性和抽象性相結(jié)合的特點(diǎn)，受限于自身抽象思維的發(fā)展，他們學(xué)習(xí)的幾何知識(shí)更多的是經(jīng)驗(yàn)幾何，而不是嚴(yán)格的以邏輯推理為公理化的體系。六年級(jí)的學(xué)生初次接觸抽象的三維立體圖形，缺少具體直觀的經(jīng)驗(yàn)，所以在認(rèn)識(shí)和理解上往往存在很大的困難。如何幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)幾何知識(shí)的難點(diǎn)，更好地發(fā)展空間觀念呢？通過(guò)教學(xué)《正方體的表面展開(kāi)圖》，筆者有了一些自己的思考與認(rèn)識(shí)。

我們通過(guò)認(rèn)真觀察可以發(fā)現(xiàn)，把立體圖形的表面展開(kāi)后會(huì)有以下變化：原來(lái)存在于三維空間的6個(gè)正方形被置放到了同一平面上。原來(lái)在立體圖上最多只能同時(shí)看到3個(gè)面，而在表面展開(kāi)圖上能看到正方體的6個(gè)面，把抽象化為直觀，能使正方體的特征表象更清晰，也便于學(xué)生解決一些問(wèn)題。然而，這也給學(xué)生的認(rèn)知帶來(lái)一些困難，如學(xué)生原本能直觀感受到在正方體上3組相對(duì)面的位置關(guān)系，而表面展開(kāi)圖會(huì)因?yàn)檎归_(kāi)的方式不同而發(fā)生變化，學(xué)生需要憑借折回的過(guò)程進(jìn)行思考，這就要求學(xué)生具備一定的空間想象能力，增加了認(rèn)知的難度。

在教學(xué)中，教師該如何幫助學(xué)生體會(huì)表面展開(kāi)的價(jià)值，突破認(rèn)知困難，發(fā)展空間觀念呢？筆者認(rèn)為應(yīng)從“有效”入手，做細(xì)轉(zhuǎn)化的過(guò)程，通過(guò)觀察、操作、想象等手段豐富表象，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。具體做法如下：

一、讓“維”降下來(lái)，激發(fā)探求內(nèi)需

怎樣引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生把正方體的表面展開(kāi)的需求呢？筆者創(chuàng)設(shè)了以下教學(xué)情境：

談話(huà)：小螞蟻帶來(lái)了一個(gè)正方體。從A點(diǎn)到B點(diǎn)，怎么走最近？（如圖1）你怎么想的？……是的，A、B兩點(diǎn)都在一個(gè)面上，同一平面內(nèi)，兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短。

提問(wèn)：如果從A點(diǎn)到C點(diǎn)，怎么走最近？（如圖2）你怎么想的？（出示學(xué)生可能規(guī)則的路線(xiàn)，如圖3）

圖1? ? ? ? ? 圖2? ? ? ? ?圖3

談話(huà)：從正面的A點(diǎn)走到上面的C點(diǎn)，你們都覺(jué)得綠色的路線(xiàn)更近，那還有沒(méi)有更近的？聯(lián)系由A點(diǎn)到B點(diǎn)的最近路線(xiàn)，我們得到的結(jié)論，你有沒(méi)有什么想法？同桌之間可以互相說(shuō)一說(shuō)。

提問(wèn)：有沒(méi)有同學(xué)有新的路線(xiàn)？你是怎么想的？

追問(wèn)：他是怎么解決的？誰(shuí)再來(lái)說(shuō)一說(shuō)。（媒體演示動(dòng)態(tài)展開(kāi)，如圖4）

小結(jié)：在這個(gè)正方體上，A點(diǎn)和C點(diǎn)不在同一平面，如果把正方體的表面展開(kāi)，這樣A點(diǎn)和C點(diǎn)就在同一平面上了，問(wèn)題就能解決了。

揭示概念，板示課題：像這樣把正方體的六個(gè)面展開(kāi)放在同一平面上，并且兩兩相連，得到的圖形就是正方體的表面展開(kāi)圖。本節(jié)課我們來(lái)研究正方體的表面展開(kāi)圖。

從以往的教學(xué)中筆者發(fā)現(xiàn)，在二維圖形中學(xué)生知道“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”，而在三維立體圖上尋找不同平面內(nèi)的兩點(diǎn)之間的最短線(xiàn)段，這個(gè)任務(wù)是學(xué)生根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)無(wú)法解決的，他們大多是沿著正方體的棱尋找，或?qū)⑾鄳?yīng)平面內(nèi)的最短線(xiàn)段相連。即使學(xué)生借助實(shí)物尋找，這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)依然比較抽象，他們難以找到。設(shè)計(jì)“螞蟻找最短路徑”的情境導(dǎo)入，一方面是借助問(wèn)題情境激活學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，并制造新舊知識(shí)的沖突，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)無(wú)法解決現(xiàn)有的問(wèn)題，繼而自主產(chǎn)生學(xué)習(xí)新知的需求，從而調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性。另一方面，通過(guò)展開(kāi)正方體表面的“降維”過(guò)程，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以將三維立體的復(fù)雜問(wèn)題變成二維平面的簡(jiǎn)單問(wèn)題，初步體會(huì)到三維和二維之間的聯(lián)系，了解可以借助二維展開(kāi)圖進(jìn)一步認(rèn)識(shí)立體圖形。

二、讓“體”“躺”下來(lái)，建立面體聯(lián)系

在認(rèn)識(shí)正方體表面展開(kāi)圖的環(huán)節(jié)，教材設(shè)計(jì)了讓學(xué)生沿指定路徑剪開(kāi)正方體紙盒的操作活動(dòng)，旨在讓學(xué)生經(jīng)歷“動(dòng)手剪”的過(guò)程，進(jìn)而認(rèn)識(shí)正方體的表面展開(kāi)圖，但筆者覺(jué)得如果把教學(xué)目標(biāo)僅僅停留在這一層次，不能很好地發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

怎樣讓“體”“躺”下來(lái)呢？根據(jù)小學(xué)生的幾何思維特征，筆者認(rèn)為應(yīng)通過(guò)正方體“躺”下來(lái)的過(guò)程，請(qǐng)學(xué)生思考：剪開(kāi)一個(gè)面最多需要剪開(kāi)幾條棱？同一個(gè)面，剪開(kāi)的棱不同，展開(kāi)的方式也會(huì)怎樣？剪開(kāi)不同的棱，可能會(huì)展開(kāi)怎樣的面？基于這樣的思考，筆者細(xì)化了表面展開(kāi)的過(guò)程：

（一）指導(dǎo)示范

談話(huà)：正方體的表面怎么展開(kāi)呢？（出示三視圖，如圖5）

1.如果要展開(kāi)這個(gè)正方體的前面，想一想，需要剪開(kāi)哪幾條棱？（學(xué)生回答）

如果剪開(kāi)了3條棱，這條黃色的棱（圖6中的AB）還能剪嗎？（如圖6）為什么？

交流明確：展開(kāi)這個(gè)面，最多只能剪開(kāi)3條棱。

2.接著你想展開(kāi)哪個(gè)面？（學(xué)生回答）

圖5? ? ? ? ? ?圖6

圖7? ? ? ? ? 圖8

如果展開(kāi)上面，要剪開(kāi)哪幾條棱？

剪開(kāi)這兩條棱（圖7中的AB、BC），想象一下，這個(gè)面會(huì)怎樣展開(kāi)呢？把手掌想象成上面，比畫(huà)一下。（媒體演示）和你想的一樣嗎？

（教師指）如果剪開(kāi)這兩條棱（圖8中的AB、CD），又會(huì)怎樣展開(kāi)？（媒體演示）

哦，同一個(gè)面，剪開(kāi)的棱不同，展開(kāi)的情況就會(huì)不一樣。

3.想一想，剪開(kāi)這條棱會(huì)展開(kāi)哪個(gè)面？右面是怎樣展開(kāi)的？（媒體演示展開(kāi)）和你想的一樣嗎？