一道耐人尋味的期終學(xué)業(yè)聯(lián)考題

浙江省紹興市柯橋區(qū)平水鎮(zhèn)中學(xué) 封 萍 沈岳夫 312050

數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說過“問題是數(shù)學(xué)的心臟”.對問題進(jìn)行研究是教師的一項(xiàng)基本功.通過研究，挖掘其隱含的問題的本質(zhì)，獲得豐富的教學(xué)資源.這樣做，不僅提高教師自身的專業(yè)素養(yǎng)，還有利于開闊學(xué)生的思路，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.本文以2020年1月柯橋區(qū)八年級數(shù)學(xué)期終學(xué)業(yè)聯(lián)考試卷中的一道選擇題目為例，做一些探索.

1 試題呈現(xiàn)

題目 我國古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，得到一個恒等式.后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理，如圖1所示的矩形由兩個這樣的圖形拼成，若a=3,b=4，則該矩形的面積為（ ）.

圖1

本題源于2018年溫州市中考數(shù)學(xué)試題中的第10題，此題是以數(shù)學(xué)歷史為背景，直角三角形為依托，主要考查了全等三角形、角平分線及勾股定理等知識點(diǎn)，綜合性較強(qiáng).在閱卷后，筆者分析試卷發(fā)現(xiàn)此題得分率不高，這引起了我的思考，該題如何解？如何尋找解題的關(guān)聯(lián)點(diǎn)？筆者愿以此文與各位同仁探討.

圖2

2 解法探尋

為方便后面表述，我們先標(biāo)上相關(guān)字母.如圖2，根據(jù)題意，易得CG=CF=3,AG=AE=4,AC=7,AB-BC=1，CO平分∠ACB，AO平分∠CAB，O為△ABC的內(nèi)心，設(shè)正方形BEOF的邊長為x，等等.

思路1 運(yùn)用勾股定理，借力整體思想

解：根據(jù)題意知，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即(3+x)2+(4+x)2=72，整理得x2+7x=12，而矩形ABCD的面積＝(3+x)·(4+x)=x2+7x+12＝24，所以應(yīng)選B.

評注：此解法先運(yùn)用勾股定理得方程，再借力整體思想求得答案，這樣處理的優(yōu)點(diǎn)是避免了方程根的求解，繁雜的計(jì)算，顯得簡捷、明了.

思路2運(yùn)用勾股定理，巧借乘法公式

解：因?yàn)锳B2+BC2=AC2=72，AB-BC=1，我們?nèi)羟捎眠@個乘法公式x2+y2=(x-y)2+2xy的變形，則該矩形的面積=AB·BC=應(yīng)選B.

評注：在乘法公式學(xué)習(xí)時，常常會遇到a2+b2=(a-b)2+2ab，a2+b2=(a+b)2-2ab等這些乘法公式的變形.若考生能把平時積累的這些“式”與本題的“形”有機(jī)關(guān)聯(lián)起來，那也是一種不錯的解題方法.

思路3運(yùn)用勾股定理，活用AB-BC=1

解：因?yàn)锳B2+BC2=AC2=72，AB-BC=1，設(shè)BC=a，則AB=a+1，所以a2+(a+1)2=72，整理得a2+a=24，而矩形的面積＝a(a+1)＝a2+a＝24，所以應(yīng)選B.

評注：此解法正是抓住AB-BC=1這個隱含條件，類同思路1而獲解.這真是思之愈深，解之愈捷.

思路4抓住三角形內(nèi)心，巧用面積公式

解：我們都知道有個定理：直角三角形的面積等于內(nèi)切圓在斜邊上的切點(diǎn)分斜邊所成的兩線段的乘積.即：已知如圖3⊙O為Rt△ABC的內(nèi)切圓，D、E、F分別為AB、AC、BC邊上的切點(diǎn)，則S△ABC=AD·BD.如圖2，根據(jù)題意，因?yàn)镺為△ABC的內(nèi)心，G為斜邊AC上的切點(diǎn)，顯然可巧用這個公式直接秒殺，所以S△ABC=AG·CG=3×4=12，進(jìn) 而 可知矩形的面積＝2S△ABC=24，故應(yīng)選B.

圖3

評注：此題是借用面積公式直接秒殺.由此可見，考生可以通過自己的自學(xué)、吸收、內(nèi)化，積累這類先進(jìn)的“武器”，為尋求解決問題的方法貯存能量.

思路5切換視角巧轉(zhuǎn)化，運(yùn)用同一法求解

解：（視角1：矩形和其內(nèi)部的圖形）由圖2易 知4S△AEO+4S△CFO+2SBEOF=S矩形ABCD，即理得x2+7x=12，以下同解法1.

（視角2：△ABC和其內(nèi)部的圖形）由圖2知，連結(jié)BO，易知S△BCO+S△ABO+S△ACO=S△ABC，整理得x2+7x=12，以下同解法1.

評注：此題的兩種解法都是從總量等于分量之和的視角入手，即同一個圖形的面積用兩種表示法而獲解.當(dāng)然，這需要考生靜下心來，認(rèn)真審題，多方聯(lián)想，多方檢索，做到眼中有“形”，手中有“數(shù)”，心中建“模（面積）”，則解法自然來.

思路6重組圖形結(jié)構(gòu)，融推理于計(jì)算

解：（視角1：將矩形內(nèi)的圖形重拼）根據(jù)題意，用分割所得的一個小正方形和兩對全等的直角三角形重新構(gòu)成如圖4的圖形，顯然，所構(gòu)成的矩形ABCD與原矩形是全等的，顯然，而S′=ab=12，所以原矩形的面積S=2S′=24，故應(yīng)選B.

圖4

（視角2：將矩形裁剪旋轉(zhuǎn)重拼）將△ACD繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到如圖5，連結(jié)AA′，因?yàn)锳C=7A′作A′H⊥AB于點(diǎn)H，則AH=1，則A′H2==48.5，則原矩形面積=48.5-24.5=24，故應(yīng)選B.

評注：所謂重組圖形結(jié)構(gòu)就是根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，適當(dāng)對圖形進(jìn)行剪拼（如圖4）或重新組合（如圖5）來解幾何題的一種方法.當(dāng)然運(yùn)用此法不僅需要具備解答基本幾何圖形的基本功，更重要的是還要有識圖、分割、拼湊、平移、旋轉(zhuǎn)以及重新組合圖形的能力.若一旦掌握，則常常會產(chǎn)生一種“柳暗花明又一村”的解題意境.

圖5

思路7探尋知識關(guān)聯(lián)，創(chuàng)新思維視角

解：用兩個原矩形進(jìn)行重新拼圖如圖6，則可得到“弦圖”，即四邊形ACDE與四邊形GFBH均為正方形.由圖易知AC=7，

圖6

評注：此題的解法是將圖形補(bǔ)成定理的圖形或其他一些基本圖形，是一種重要的解題經(jīng)驗(yàn)，也是添加輔助線的一種重要策略.通過進(jìn)一步思考，如果從圖形的結(jié)構(gòu)出發(fā)、聯(lián)想，則可以將原圖補(bǔ)成圖6，得到“弦圖”（兩個正方形有共同的中心），從而獲解.由此看出，這種“補(bǔ)形”策略，是通過對題目的深入分析，或聯(lián)想，或轉(zhuǎn)化，挖掘知識模塊內(nèi)蘊(yùn)的思想方法，是一種經(jīng)驗(yàn)的“噴薄”.讓人不禁感嘆，幾何構(gòu)造之神奇，探索無止境.

通過對這道選擇題的研究，筆者得到了一些啟發(fā)：如何讓考生把平時積累的幾何模型能在考場中迅速“釋放”出來，值得一線教師探究.如文中所舉的7種思路9種解法，盡管沒有固定的“模式”可以套用，但不是“憑空臆造”，而是如何化“陌生”為“熟悉”的基本圖形，并運(yùn)用基本圖形分析法進(jìn)行解題.由此可見，解題時如果能從多個角度思考、聯(lián)想問題，將有助于我們鞏固知識，掌握方法，以達(dá)到擺脫題海，事半功倍之效.因此，作為一線教師在平時的課堂上要把常規(guī)的解法教給學(xué)生，使學(xué)生打好扎實(shí)的基礎(chǔ)，與此同時，教學(xué)中也應(yīng)該打開思路，多發(fā)問，多根據(jù)題目問題需要提出合理的目標(biāo)或適當(dāng)?shù)淖兪?，使學(xué)生在尚未形成固定和完善的思維方式時，充分調(diào)動學(xué)生的思維積極性和主動性，去思考問題，進(jìn)而產(chǎn)生不同的想法和解法，從中找到符合自己的認(rèn)知特點(diǎn)的“自然解法”.