延伸
——在無(wú)路可走的時(shí)候

安徽省無(wú)為第三中學(xué)城北校區(qū) 朱小扣 238300

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度及價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用過(guò)程中逐步形成和發(fā)展的.為此本文將通過(guò)闡述延伸思想在解題中的運(yùn)用，并結(jié)合相似、全等等幾何知識(shí)加以解決難題,揭開(kāi)部分難題的面紗，讓學(xué)生在解題中自覺(jué)培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng).

例1如圖1在△ABC 中，D、E是BC的三等分點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，且BF與AD,AE分別交于S、T點(diǎn).求BS:ST:TF的值.

證明：如圖2，延長(zhǎng)BF至G，使得FG=BF,則四邊形ABCG為平行四邊形.不妨設(shè)BG=20,則BF=10.由△BTE∽△GTA得：

此類問(wèn)題很多，在高中用向量知識(shí)可以解決，但還是構(gòu)造相似法簡(jiǎn)單.

例2 如圖3，正方形ABCD中，E在AB上，EF//BC交BD，CD于G，F(xiàn)，點(diǎn)M,N分別為DG,EC的中點(diǎn)，若DF=2,BN=13,求證:∠EMC=90°

圖1

圖2

圖3

圖4

此題表面看很難直接證明∠EMC =90°，無(wú)法找到相似與全等的三角形，但延長(zhǎng)之后，就很容易找到相似的三角形和問(wèn)題的解法.

本題的圖較“丑”，但延伸后就很美觀，很容易的找到解法,很多人會(huì)說(shuō)本題建立坐標(biāo)系解會(huì)簡(jiǎn)單些，但筆者覺(jué)得一方面建立坐標(biāo)系在解的過(guò)程中有時(shí)會(huì)“超綱”，很多直線的求法用到了點(diǎn)斜式方程，另一方面要想培養(yǎng)自己的“純”幾何能力，還是延伸后證相似較好.

圖5

圖6

例4如圖7在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中，E為線段AB延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，A關(guān)于OE的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F，過(guò)F點(diǎn)作FG⊥CF且FG=CF，連結(jié)AG,M為AG的中點(diǎn).求CM的最小值.

解：如圖8延長(zhǎng)AO至A′使得OA′=OA，則OA′=OA=OF=OC即A′，A，F(xiàn)，C在圓O上，則圓周角270°=135°,易證△A′FC≌△A′FG(SAS)，于是由 中 位 線 性 質(zhì) 可 得

圖7

圖8

本題在解答過(guò)程中很多人會(huì)找不到方法，像這樣延長(zhǎng)AO至A′，而后證四點(diǎn)共圓，使問(wèn)題簡(jiǎn)單的化歸.本文講的延伸并不是毫無(wú)方向的延長(zhǎng)，也不是平面上的延伸，而是立體的延伸“登高”，確定出方向再前進(jìn)！我想這也是培養(yǎng)學(xué)生們數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地生根的一種好方法，延伸——在無(wú)路可走的時(shí)候！