整體建構(gòu)中考復(fù)習(xí)，強(qiáng)化結(jié)構(gòu)思維水平

張勇

【摘要】? 單元復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)應(yīng)該注重整體教學(xué)，設(shè)置適宜的問(wèn)題或活動(dòng)，加深學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容系統(tǒng)性的認(rèn)識(shí)，明晰知識(shí)間的聯(lián)系以及研究思路與方法，提升學(xué)生的思維水平。

【關(guān)鍵詞】? 整體 系統(tǒng) 單元復(fù)習(xí) 平行四邊形

【中圖分類號(hào)】? G633.6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】? A 【文章編號(hào)】? 1992-7711（2020）05-108-03

緣起

教材的整體設(shè)計(jì)呈現(xiàn)不同知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)。一些知識(shí)之間存在著實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系，這種聯(lián)系體現(xiàn)在相同的內(nèi)容領(lǐng)域，也體現(xiàn)在不同的內(nèi)容領(lǐng)域。幫助學(xué)生理解實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)。在九年級(jí)復(fù)習(xí)期間，如何借助結(jié)構(gòu)性的問(wèn)題幫助學(xué)生從整體的視角更好地建構(gòu)知識(shí)體系，深刻理解知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系就顯得尤為重要。

基于上述思考，筆者對(duì)單元整體復(fù)習(xí)展開(kāi)了研究。一方面通過(guò)結(jié)構(gòu)性的問(wèn)題和數(shù)學(xué)活動(dòng)幫助學(xué)生把單元知識(shí)的鞏固和應(yīng)用形成整體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，另一方面把教材中的點(diǎn)狀知識(shí)關(guān)聯(lián)成網(wǎng)狀知識(shí)結(jié)構(gòu)，把相關(guān)聯(lián)的其它單元知識(shí)進(jìn)行重構(gòu)和拓展。讓學(xué)生在復(fù)習(xí)課中收獲解決一類問(wèn)題的一般性思維策略和方式、方法。筆者以平行四邊形單元復(fù)習(xí)為例，從整體的視角闡述在復(fù)習(xí)課中如何有效提高學(xué)生的認(rèn)知水平，從而實(shí)現(xiàn)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思維能力的目標(biāo)。

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

平行四邊形及矩形、菱形、正方形的定義、性質(zhì)及判定.以及運(yùn)用這些內(nèi)容解決問(wèn)題。

2.內(nèi)容解析

該單元是在學(xué)生復(fù)習(xí)了三角形的相關(guān)知識(shí)（其中包括特殊三角形直角三角形、等腰三角形）、全等三角形和軸對(duì)稱知識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步復(fù)習(xí)四邊形的知識(shí)。

三角形的學(xué)習(xí)基本路徑為定義、性質(zhì)、判定、應(yīng)用，從一般到特殊。這些學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)為后續(xù)平行四邊形等內(nèi)容的復(fù)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，提供了“一般觀念”的示范作用.

平行四邊形是邊的大小關(guān)系、位置關(guān)系、角的大小關(guān)系，對(duì)角線的關(guān)系特殊化而得到的特殊四邊形。而矩形、菱形、正方形亦是邊角對(duì)角線特殊化的平行四邊形類比三角形的復(fù)習(xí)建構(gòu)路徑，通過(guò)一系列思維活動(dòng)過(guò)程，再一次呈現(xiàn)“一類幾何圖形特例研究的一般套路”。

基于以上分析，本單元的教學(xué)重點(diǎn)是：平行四邊形、矩形、菱形、正方形的定義、性質(zhì)及判定，以及這些內(nèi)容之間的聯(lián)系。系統(tǒng)化建構(gòu)知識(shí)體系。

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.通過(guò)探究活動(dòng)回顧平行四邊形及矩形、菱形、正方形的定義、判斷、性質(zhì)，以及它們之間的關(guān)系。

2.能運(yùn)用性質(zhì)和判定進(jìn)行推理論證和定量計(jì)算。

3.能運(yùn)用相似三角形、勾股定理、面積法等方法，解決特殊四邊形相關(guān)的定量問(wèn)題;通過(guò)解決特殊四邊形的定量問(wèn)題，感受相似三角形、勾股定理、面積法是通法。

4.能通過(guò)探究活動(dòng)，體會(huì)平行四邊形及矩形、菱形、正方形的研究思路、研究?jī)?nèi)容、研究方法。

5.經(jīng)歷構(gòu)建知識(shí)體系的過(guò)程，總結(jié)歸納一類幾何圖形特例研究的一般套路。

基于以上分析，本單元的教學(xué)難點(diǎn)是：聯(lián)系三角形的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，建構(gòu)四邊形知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，并能把四邊形問(wèn)題化歸為三角形問(wèn)題來(lái)解決，促進(jìn)學(xué)生系統(tǒng)地思考問(wèn)題。

三、教學(xué)過(guò)程

1.學(xué)情前測(cè)

（1）已知平行四邊形相鄰兩條邊的長(zhǎng)度之比為3：2，周長(zhǎng)為20cm.則它各條邊長(zhǎng)為?_________ .

（2）矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（? ? ）

A.對(duì)角相等 B.對(duì)邊相等C.對(duì)角線相等 D.對(duì)角線互相平分

（3）已知菱形的周長(zhǎng)為4，兩條對(duì)角線的和為6，則菱形的面積為?_________?.

（設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)最近發(fā)展區(qū)理論，教學(xué)應(yīng)該盡可能地從學(xué)生的認(rèn)知水平出發(fā)，重視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)展開(kāi)課堂活動(dòng)。在本節(jié)專題復(fù)習(xí)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)平行四邊形及矩形、菱形、正方形的定義、性質(zhì)、判定，這些都是本節(jié)復(fù)習(xí)課的重點(diǎn)知識(shí)。筆者所教學(xué)的是杭州某公辦學(xué)校九年級(jí)班級(jí)，實(shí)際掌握情況中僅第2題出現(xiàn)3人答案錯(cuò)誤，1人空白。因此，通過(guò)前測(cè)的設(shè)計(jì)，從數(shù)學(xué)內(nèi)部舊知的角度評(píng)估學(xué)生的掌握情況。）

2.激活舊知

活動(dòng)1：利用直尺和圓規(guī)畫出以AB，AD為邊的平行四邊形。（要求保留作圖痕跡）

追問(wèn)：你的作圖依據(jù)是什么？

師生活動(dòng)：學(xué)生呈現(xiàn)不同畫法，并通過(guò)推理論證自己的畫法。

方法1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?方法2

方法3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?方法4

（設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)開(kāi)放的數(shù)學(xué)活動(dòng)，給學(xué)生提供了體驗(yàn)式的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，調(diào)動(dòng)學(xué)生參與積極性。同伴分享的過(guò)程又給了學(xué)生借鑒學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)。以此作為問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，通過(guò)思考、證明、討論、分享這些活動(dòng)，積累思維活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力，從而達(dá)到舊知的復(fù)習(xí)以及新知的聯(lián)系。學(xué)生的不同生成激活了學(xué)生對(duì)平行四邊形定義、性質(zhì)、判定做的認(rèn)識(shí)。引導(dǎo)學(xué)生按研究路徑進(jìn)行知識(shí)梳理）

3.聯(lián)系建構(gòu)

問(wèn)題：我們復(fù)習(xí)了三角形相關(guān)知識(shí)，是按照怎樣的路徑研究的？

師生活動(dòng)：學(xué)生回憶三角形的研究路徑——定義、性質(zhì)、全等關(guān)系。特殊三角形的研究路徑——定義、性質(zhì)、判定等。

追問(wèn)1：回憶三角形性質(zhì)、判定的研究視角，類比三角形的研究視角從不同視角（邊、角、對(duì)角線）回憶平行四邊形的定義、性質(zhì)、判定。

師生活動(dòng)：學(xué)生梳理平行四邊形的定義、性質(zhì)和判定。

追問(wèn)2：矩形、菱形、正方形分別是把平行四邊形的什么元素特殊化而來(lái)的？

（設(shè)計(jì)意圖：對(duì)幾何圖形的研究按照從一般到特殊的思路進(jìn)行，比如直角三角形，它是一般三角形從角特殊化得到的.等腰三角形，它是從邊特殊化得到的。通過(guò)類比三角形構(gòu)建研究思路，用相似的思路研究不同的問(wèn)題.引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建知識(shí)體系、深化理解。）

4.化歸本原

活動(dòng)2：在平行四邊形ABCD中畫出全等三角形。（要求只用直尺）

追問(wèn)1：你能畫出多少對(duì)全等三角形？

師生活動(dòng)：學(xué)生呈現(xiàn)不同畫法，歸納只要直線過(guò)對(duì)稱中心就能得到全等三角形，這樣的全等三角形有無(wú)數(shù)對(duì)，本質(zhì)是平行四邊形的中心對(duì)稱性。

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)探究活動(dòng)感受平行四邊形的中心對(duì)稱性）

追問(wèn)2：當(dāng)平形四邊行特殊化為矩形后，除了具有中心對(duì)稱性外還有怎樣的對(duì)稱性？

（設(shè)計(jì)意圖：感受矩形除了具有平行四邊形的中心對(duì)稱性外，還具有軸對(duì)稱性）

活動(dòng)3：在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，若∠CAE=15°.你能得出哪些結(jié)論？

師生活動(dòng)：學(xué)生根據(jù)矩形性質(zhì)分離出圖中的等腰三角形、等邊三角形、特殊直角三角形、全等、相似等關(guān)系。

追問(wèn)1：若AB=4，你還能得出哪些結(jié)論？

師生活動(dòng)：學(xué)生回答，互相補(bǔ)充。歸納得出圖中所有線段均可求，所有的角均可求，所有圖形的周長(zhǎng)面積均可求，線段比、面積比也可通過(guò)不同方法求解。

追問(wèn)2：在求解的過(guò)程中你用了什么方法？

師生活動(dòng)：小組內(nèi)交流歸納如下

類型1：求線段類的方法：相似（全等）三角形、勾股定理、三角函數(shù)、面積法

類型2：求角度類的方法：相似（全等）三角形、三角函數(shù)。

類型3：求面積類的方法：相似（全等）三角形、割補(bǔ)法

追問(wèn)3：試著自己提出問(wèn)題，并解答。

師生活動(dòng)：改變題目的條件，例AB=4改為AB=3，BC=4等。

（設(shè)計(jì)意圖：從定性到定量，既利用性質(zhì)推理論證又通過(guò)解決矩形的定量問(wèn)題，感受四邊形問(wèn)題通常是化歸為三角形問(wèn)題來(lái)解決，而相似三角形、勾股定理、面積法等方法是解決問(wèn)題的通法。）

活動(dòng)4：如圖，正方形ABCD，AD=4，請(qǐng)按如下要求作圖：取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)AC與DE相交于點(diǎn)N，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，連結(jié)DF交AC于點(diǎn)M，當(dāng)△AFM和△CEN相似時(shí)，求AF的長(zhǎng)。

師生活動(dòng)：分類討論，歸納每一種情況所用方法，進(jìn)一步感受正方形性質(zhì)的豐富。

（設(shè)計(jì)意圖：正方形是特殊平行四邊形中具有代表性的一類，正方形既是軸對(duì)稱圖形，又是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形。通過(guò)探究活動(dòng)感受正方形的對(duì)稱性，并利用對(duì)稱性解決問(wèn)題.）

反思

1.整體立意，系統(tǒng)建構(gòu)

三角形的研究，經(jīng)歷了一般到特殊的圖形研究的過(guò)程。研究三角形的視角：邊、角、三線，這也是研究三角形的基本思路和方法。有了這樣的研究經(jīng)驗(yàn)和基礎(chǔ)，站在系統(tǒng)的高度，設(shè)置恰當(dāng)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生類比三角形的研究，正遷移研究方法和思路展開(kāi)對(duì)四邊形的研究。感知平行四邊形是四邊形特殊化而來(lái)，進(jìn)一步特殊化得到矩形、菱形，再進(jìn)一步特殊化得到正方形這樣的過(guò)程。

體驗(yàn)從邊、角、對(duì)角線的視角來(lái)研究特殊四邊形的基本思路和方法，凸顯系統(tǒng)化，整體性。學(xué)生學(xué)會(huì)的不是單一的知識(shí)，也不是解決某一個(gè)問(wèn)題的具體方法，而是解決一類問(wèn)題的一般性思維策略和研究幾何圖形問(wèn)題的方式和方法.因此，這是從“具體方法”到“思維策略”的提升。

2.加強(qiáng)直觀，思維可視

通過(guò)畫圖操作、探究等活動(dòng)，用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方式加強(qiáng)對(duì)圖形的感覺(jué)、認(rèn)識(shí)、分析、推理。引發(fā)學(xué)生的思考，調(diào)動(dòng)已有知識(shí)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，來(lái)尋求解決問(wèn)題的思路。動(dòng)手動(dòng)腦的過(guò)程，讓學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)驗(yàn)到論證的過(guò)程，經(jīng)歷從合情推理到演繹推理的過(guò)程。利于學(xué)生的思維從直觀到抽象，從感性到理性的飛躍，發(fā)展學(xué)生問(wèn)題解決的能力。

畫圖呈現(xiàn)的過(guò)程也是思維可視化的過(guò)程。說(shuō)明作圖依據(jù)的過(guò)程是演繹推理的過(guò)程。只有學(xué)生參與了主動(dòng)實(shí)踐、觀察、思考的過(guò)程，才能有所發(fā)現(xiàn)，提出問(wèn)題，才能有效地落實(shí)四基四能。

3.過(guò)程開(kāi)放，拓展提升

每位學(xué)生獨(dú)立完成畫圖的過(guò)程。呈現(xiàn)不同的畫法和說(shuō)明依據(jù)的過(guò)程，讓學(xué)生表達(dá)思考的過(guò)程，經(jīng)歷了從操作到思辨到邏輯推理的過(guò)程，發(fā)展了邏輯思維能力和數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力。拓展了思維空間，激發(fā)了學(xué)生從不同角度思考問(wèn)題，發(fā)展思維的靈活性。

不同方法的呈現(xiàn)既促進(jìn)學(xué)生同伴間的互相借鑒，又引發(fā)學(xué)生主動(dòng)整理知識(shí)，自發(fā)完善結(jié)構(gòu)體系。開(kāi)放的問(wèn)題設(shè)計(jì)，有利于面向全體，讓每個(gè)層次的學(xué)生都有參與的可能，都有參與的空間，思考的空間，提升的空間。

4.轉(zhuǎn)化化歸，回歸本質(zhì)

巧妙利用問(wèn)題串在知識(shí)的橫向聯(lián)系和知識(shí)體系的縱向聯(lián)系中引導(dǎo)學(xué)生去體驗(yàn)感受。尤其是知識(shí)的縱向聯(lián)系上，筆者通過(guò)活動(dòng)3，活動(dòng)4讓學(xué)生充分感受特殊平行四邊形的定量探究問(wèn)題是通過(guò)轉(zhuǎn)化為三角形，遷移應(yīng)用三角形知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題。模型思想、分類討論、轉(zhuǎn)化化歸思想、方程思想等數(shù)學(xué)思想方法的歸納總結(jié)，幫助學(xué)生有效提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。

[ 參? 考? 文? 獻(xiàn) ]

[1]義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）.

[2]陳鋒，薛鶯認(rèn)知引領(lǐng)關(guān)聯(lián)探究重構(gòu)拓展——單元整體復(fù)習(xí)課的備課經(jīng)歷和思考中學(xué)數(shù)學(xué)參考（中旬）2019（6）.