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    淺談反證法及其應(yīng)用

    2020-03-08 14:19:49譚驥
    關(guān)鍵詞:反證法場(chǎng)合應(yīng)用

    譚驥

    【摘要】本文主要介紹了反證法及反證法的常用場(chǎng)合,本文把反證法的常用場(chǎng)合分為六點(diǎn),分別是:① 命題結(jié)構(gòu)采取否定形式,結(jié)論反面卻是肯定判斷;②有關(guān)唯一性的問題;③ 命題結(jié)論是“至多”“至少”的形式;④ 命題結(jié)論涉及無限集或數(shù)目不確定的對(duì)象;⑤ 某些起始命題;⑥ 命題結(jié)論的反面較結(jié)論本身具體、簡(jiǎn)單,直接證明難以下手時(shí).

    【關(guān)鍵詞】反證法;應(yīng)用;場(chǎng)合

    曾有數(shù)學(xué)家贊揚(yáng)反證法是“數(shù)學(xué)家最精良的武器之一”,它在數(shù)學(xué)證題中確有奇效.應(yīng)該指出的是,多數(shù)題目用直接法證明較為簡(jiǎn)捷.究竟什么類型的數(shù)學(xué)題可用這精良的武器去解決呢?對(duì)“若A則B”一類的數(shù)學(xué)命題,一般都可以用反證法來加以證明,當(dāng)然沒有絕對(duì)的標(biāo)準(zhǔn),但是遇到以下幾類問題時(shí)不妨試一試.

    一、命題結(jié)構(gòu)采取否定形式,結(jié)論反面卻是肯定判斷

    例1?證明:方程x2+y2=1996沒有整數(shù)解.

    分析?根據(jù)題目的意思,我們知道,因?yàn)?996是個(gè)偶數(shù),所以x2,y2必須同為偶數(shù)或同為奇數(shù),所以x,y必須同為偶數(shù)或同為奇數(shù).我們根據(jù)這個(gè)條件去尋找矛盾.

    證明:設(shè)原方程有整數(shù)解,則x,y必須同為偶數(shù)或同為奇數(shù).

    (1)若x,y同為偶數(shù),令x=2m,y=2n,(m,n∈Z)則

    4m2+4n2=1996,即m2+n2=499,①

    滿足①的m,n必須是一個(gè)為偶數(shù),一個(gè)為奇數(shù).

    令m=2m′,n=2n′-1(m′,n′∈Z)代入①得

    4m′2+4n′2-4n′+1=499,

    即4(m′2+n′2-n′)=498.②

    ②的左邊是4的倍數(shù),而右邊不是4的倍數(shù),矛盾,故①不成立,從而原方程沒有偶數(shù)解.

    (2)若x,y同為奇數(shù),令x=2m-1,y=2n-1(m,n∈Z)則

    4(m2+n2-m-n)=1994.③

    ③的左邊是4的倍數(shù),而右邊不是4的倍數(shù),故原方程沒有奇數(shù)解.

    由(1)(2)知,原方程x2+y2=1996沒有整數(shù)解.

    二、有關(guān)唯一性的問題

    例2?兩條直線相交,只有一個(gè)交點(diǎn).

    已知:a,b為兩相交直線.

    求證:a,b只有一個(gè)交點(diǎn).

    證明?假定兩直線a與b不止有一個(gè)交點(diǎn),則至少交于兩點(diǎn).設(shè)這兩個(gè)交點(diǎn)為A,B兩點(diǎn).這就是說,經(jīng)過A,B兩點(diǎn)可以作兩條直線a,b,這和公理“經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線”相矛盾.故原命題成立.兩直線相交,只有一個(gè)交點(diǎn).

    三、命題結(jié)論是“至多”“至少”的形式

    例3?設(shè)△ABC不是正三角形,則在∠A,∠B,∠C中至少有一個(gè)大于60°.

    分析?學(xué)生們?cè)谧鲞@類題的時(shí)候反設(shè)容易出錯(cuò),由題目我們知道,至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60°的意思是:∠A,∠B,∠C中,有一個(gè)不小于60°,或者有2個(gè)不小于60°,或者有3個(gè)不小于60°.那么,它的反面當(dāng)然是有0個(gè)不小于60°,即∠A,∠B,∠C都小于60°.

    證明?假設(shè)∠A,∠B,∠C都是不大于60°的角,則∠A≤60°,∠B≤60°,∠C≤60°.

    從而∠A+∠B+∠C≤180°,

    要使上式的等號(hào)成立,只能是∠A=∠B=∠C=60°.

    于是,依題設(shè)△ABC不是正三角形,從而推出∠A+∠B+∠C<180°.

    這與三角形的三個(gè)內(nèi)角的和為180°相矛盾.

    因此,原命題成立.

    四、命題結(jié)論涉及無限集或數(shù)目不確定的對(duì)象

    例4?證明素?cái)?shù)有無限多個(gè).

    證明?假設(shè)素?cái)?shù)是有限個(gè),則必有最大的素?cái)?shù).記此最大的素?cái)?shù)為p,作n=(2·3·5·7…p)+1.

    n被任一個(gè)素?cái)?shù)除時(shí)它的余數(shù)必等于1,即n除掉1與n外已無其他的約數(shù).因此,n是個(gè)素?cái)?shù)且是比p大的數(shù).但這是與p為最大的素?cái)?shù)相矛盾的,故原命題成立.

    五、某些起始命題

    例5?在同一平面內(nèi)設(shè)有四條直線a,b,c,d.若a與b相交,c⊥a,d⊥b,則c與d也相交.

    證明?假設(shè)c∥d.因?yàn)閍⊥c,所以a⊥d;又因?yàn)閎⊥d,所以a∥b.這與已知條件a與b相交矛盾,故c與d也相交.

    六、命題結(jié)論的反面較結(jié)論本身具體、簡(jiǎn)單,直接證明難以下手時(shí)

    例6?在△ABC中,若tgA,tgB,tgC成等比數(shù)列,求證:△ABC為銳角三角形.

    分析?從題目給我們的已知條件,我們沒法計(jì)算出∠A,∠B,∠C都是小于90度的角,所以我們只能從別的方面入手,因?yàn)閠gA,tgB,tgC成等比數(shù)列,所以我們不妨從這方面進(jìn)行考慮.

    證明?由條件知tg2B=tgA·tgB>0,則A,C均為銳角.設(shè)B為鈍角,即tgB<0,則由tgA+tgC≥2tgA·tgC=2tg2B=-2tgB,得tgA+tgB+tgC≥-tgB>0.

    但另一方面,在任意三角形中,有tgA+tgB+tgC=tgA·tgB·tgC<0.

    這樣就導(dǎo)致矛盾,故假設(shè)不成立,因此,B為銳角,△ABC為銳角三角形.

    七、總?結(jié)

    反證法的用處很大,它不僅應(yīng)用在初等數(shù)學(xué)中,還大量應(yīng)用在高等數(shù)學(xué)中,應(yīng)用反證法要注意以下幾點(diǎn):1.推理過程必須完全正確.2.決不能忽視原命題的題設(shè)條件,否則可能無法推出錯(cuò)誤,或者無法斷定所推導(dǎo)出來的結(jié)論是否是謬論.3.在應(yīng)用反證法時(shí),有時(shí)要做些準(zhǔn)備工作,為應(yīng)用反證法創(chuàng)造條件.4.在否定結(jié)論時(shí),要分析可能有的各種情況,若有兩種或兩種以上的情況,要應(yīng)用窮舉法,不能有遺漏.

    反證法是一種簡(jiǎn)明實(shí)用的數(shù)學(xué)證題方法,也是一種重要的數(shù)學(xué)思想.反證法的獨(dú)特思維方式和證題方法對(duì)提高學(xué)生創(chuàng)造性地分析問題和解決問題的思想素質(zhì)有重要的意義.

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