概率乘法公式教學(xué)研究與實(shí)踐

【摘要】乘法公式是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)系列公式之一，應(yīng)用廣泛，對(duì)此知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)研究有重要意義.本文首先就乘法公式的化繁為簡(jiǎn)思想、一一對(duì)應(yīng)與條件事件逐項(xiàng)增多特點(diǎn)、優(yōu)先發(fā)生原則等四方面展開論述，再進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，此教學(xué)設(shè)計(jì)在多年的課堂實(shí)踐中得到較高評(píng)價(jià).

【關(guān)鍵詞】概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì);乘法公式;教學(xué)設(shè)計(jì);條件概率

【基金項(xiàng)目】廣西重點(diǎn)培育學(xué)科（應(yīng)用數(shù)學(xué)）2016年研究子課題（Sxkczy02）;2015年度廣西民族師范學(xué)院教學(xué)改革研究課題立項(xiàng)項(xiàng)目（JGYB201537）.

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程是大學(xué)理工類、經(jīng)濟(jì)管理類等專業(yè)的一門必修課程，應(yīng)用廣泛，學(xué)好這門課程對(duì)學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí)有重要意義.這門課程中概率計(jì)算的公式很多，如加法公式、減法公式、乘法公式、條件概率公式、全概率公式與貝葉斯公式等，由于公式多，學(xué)生在使用時(shí)容易出現(xiàn)問題.例如，記不住公式，分不清哪個(gè)事件應(yīng)為A、哪個(gè)事件應(yīng)為B，或者用錯(cuò)了公式等.因此，對(duì)這些公式的教學(xué)，需要教師理解透公式的內(nèi)涵實(shí)質(zhì)，教學(xué)時(shí)突出各公式的特點(diǎn)和適用條件，總結(jié)歸納解題的思路、步驟及注意事項(xiàng)等.本文將以乘法公式為例，首先分析公式的四方面特點(diǎn)及教學(xué)重難點(diǎn)，再給出教學(xué)過程設(shè)計(jì)方案，期望能為“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”的授課教師提供參考，也期望學(xué)習(xí)者對(duì)乘法公式有更深的認(rèn)識(shí)與理解，能用乘法公式解決相關(guān)問題.

一、教學(xué)內(nèi)容分析

所謂乘法公式，指的是兩個(gè)及兩個(gè)以上事件乘積的概率計(jì)算公式，它的一般形式為[1]：

P（A1A2…An）=P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）…P（An|A1…An-1）.

從公式中可以看出以下特點(diǎn)：

一是體現(xiàn)分步討論、化繁為簡(jiǎn)的思想[2].所求事件相對(duì)復(fù)雜，不能直接由古典方法求出，并且可以表示成一些事件的乘積形式，則由乘法公式，利用等式右邊分步求解，而等式右邊的每一項(xiàng)可根據(jù)題意得到.

二是具有一一對(duì)應(yīng)特點(diǎn).公式左邊有n個(gè)事件A1，A2，…，An相乘，則公式右邊有n項(xiàng)概率相乘，并且分別對(duì)應(yīng)于A1，A2，…，An的概率，除其中一項(xiàng)外，其他項(xiàng)都是條件概率，并且條件不一樣，這n項(xiàng)分別為P（A1），P（A2|A1），P（A3|A1A2），…，P（An|A1…An-1）.

三是條件事件逐項(xiàng)增多.從公式可以看出，第一項(xiàng)P（A1）沒有條件，第二項(xiàng)P（A2|A1）以A1作為條件，而第三項(xiàng)P（A3|A1A2）以A1A2作為條件，以此類推，作為條件的事件逐項(xiàng)增多.

四是優(yōu)先發(fā)生原則[3].我們看到公式中是多個(gè)事件乘積，從公式的推導(dǎo)過程中可以知道這n個(gè)事件地位是平等的，可以互換位置，但在實(shí)際應(yīng)用中，如果事件發(fā)生有先后順序，應(yīng)以優(yōu)先發(fā)生為原則，因?yàn)槲覀內(nèi)菀椎玫角懊媸录寻l(fā)生的條件下后面事件發(fā)生的概率，比如，從裝有4只紅球5只白球的袋中依次抽取球兩次，做不放回抽樣，求第一次取到紅球第二次取到白球的概率.因?yàn)榈谝淮稳〉郊t球的條件下第二次取到白球的概率容易知道，而第二次取到白球的條件下第一次取到紅球的概率很難求出，因此，應(yīng)該記A1為第1次取到紅球，A2為第2次取到白球，那么所要求的事件為A1A2;如果事件發(fā)生沒有先后順序，那么就要根據(jù)題意考查哪個(gè)事件作為條件更容易計(jì)算.

這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)重點(diǎn)是乘法公式的推導(dǎo)與應(yīng)用，從條件概率的定義導(dǎo)出兩個(gè)事件乘積AB的概率計(jì)算公式，擴(kuò)展到三個(gè)事件乘積ABC的概率計(jì)算公式，進(jìn)一步推廣到多個(gè)事件乘積A1，A2，…，An的概率計(jì)算公式，在這個(gè)過程中要注意強(qiáng)調(diào)公式的一一對(duì)應(yīng)與條件事件逐項(xiàng)增多兩個(gè)特點(diǎn)，便于學(xué)生牢記公式，然后再通過例題和課堂練習(xí)展現(xiàn)乘法公式的廣泛應(yīng)用，在這個(gè)過程中要充分體現(xiàn)出公式的實(shí)質(zhì)是分步討論、化繁為簡(jiǎn);教學(xué)難點(diǎn)是應(yīng)用，在運(yùn)用公式的過程中容易出錯(cuò)，有時(shí)分不清題意是要求條件概率還是乘積概率，或哪個(gè)事件應(yīng)該作為條件，在教學(xué)過程中注意分析題意和根據(jù)優(yōu)先發(fā)生原則來確定事件的順序.

二、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

總的設(shè)計(jì)思路為：“創(chuàng)設(shè)問題情境—確定問題（任務(wù)）—制訂解決方案—嘗試解決問題—發(fā)現(xiàn)新問題—改進(jìn)解決方案—解決問題—拓展問題”，通過創(chuàng)設(shè)情境及確定問題、新知傳授、實(shí)戰(zhàn)演練、精講多練、歸納總結(jié)、課后作業(yè)等6個(gè)環(huán)節(jié)，對(duì)教學(xué)過程進(jìn)行精心設(shè)計(jì)，突破重難點(diǎn)，使其兼具典型性、實(shí)用性、趣味性，同時(shí)將各種問題貫穿在教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)學(xué)習(xí)、自主協(xié)作、學(xué)會(huì)創(chuàng)造、探索創(chuàng)新，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力.

（一）創(chuàng)設(shè)問題情境

創(chuàng)設(shè)如下抽簽情境：精彩足球賽的入場(chǎng)券只有1張，但有5個(gè)人都想要，采用抽簽的方法來決定，于是有人爭(zhēng)著先抽簽，認(rèn)為“先抽的人要比后抽的人抽到的機(jī)會(huì)大”，而組織抽簽者則說“大家不必爭(zhēng)先恐后，你們一個(gè)一個(gè)按次序來，大家抽到‘入場(chǎng)券的機(jī)會(huì)都一樣大”，引出問題：抽中與抽簽順序有無關(guān)系呢？換用概率的語言就是：假設(shè)Ai為第i個(gè)人抽中，那A1，A2，…，Ai的概率是否相等？

這個(gè)環(huán)節(jié)以生活中常碰到的抽簽問題引入，更能引起學(xué)生的關(guān)注，吸引學(xué)生注意力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性與主動(dòng)性.

（二）新知傳授

為解決抽簽問題，引出新知：概率乘法公式.

首先由條件概率推出兩個(gè)事件的乘法公式.

當(dāng)P（A）>0時(shí)，由P（B|A）=P（AB）P（A）得到

P（AB）=P（A）P（B|A），（1）

或者當(dāng)P（B）>0時(shí)，由P（A|B）=P（AB）P（B）得到

P（AB）=P（B）P（A|B）.（2）

以上兩式即為兩個(gè)事件的乘法公式，在實(shí)際應(yīng)用過程中使用公式（1）或者公式（2），可根據(jù)特點(diǎn)四：優(yōu)先發(fā)生原則來確定.

然后由兩個(gè)事件的乘法公式推導(dǎo)出三個(gè)事件的乘法公式

P（ABC）=P（A）P（B|A）P（C|AB）.

進(jìn)一步推廣到n個(gè)事件的乘法公式

P（A1A2…An）=P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）…P（An|A1…An-1）.

在這兩個(gè)環(huán)節(jié)中注意強(qiáng)調(diào)公式的一一對(duì)應(yīng)特點(diǎn)與條件事件逐項(xiàng)增多趨勢(shì)，方便學(xué)生理解與記憶.

（三）實(shí)戰(zhàn)演練

用乘法公式解決抽簽問題，首先設(shè)Ai為第i個(gè)人抽中，計(jì)算P（Ai），i=1，…，5.顯然P（A1）=15，但其他的結(jié)果并不明顯，如計(jì)算P（A3），需要考慮前面兩人抽簽的結(jié)果，此過程比較復(fù)雜，所以要分步把復(fù)雜問題簡(jiǎn)化，因?yàn)榈谌齻€(gè)人抽中意味著前面兩人都沒有抽中，所以有P（A3）=P（A1?A2A3），再運(yùn)用乘法公式

P（A3）=P（A1A2A3）=P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1?A2）=45×34×13=15，可知第3個(gè)人抽中的概率也是15，按這個(gè)方法計(jì)算，得到每一個(gè)抽中的概率均為15，所以抽簽抽中的概率與先后順序無關(guān).在這個(gè)環(huán)節(jié)中要充分強(qiáng)調(diào)分步討論與化繁為簡(jiǎn)的思想.

（四）精講多練

此環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)一道例題和至少一道練習(xí)，通過例題使學(xué)生進(jìn)一步理解乘法公式的特點(diǎn)及應(yīng)用，通過練習(xí)學(xué)生容易把新知內(nèi)化.

例1?第一、第二車間共同生產(chǎn)5 000個(gè)零件，其中1 500個(gè)是第一車間生產(chǎn)的.而在這1 500個(gè)零件中，有500個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件，現(xiàn)從這5 000個(gè)零件中任取一個(gè)，問這個(gè)零件是第一車間生產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少？

分析?題目中涉及零件是第一或第二車間生產(chǎn)以及零件是標(biāo)準(zhǔn)件或不是標(biāo)準(zhǔn)件，因此，設(shè)A={零件是第一車間生產(chǎn)}，B={零件是標(biāo)準(zhǔn)件}，注意分析所求問題：零件是第一車間生產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)件應(yīng)該表示為AB，而不是（B|A），因?yàn)橛深}意知道P（B|A）=5001 500，所以利用乘法公式（1）P（AB）=P（A）P（B|A）=1 5005 000×5001 500=0.1即為所求.

練習(xí)1?波利亞罐子模型：罐中有b個(gè)白球和q個(gè)紅球.隨機(jī)地抽取一個(gè)球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進(jìn)c個(gè)同色球與d個(gè)異色球.再進(jìn)行第二次抽取，并反復(fù)地做下去，問題：依次取球四次，求前兩次取到白球后兩次取到紅球的概率.

解?設(shè)Ai為第i（i=1，2，3，4）次取到白球，則所求事件可以表示為A1A2A3?A4，運(yùn)用公式得

P（A1A2 A3?A4）=P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）P（A4|A1A2 A3）

=bb+q×b+cb+q+c+d×q+2db+q+2c+2d×q+3db+q+3c+3d.

（五）歸納總結(jié)

此環(huán)節(jié)以學(xué)生為主，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)，重點(diǎn)突出公式的四個(gè)特點(diǎn)及解題的步驟：根據(jù)題意用恰當(dāng)字母表示事件—把所求事件表示成所假設(shè)事件的乘積—運(yùn)用乘法公式求解.

（六）課后作業(yè)

可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況適當(dāng)布置1～3道書面作業(yè)題，要求學(xué)生按解題步驟規(guī)范書寫.

例如，① 袋中有一個(gè)白球與一個(gè)黑球，現(xiàn)每次從中取出一球，若取出白球，則除把白球放回外再加進(jìn)一個(gè)白球，直至取出黑球?yàn)橹?求取了n次都未取出黑球的概率.

② 一批零件共有100個(gè)，其中有10個(gè)不合格品.從中一個(gè)一個(gè)地取出，求第三次才取得不合格品的概率是多少.

三、結(jié)束語

目前高校課程改革的一個(gè)特點(diǎn)是減少課內(nèi)授課課時(shí)，增加第二課堂的課時(shí)，在這樣的環(huán)境下想要取得好的教學(xué)效果，需要教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容展開研究，精心設(shè)計(jì)每一節(jié)課，并且最好能以微課形式記錄[4]下來.針對(duì)乘法公式這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，筆者以本文的教學(xué)設(shè)計(jì)為框架，錄制成微課參加2016年全國高校數(shù)學(xué)微課程教學(xué)設(shè)計(jì)競(jìng)賽，獲得了華南賽區(qū)一等獎(jiǎng)，平時(shí)的課堂實(shí)踐中也按此教學(xué)設(shè)計(jì)開展教學(xué)，取得了較好的教學(xué)效果.

【參考文獻(xiàn)】

[1]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]李真.淺談《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》中乘法公式的教學(xué)體會(huì)[J].大眾科技，2017（3）：82-84.

[3]鄭長(zhǎng)波.條件概率系列公式的學(xué)習(xí)技巧[J].沈陽師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2006（4）：396-398.

[4]黃月蘭.概率統(tǒng)計(jì)微課教學(xué)設(shè)計(jì)的研究與實(shí)踐[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2018（23）：14-15.