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    品異曲同工之妙嘵思想方法之恒

    2020-03-08 14:43:02顧云霞
    初中生世界·八年級 2020年2期
    關鍵詞:異曲同工消元關系式

    顧云霞

    我們仔細研讀中考題,會發(fā)現(xiàn)有些是一類經典題型的變形,出題人改變問題背景、條件、圖形等,將一些重要的思想方法巧妙地編織在題型中,從而達到“異曲同工之妙,思想方法之永恒不變”的效果。下面我們就來體驗一下2019年無錫中考的第16題,感受一下“型之異,魂之恒,法之妙”。

    例題 (2019·江蘇無錫)已知一次函數y=kx+b的圖像如圖1所示,則關于x的不等式3kx-b>0的解集為____。

    【解析】由圖像可知:k<0,b<0,一次函數y=kx+b交x軸于點(-6,0),代入得-6k+b=0,化簡得b=6k;再代入3kx-b>0得3kx-6k>0,由k<0求得答案為x<2。

    【點評】本題主要考查利用數形結合思想,得出一次函數與一元一次不等式的關系。具體地說,就是由函數圖像上的“形”能得出哪些“數”上的關系式,再結合問題目標分析數據,運用條件解決問題。就圖像上唯一的定點(-6,0),我們通常會將它代入函數關系式得到k、b的關系式,而要由它求出解集,自然又會想到消元思想。將之代入不等式消元,在解不等式的最后一步時,我們只能再回到圖形中去確定“k<0”這一隱含條件,最終得解。這些自然推理便是數形結合思想和消元思想的運用——魂之恒。

    【聯(lián)想】(2015.江蘇徐州)若函數y=kx-b的圖像如圖2所示,則關于x的不等式k(x-3)-b>0的解集為( )。

    A.x<2 B.x>2 C.x<5 D.x>5

    【解析】∵一次函數y=kx-b經過點(2,0),∴2k-b=0,b=2k;代入不等式k(x-3)-b>0,移項得:kx>3k+2k,即kx>5k;由圖像知:k<0,∴解集為x<5。故選:C。

    【點評】本題與上題有異曲同工之妙。不同的是,此題還可用整體思想求解:令t=x-3,則關于x的不等式k(x-3)-b>0的解集可變?yōu)橄惹箨P于t的不等式kt-b>0的解集。而由一次函數y=kx-b的圖像可直接看出不等式kt-b>0的解集為t<2,即x-3<2,解得x<5。這真是“型之異”后的“法之妙”?。?/p>

    【變型】(2018·江蘇徐州)若函數y=kx+b的圖像如圖3所示,則關于x的不等式kx+2b<0的解集為( )。

    A.x<3 B.x>3 C.x<6 D.x>6

    【解析】由圖像可知:一次函數y=kx+b經過點(3,0),且k<0,b>0。將點代入解析式可得3k+b=0,則b=-3k?!遦x+26<0,∴ kx-6k<0,即kx<6k。又∵k<0,∴x>6。故選:D。

    【亮點】本題亦能體現(xiàn)出異曲同工之妙,但還有一個妙法:可將kx+2b<0轉化為kx+b<-b,它的解集也就是一次函數y=kx+b的圖像在直線y=-b圖像的下方時所對應的x的取值范圍,如圖4所示。由圖像可看出解集為x>a(a>3),因此答案只能選D。

    通過這類中考題的體驗,我們感受到在學習函數時要重視數形結合思想、轉化思想、整體思想和消元等思想的綜合運用,讓“數”插上翅膀,讓“形”更具形象,讓“法”更加奇妙,讓“數學思想之魂”永恒不變,從而快捷簡便地解決數學問題。

    同類練習:

    1.(2019·山東濱州)如圖5所示,直線y=kx+bk<0)經過點A(3,1),當kx+b<1/3x時,x的取值范圍為______。

    2.(2014.湖北鄂州)如圖6所示,直線y=kx+b過A(-1,2)、B(-2,0)兩點,則0≤kx+6≤-2x的解集為____。

    參考答案:1.x>3;2.-2≤x≤-1。

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