求解非線性方程的4階收斂的無導(dǎo)數(shù)迭代法*

范倩楠,王曉鋒

(渤海大學(xué))

0 引言

多點(diǎn)迭代法是解非線性方程的一類有效方法.近年來，有許多高效方法被提出[1-5]，其中無導(dǎo)數(shù)多點(diǎn)迭代求解法就是一種常見且簡易的求解方法，史蒂芬森法是最經(jīng)典的無導(dǎo)數(shù)迭代法[6]，其格式如下：

(1)

史蒂芬森法是2階收斂的，且在每次迭代過程中需要計(jì)算2個(gè)函數(shù)值.

定義2[7]若迭代法在每次迭代過程中需計(jì)算的函數(shù)值總數(shù)為n，并且迭代法的收斂階數(shù)為2n-1，則該收斂階數(shù)為迭代法的最優(yōu)收斂階數(shù)，簡稱最優(yōu)階．

1 新的4階收斂的無導(dǎo)數(shù)兩步迭代法

構(gòu)造格式如下：

(2)

其中zk=xk+f(xk).

定理設(shè)f(x):I→R在開區(qū)間I內(nèi)具有5階導(dǎo)數(shù)，如果a∈I是f(x)=0的單根，且x0充分靠近a，則式(2)的收斂階為四階，其誤差表達(dá)式為

(3)

證明設(shè)ek=xk-a,ez=zk-a,ey=yk-a.

利用Taylor展開式將函數(shù)f(x)在零點(diǎn)a處展開，并令x=xk，可得

(4)

(5)

與式(4)類似，利用Taylor展開式，將函數(shù)f(x)在零點(diǎn)a處展開，并令x=zk，可得

(6)

f′(a)(2c2c3f′(a)+c4(2+2f′(a)+

(7)

由式(2)-式(5)，可得

(8)

利用Taylor展開式，將函數(shù)f(x)在零點(diǎn)a處展開，并令x=yk，可得

f′(a)3)-c2c3(7+10f′(a)+7f′(a)2+

(9)

同理得

(10)

(11)

利用式(2)-式(9),可得誤差表達(dá)式為

ek+1=xk+1-a=yk-a-

(12)

2 數(shù)值結(jié)果

為了驗(yàn)證迭代法的收斂性，將新的4階收斂的無導(dǎo)數(shù)兩步迭代法(2)與牛頓迭代法 (NM)[8]、史蒂芬森方法 (ST)[6]、King方法 (K4)[9](當(dāng)β=1時(shí))，以及Ostrowski方法(O4)[10]進(jìn)行比較.實(shí)驗(yàn)運(yùn)行環(huán)境為Windows 10，Matlab 7.0編程，數(shù)值結(jié)果見表1，其中：x0為初始值；a為非線性方程的根； |xk-a|(k=1,2,3)為絕對(duì)誤差的絕對(duì)值；|f(xk)|為最后一次迭代所得近似解函數(shù)值的絕對(duì)值；ρ[7]為近似計(jì)算收斂階，其計(jì)算公式為

數(shù)值試驗(yàn)中使用如下3個(gè)測(cè)試函數(shù)：

(1)f1(x)=x5+x4+2x2-15,

a≈1.347428098968305,x0=1.4;

a≈2.278862660075828,x0=2.0;

(3)f3=10xe-x2-1,a≈1.679630610428,x0=1.8.

表1 函數(shù)f i(x)(i=1,2,3)的數(shù)值結(jié)果