基于壓縮感知的頻域OCT圖像稀疏重構(gòu)

陳明惠，王 帆，張晨曦，李福剛，鄭 剛

(1. 上海理工大學 生物醫(yī)學光學與視光學研究所 教育部現(xiàn)代微創(chuàng)醫(yī)療器械及技術(shù)工程研究中心 上海介入醫(yī)療器械工程技術(shù)研究中心，上海 200093；2. 上海奧普生物醫(yī)藥有限公司，上海 201203)

1 引 言

光學相干斷層掃描(Optical Coherence Tomography,OCT)成像技術(shù)利用寬帶光源的低相干特性，以非侵入、無損傷的方式進行斷層成像，已廣泛應用于醫(yī)學診斷和研究[1-2]。頻域OCT技術(shù)因其高靈敏度和高速性漸漸取代傳統(tǒng)時域OCT技術(shù)，但是擁有這些優(yōu)點的同時意味著后續(xù)數(shù)據(jù)采集和處理系統(tǒng)的造價更高且負擔更重[3]；同時，該成像技術(shù)需要對病變部位進行反復多角度多層次的深度掃描以獲得大量高分辨率圖像，高分辨率必然伴隨著高數(shù)據(jù)量，同時在對眼底部位進行成像時，眼球的抖動會造成運動模糊，所以迫切需要一種能降低硬件系統(tǒng)存儲和傳輸代價且花費時間較少并獲得較高圖像質(zhì)量的方式。

2006年，Donoho[4]，E Candes[5-6]及華裔科學家Tao[7]等人提出了一種新的信息采集方式，即壓縮感知(Compressive Sensing，CS)理論。CS技術(shù)表明，如果信號(圖像)本身是稀疏的，或能在某個稀疏集上進行稀疏表示，則通過一定的測量矩陣進行測量，加以選取適當?shù)膬?yōu)化算法，在獲得少量測量值的基礎上，能對原始信號進行有效地恢復重構(gòu)[8]。研究高性能的恢復重構(gòu)算法是CS領域的一個熱點，目前優(yōu)化算法主要分為貪婪算法、凸優(yōu)化算法和非凸算法三類[9]。研究者們在匹配追蹤算法(Matching Pursuit，MP)的基礎上獲得了更多的貪婪算法，Wei等人[10]提出的SAMP(Sparsity Adaptive Matching Pursuit)重構(gòu)算法通過更新支持集并逐漸增加稀疏度來逼近原始信號，實現(xiàn)了稀疏度未知的信號重構(gòu)，但重構(gòu)精度不夠高，重構(gòu)后SNR最高僅為25 dB左右；Chen等人[11]利用小波變換獲得圖像的稀疏表示，使用改進的最佳正交匹配追蹤算法完成MRI圖像的重構(gòu)，但算法計算效率不高，算法運行時間約為26 s；Ma等人[12]提出一種變步長SAMP算法，在一定程度上提高了重構(gòu)精度，但引入分塊思想后，圖像重構(gòu)出現(xiàn)明顯的人為噪聲，導致重構(gòu)質(zhì)量下降；石昊蘇等人[13]采用共軛梯度算法替換OMP算法中的最小二乘法求取估計值進行超聲圖像的重構(gòu)，提高了重構(gòu)質(zhì)量，但PSNR值僅達到13.75 dB，算法運行時間約為16.6 s。第二類凸優(yōu)化算法通過將非凸問題轉(zhuǎn)換成凸問題進行求解，Qu等人[14]將基追蹤算法和非均勻快速傅立葉變換技術(shù)相結(jié)合，實現(xiàn)了觀測場景的成像重構(gòu)，提高了成像質(zhì)量，但算法運行時間約為39 s，算法計算復雜度高，應用范圍受限；鄭萬澤等人[15]基于Contourlet變換，采樣改進梯度投影算法(Gradient Projection for Sparse Reconstruction，GPSR)恢復稀疏處理后的系數(shù)，實現(xiàn)了二維Lena和Barbara圖像的重構(gòu)，采樣率為0.5時重構(gòu)圖像的PSNR值僅為30 dB左右且算法實時性較差。第三類非凸算法通過改變目標函數(shù)求解優(yōu)化問題，該類算法克服了基追蹤算法中的計算量大問題，同時可以采用比正交匹配追蹤算法少的測量值達到同樣的重建效果，主要以FOCUSS算法[16]和稀疏貝葉斯學習[17]為代表。

上述文獻中改進的壓縮感知重構(gòu)算法在保證算法的實時性以及圖像最終重構(gòu)質(zhì)量之間總是存在矛盾，算法運行速度最快約為17 s，PSNR值最高為30 dB。為了在一定程度上實現(xiàn)頻域OCT圖像重構(gòu)效率和重構(gòu)質(zhì)量之間的平衡，本文以非凸算法中的FOCUSS算法為基礎進行改進，改進后算法運行時間僅耗時約2 s，PSNR值均在37 dB以上，具體從兩方面進行，一是根據(jù)頻域OCT圖像特點，結(jié)合分塊思想降低圖像的數(shù)據(jù)量，引入lp范數(shù)簡化運算過程，提高算法運行速度；二是從提高圖像重構(gòu)質(zhì)量進行考慮，對圖像進行分塊會造成嚴重的塊效應，因此在每次迭代求解過程中嵌入各向異性平滑濾波算子，抑制圖像塊效應，提高圖像質(zhì)量，實驗結(jié)果表明，壓縮感知技術(shù)可成功應用于頻域OCT圖像，且改進的壓縮感知重構(gòu)算法在頻域OCT圖像重構(gòu)中能花費較短的時間獲得較高的重構(gòu)質(zhì)量。

2 算法原理

2.1 壓縮感知

傳統(tǒng)的信號獲取需滿足采樣頻率大于兩倍信號最高頻率的Nyquist采樣定理。而CS利用圖像(信號)的稀疏性，以遠低于傳統(tǒng)采樣方法獲取的數(shù)據(jù)量便可完成初始信號的完整恢復，突破了傳統(tǒng)采樣定理的限制[4-8]，因此本文將壓縮感知技術(shù)引入應用到頻域OCT圖像的重構(gòu)上，下面將介紹CS理論的三個組成部分。

(1)稀疏表示

信號的稀疏表示是應用壓縮感知的前提，假設φi是RN空間的一組向量基，構(gòu)成基矩陣Ψ=[φ1,φ2，...，φN]，則對于任意的頻域OCT圖像x∈RN均可表示為：

(1)

式中：α是x在Ψ域的稀疏表示，若α中非零元數(shù)目比x少得多，則稱信號x是稀疏的。常見的稀疏變換基有DCT，DWT(Discrete Wavelet Transform)，DDWT(Discrete Dyadic Wavelet Transform)，Curvelet以及冗余字典基等，在下文仿真實驗中選擇DCT基獲得頻域OCT圖像的稀疏表示。

(2)觀測矩陣

壓縮感知理論指出，若采用一個與稀疏變換基Ψ不相關(guān)的測量矩陣Φ∈RM×N，對頻域OCT圖像x進行投影得到觀測值y，則可以通過求解優(yōu)化問題高概率精確地重構(gòu)出x，表達式為：

y=Φx=ΦΨα，

(2)

式中：A=ΦΨ為傳感矩陣，要求測量矩陣Φ和稀疏變換基Ψ不相關(guān)，即在較高概率上滿足約束等距性條件，常見的觀測矩陣分為兩類，確定性矩陣和隨機矩陣，本文在仿真實驗中選擇第二類高斯隨機矩陣對頻域OCT圖像進行觀測。

(3)重構(gòu)算法

對式(2)求解可轉(zhuǎn)化為式(3)：

(3)

求解上述l0范數(shù)是NP難解問題，需要列出α中所有非零項位置的線性組合才有可能得到精確解，計算過程復雜且不易實現(xiàn)。因此常將該問題轉(zhuǎn)換為其他替代模型進行求解。常用的重構(gòu)算法有三類，本文利用第三類非凸算法中的改進FOCUSS重構(gòu)算法進行求解，接下來將詳細闡述該改進算法的原理及實現(xiàn)。

2.2 改進重構(gòu)算法

利用CS可實現(xiàn)對傳統(tǒng)二維圖像的重構(gòu)，但此方法是對整幅圖像進行重構(gòu)，觀測矩陣所需的存儲空間大，重構(gòu)時間長。為了解決這個問題，本文提出分塊FOCUSS重構(gòu)算法，根據(jù)頻域OCT圖像特點，將圖像分塊理論和FOCUSS重構(gòu)算法相結(jié)合。具體做法是先將一幅大小為N×N的OCT圖像x分成n個B×B大小的圖像塊，設xi(i=1,2,...,n,n=(N/B)2)是第i個圖形塊的列向量形式，采用相同的高斯觀測矩陣ΦB，則對第i塊進行壓縮采樣可表示為：

yi=ΦB·xi.

(4)

本文中壓縮觀測矩陣ΦB大小為nB×B2。

傳統(tǒng)FOCUSS算法中由于偽逆的存在，往往導致能量分散，無法獲得精確的稀疏解[18]。將lp范數(shù)作為正則項引入到FOCUSS算法中，通過逐步迭代使解的能量局部化。對每一塊分別應用FOCUSS算法，設置p=1，用以簡化運算過程，即求解以下優(yōu)化問題:

(5)

使用拉格朗日方法將上式中約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為非約束優(yōu)化問題，其中，拉格朗日函數(shù)被定義為:

L(xi,λ)=f(xi)+λT(ΦBxi-yi)，

(6)

式中λ=(λ1,λ2,...,λmB)T構(gòu)成拉格朗日乘數(shù)。

(7)

(8)

為了找到目標函數(shù)的梯度，將矩陣Ψ分解為其行向量φi得到:

(9)

分解之后，目標函數(shù)表示為：

(10)

目標函數(shù)相對于的xi的梯度為：

(11)

目標函數(shù)相對于元素xj的偏導數(shù)為:

(12)

使用因子形式表示目標函數(shù)的梯度向量即:

經(jīng)過半年多的運轉(zhuǎn)，浮選車間運行狀況穩(wěn)定。浮選精煤灰分控制在8%以內(nèi)，三班工作制，每班精煤壓濾機可卸3～4個循環(huán)，按每個循環(huán)8 t計，則每天可生產(chǎn)浮選精煤80 t左右。每月可多洗精煤約2 500 t，按當時精煤價格1 300元/t測算，每月可增加效益近350萬元。經(jīng)測算，實際運行4個月后，已收回投資成本。

(13)

式中Π(xψ)=diag(|xψ|-1)是大小為n×n的對角矩陣且xψ=Ψxi。

參考式(8)和式(13)，得出:

(14)

參考式(5)，得出:

(15)

綜合式(7)，式(14)，式(15)，穩(wěn)定點滿足如下兩個表達式:

(16)

(17)

(18)

將式(18)代入式(17)，得出:

(19)

將式(20)代入式(19)，得出:

(20)

定義Aψφ=(ΦBΨ-1)，經(jīng)過簡單的轉(zhuǎn)換，將(20)寫成:

(21)

(22)

(23)

通過修改拉格朗日函數(shù)來調(diào)整松弛方法以找到迭代解，得到如下方程:

(24)

(25)

對所有的小圖像塊進行相同的處理，再把得到的圖像塊加以組合就完成了整幅頻域OCT圖像的重構(gòu)。本文的算法流程圖如圖1所示。

圖1 改進的分塊壓縮感知FOCUSS重構(gòu)算法流程圖

3 仿真實驗與結(jié)果

本文選擇兩種頻域OCT圖像進行仿真實驗，其中指尖圖像來自實驗室Thorlabs公司VEGA系列的SS-OCT成像系統(tǒng)，光源中心波長為1 310 nm，穿透深度為12 mm，軸向分辨率為16 μm，掃頻速率為100 kHz，系統(tǒng)靈敏度為101 dB。眼底圖像來自杜克大學眼科實驗數(shù)據(jù)采集中心[19]，成像儀器是德國海德堡公司的Spectralis SD-OCT系統(tǒng)，光源中心波長為870 nm，穿透深度為1.8 mm?？v向分辨率和橫向分辨率分別為3.8 μm和14 μm。實驗室采集到的SS-OCT指尖圖像為455×512 pixel的RGB圖像，圖像細節(jié)較少，整體較平坦。杜克大學數(shù)據(jù)庫中的SD-OCT眼底圖像為496×512 pixel的灰度圖像，圖像細節(jié)較豐富。為了方便對其進行分塊處理，均將圖像大小調(diào)整為512×512 pixel。

3.1 評價指標

為了驗證本文算法能否有效重構(gòu)頻域OCT圖像，除了直接從人眼視覺效果評價重構(gòu)圖像質(zhì)量，同時采用峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio，PSNR)，用RPSNR表示，結(jié)構(gòu)相似性(Structural Similarity Index，SSIM)，用MSSIM表示，取值范圍0-1，以及重構(gòu)時間t定量評價算法的重構(gòu)性能。RPSNR值越大，表明與完整采樣圖像相比，重構(gòu)圖像與之越接近，重構(gòu)效果越好，重構(gòu)精度越高；MSSIM值越大，表明重構(gòu)圖像保留了越多的原始完整采樣圖像中的信息，重構(gòu)圖像質(zhì)量越好；重構(gòu)時間t越小，算法的重構(gòu)效率越高。

3.2 實驗結(jié)果分析

本文中所有實驗在64位Windows10系統(tǒng)下利用軟件MATLAB R2018a進行，采樣率(Sampling Rate，SR)是重構(gòu)過程中采樣值大小z與原始信號x大小的比值，首先對實驗室采集到的指尖OCT圖像進行壓縮感知重構(gòu)處理，利用DCT基對原始圖像稀疏表示，采用高斯隨機矩陣對圖像進行觀測，并運用5種優(yōu)化算法對指尖圖像進行恢復重構(gòu)。圖2給出SR為0.3，分塊大小為8×8時原始FOCUSS重構(gòu)算法、當前的主流分塊重構(gòu)算法-平滑投影算法(SPL)以及改進FOCUSS重構(gòu)算法的恢復效果以及局部細節(jié)對比圖。

據(jù)圖2可知，當圖像采樣率SR為0.3，分塊大小為8×8時，改進FOCUSS重構(gòu)算法對OCT指尖圖像進行重構(gòu)后能夠獲得更好的視覺重構(gòu)效果，圖像細節(jié)保持完整，圖像邊緣處容易分辨，與原圖更接近。圖2(b)表明直接運行原始FOCUSS重構(gòu)算法得到的重構(gòu)圖像有一定程度的信息缺失，圖像的邊緣處不光滑；從圖2(c)～圖2(e)可以看出3種主流的圖像壓縮感知分塊算法對圖像進行重構(gòu)后，重構(gòu)圖像的細節(jié)存在明顯的邊界效應；通過圖2(f)可以得出改進的FOCUSS算法顯著改善了圖像塊效應，獲得的重構(gòu)圖像細節(jié)清晰，輪廓明顯，滿足人眼視覺要求，成功將壓縮感知技術(shù)應用到掃頻OCT系統(tǒng)產(chǎn)生的指尖圖像上，本文算法重構(gòu)細節(jié)較少，畫面平坦的彩色圖像效果較好。

為了便于定量比較實驗結(jié)果，將采樣率固定為0.3，重復試驗10次，取平均值作為最終仿真結(jié)果值，表1給出原始FOCUSS算法、使用3種不同稀疏變換基(DCT，DWT，DDWT)的分塊平滑投影重構(gòu)算法以及改進FOCUSS算法對指尖OCT圖像的壓縮感知重構(gòu)客觀評價指標值。

圖2 采樣率為0.3時不同算法重構(gòu)效果及局部細節(jié)圖

表1SR為0.3時各算法對指尖圖像的重構(gòu)結(jié)果

Tab.1 Reconstruction results of fingertip images by each algorithm when the SR is 0.3

算法PSNR/dBSSIMt/s原始FOCUSS35.340.878 778.65分塊SPL-DCT35.010.825 68.64分塊SPL-DWT35.660.853 113.79分塊SPL-DDWT36.040.865 710.72改進FOCUSS37.710.938 31.89

據(jù)表1可知，與原始FOCUSS算法相比，改進FOCUSS算法對圖像進行重構(gòu)后提高了圖像質(zhì)量，PSNR值約高出2 dB，SSIM值提高到0.938 3，并且對圖像進行分塊后大大降低了算法運行時間，算法運行僅花費1.89 s，提高了算法運行效率，算法實時性強；與同樣結(jié)合了分塊思想的SPL算法相比，改進FOCUSS算法不僅改善了圖像的塊效應，能獲得更高的PSNR值和SSIM值，重構(gòu)圖像質(zhì)量高，與原始完整采樣OCT指尖圖像更接近且保留了圖像中的大部分信息，而且算法運行花費時間更短，說明該算法計算復雜度更低，運算效率高，更易推廣使用。同時，為了說明本文算法的普遍性，另外進行了4組仿真實驗，將圖像分塊大小分別固定為8×8，16×16，32×32，64×64 4種情況，仿真獲取SR分別為0.1，0.2，0.3，0.4和0.5時5種算法對指尖圖像的重構(gòu)結(jié)果圖和客觀評價指標值，實驗圖和數(shù)據(jù)均表明，當圖像分塊大小為8×8，16×16，32×32時，采樣率大于0.2時，改進的壓縮感知重構(gòu)算法較以往算法能獲得重構(gòu)速度和重構(gòu)精度的平衡，是具有一定優(yōu)勢的改進算法。

上述仿真采用的指尖圖像細節(jié)較少，為了進一步說明本文算法的有效性，同時具體分析采樣率與OCT圖像重構(gòu)質(zhì)量的關(guān)系，隨機選取一張眼底OCT切片，切片圖像的細節(jié)較豐富，將采樣率分別設置為0.1，0.2，0.3，0.4和0.5，圖3～圖7給出了當采樣率為0.1，0.3和0.5時各算法對完整采樣眼底OCT圖像的重構(gòu)結(jié)果。據(jù)五組圖可以看出，隨著采樣率的增加，重構(gòu)圖像的細節(jié)、輪廓越來越清晰，視覺效果越來越好，與原始完整采樣圖像越來越接近。據(jù)圖3～圖7(b)可知當采樣率為0.1時，各算法都不能很好地重構(gòu)原始完整采樣圖像，圖像信息缺失嚴重，圖像邊緣位置無法確定，圖像視覺效果差；據(jù)圖3～圖7(c)和圖7(d)可知，隨著采樣率增加至0.3以上時，重構(gòu)后的圖像更加清晰，邊緣細節(jié)保持完整，邊緣處較為光滑，圖像輪廓基本保持良好，能獲得較高的圖像質(zhì)量，容易分辨各視網(wǎng)膜層，與原始完整采樣圖像更接近，從視覺效果看并無明顯差別。所以采用壓縮感知技術(shù)可以用較少的采樣數(shù)據(jù)量精確重構(gòu)出譜域OCT系統(tǒng)產(chǎn)生的原始眼底OCT圖像，本文算法對細節(jié)豐富的灰度圖像的重構(gòu)效果也較好，適用范圍較大。

圖3 原始FOCUSS算法重構(gòu)結(jié)果

圖4 分塊SPL-DCT算法重構(gòu)結(jié)果

圖5 分塊SPL-DWT算法重構(gòu)結(jié)果

圖6 分塊SPL-DDWT算法重構(gòu)結(jié)果

圖7 改進FOCUSS算法重構(gòu)結(jié)果

為了直觀反映重構(gòu)算法的重構(gòu)性能和采樣率的關(guān)系，圖8給出了不同采樣率下各算法對眼底OCT切片圖像重構(gòu)后的客觀評價指標值變化曲線圖?？梢钥闯鲭S著采樣率的增加，各算法對圖像的重構(gòu)效果越來越好，重構(gòu)質(zhì)量越來越高，重構(gòu)時間并沒有大幅度變化，重構(gòu)性能越來越好。據(jù)圖8(a)可知，在采樣率為0.1和0.2時，各算法對圖像重構(gòu)后的PSNR值均在36 dB以下，重構(gòu)質(zhì)量不高，但是隨著采樣率增加至0.3以上時，本文改進的結(jié)合了分塊思想的FOCUSS重構(gòu)算法的PSNR值迅速高于其他4種對比算法，圖像重構(gòu)精度高；從圖8(b)可以看出改進的FOCUSS算法的SSIM值始終高于其他算法，對圖像進行重構(gòu)后保留了圖像中的大部分有用信息，圖像重構(gòu)質(zhì)量高。圖8(c)則可以看出原始FOCUSS重構(gòu)算法的重構(gòu)時間均在75 s以上，算法重構(gòu)效率不高，而改進的算法則將重構(gòu)時間控制在2 s以下，算法運行時間也遠遠低于3種SPL算法，優(yōu)勢顯著，性能良好，綜合來看，改進重構(gòu)算法能同時獲得較高的圖像重構(gòu)質(zhì)量和重構(gòu)效率。

本文改進的壓縮感知FOCUSS重構(gòu)算法結(jié)合了圖像分塊思想，為了進一步分析分塊大小對頻域OCT圖像重構(gòu)質(zhì)量和重構(gòu)效率的影響，本文將采樣率固定為0.5，將圖像塊大小分別設置為8×8，16×16，32×32，64×64對眼底圖像進行改進壓縮感知重構(gòu)算法的仿真實驗，重復10次，取平均值，最終結(jié)果如表2所示。

圖8 5種算法在不同采樣率下的PSNR值、SSIM值以及重構(gòu)時間

表2 改進FOCUSS算法在不同分塊大小下的仿真結(jié)果

Tab.2 Simulation results of improved FOCUSS algorithm under different block sizes

PSNR/dBSSIMt/s8×842.470.964 11.9616×1642.290.961 52.1632×3241.840.956 84.6164×6440.990.946 553.45

據(jù)表2可知，隨著OCT圖像分塊大小的增加，算法的運行時間加長，重構(gòu)效率降低，算法實時性變差，這是由于高斯隨機觀測矩陣對各個塊圖像進行測量是同時進行的，前一個圖像塊對后一個圖像塊沒有依賴性，圖像分塊越大，觀測矩陣越大，系統(tǒng)的存儲代價越大，算法復雜度越高。從PSNR值和SSIM值的變小可以看出圖像重構(gòu)后圖像質(zhì)量有小幅度降低，這是由于本文處理的OCT圖像并不是標準測試圖像，自身不可避免含有散斑噪聲，并且在算法迭代過程中結(jié)合了各向異性平滑濾波算法，圖像塊尺寸越小，邊緣平滑得越好，散斑也得到抑制。綜合來看，當圖像分塊大小為8×8時，重構(gòu)圖像的PSNR值高達42.47 dB，SSIM值高達0.964 1，接近于1，算法運行僅耗時1.96 s。所以綜合來看，頻域OCT圖像分塊大小為8×8時，在圖像進行重構(gòu)后可以同時獲得較高的重構(gòu)質(zhì)量和重構(gòu)效率。

4 結(jié) 論

本文首先介紹了壓縮感知的基本框架，通過分析頻域OCT圖像特點，成功將壓縮感知技術(shù)引入到頻域OCT圖像稀疏重構(gòu)上。通過對細節(jié)豐富程度不同的兩種頻域OCT圖像在不同采樣率下及不同分塊大小的仿真實驗得出，本文提出的改進FOCUSS重構(gòu)算法通過結(jié)合分塊思想、引入正則項lp范數(shù)以及在算法迭代求解過程中嵌入各向異性濾波算子，不僅降低了計算復雜度，同時有效抑制了重構(gòu)圖像的塊效應，提高了圖像質(zhì)量，對OCT圖像進行壓縮感知重構(gòu)后能獲得更好的視覺效果以及更短的計算時間，本文算法適應范圍較廣。通過進一步仿真得到當圖像分塊大小為8×8時能同時獲得較高的重構(gòu)質(zhì)量和重構(gòu)速度，PSNR值高達42.47 dB，遠高于文獻14中的30 dB，SSIM值可達到0.964 1，重構(gòu)時間僅花費1.96 s，比文獻12中的運行時間16.6 s要快得多，本文改進的壓縮感知重構(gòu)算法在一定程度上實現(xiàn)了重構(gòu)效率和重構(gòu)精確度的平衡，具有一定的優(yōu)勢。