圓錐曲線的切線問(wèn)題研究

四川省宜賓市興文縣第二中學(xué) 肖 翔

過(guò)圓錐曲線上一點(diǎn)作切線，并求其切線方程，是學(xué)生在學(xué)習(xí)圓錐曲線知識(shí)的過(guò)程中一個(gè)頭疼的問(wèn)題。學(xué)生在代入過(guò)程中容易犯錯(cuò)，同時(shí)計(jì)算過(guò)程也容易出錯(cuò)。針對(duì)圓錐曲線的切線問(wèn)題，需要總結(jié)出規(guī)律，以便學(xué)生在高考中能輕松應(yīng)對(duì)，提高解決圓錐曲線的題型的能力。

一、橢圓的切線問(wèn)題

過(guò)橢圓上一定點(diǎn)作橢圓的切線方程與過(guò)橢圓外的一點(diǎn)作橢圓的兩條切線的切線弦。

1.過(guò)橢圓上的一點(diǎn)作橢圓的切線

解：當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程為y=kx+m，

代入橢圓方程得（b2+a2k2)x2+2kma2x+a2（m2-b2)=0，

當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程同樣滿足上式。

2.過(guò)橢圓外一點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)弦直線方程

解：設(shè)兩切點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1,y1)，B(x2,y2)，

∴此直線為切點(diǎn)弦AB 所在的直線方程。

二、雙曲線的切線問(wèn)題

過(guò)雙曲線上一定點(diǎn)作雙曲線的切線方程與過(guò)雙曲線外的一點(diǎn)作雙曲線的兩條切線的切線弦。

1.過(guò)雙曲線上一定點(diǎn)作雙曲線的切線

解：當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程為y=kx+m，

代入雙曲線方程并化簡(jiǎn)整理得a2k2-m2-b2=0，

當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程同樣滿足上式。

2.過(guò)雙曲線外一點(diǎn)作雙曲線的兩條切線，切點(diǎn)弦直線方程

解：設(shè)兩切點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1,y1)，B(x2,y2)，

∴此直線為切點(diǎn)弦AB 所在的直線方程。

三、拋物線的切線問(wèn)題

過(guò)拋物線上一定點(diǎn)作拋物線的切線方程與過(guò)拋物線外的一點(diǎn)作拋物線的兩條切線的切線弦。

1.過(guò)拋物線上的一點(diǎn)作拋物線的切線

例5：已知點(diǎn)P(x0,y0)是拋物線y2=2px(p＞0) 上的任意一點(diǎn),求拋物線的切線方程。

解：過(guò)拋物線y2=2px(p＞0) 上的一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程為：y0y=p(x+x0)

同理可得，

過(guò)拋物線y2=-2px(p＞0) 上的一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程為：y0y=-p(x+x0)，

過(guò) 拋 物 線x2=2py(p＞0) 上 的 一 點(diǎn)P(x0,y0) 的 切 線 方 程 為：x0x=p(y+y0)，

過(guò)拋物線x2=-2py(p＞0) 上的一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程為：x0x=-p(y+y0)。

2.過(guò)拋物線外一點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)弦直線方程

例6：已知點(diǎn)P(x0,y0)是拋物線y2=2px(p＞0)外一點(diǎn)，過(guò)P 作拋物線的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B,求過(guò)兩切點(diǎn)A,B 的直線方程。

解：設(shè)兩切點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1,y1)，B(x2,y2)

則點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)都在直線y0y=p(x+x0)上，

∴此直線為切點(diǎn)弦AB 所在的直線方程。