基于壓差式施肥罐的均勻施肥方法

胡昕宇，嚴(yán)海軍，陳 鑫

基于壓差式施肥罐的均勻施肥方法

胡昕宇，嚴(yán)海軍，陳 鑫※

（1. 中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)水利與土木工程學(xué)院，北京 100083；2. 中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)北京市供水管網(wǎng)系統(tǒng)安全與節(jié)能工程技術(shù)研究中心，北京 100083）

壓差式施肥罐是水肥一體化中應(yīng)用較為廣泛的施肥裝置，但它容易產(chǎn)生施肥不均勻的問題，會(huì)因局部過量施肥造成土壤污染，還會(huì)影響作物的產(chǎn)量和品質(zhì)。為利用計(jì)算機(jī)控制壓差式施肥罐進(jìn)行田間作物的恒定濃度和流量施肥，該文基于肥料連續(xù)方程推導(dǎo)了解析解，由計(jì)算機(jī)控制流入施肥罐的流量和直接流過主管道進(jìn)入灌溉系統(tǒng)的流量。在此基礎(chǔ)上，該文通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了施肥罐內(nèi)水肥流動(dòng)數(shù)學(xué)模型，對(duì)解析解控制壓差式施肥罐的恒定濃度和流量施肥進(jìn)行了模擬，模擬結(jié)果與解析解的相對(duì)偏差小于15%，驗(yàn)證了該均勻施肥方法的合理性。結(jié)果表明以最優(yōu)肥液濃度的±50%為界，傳統(tǒng)壓差式施肥罐使用過程中約有70%～80%的肥料處于過量施肥或不充分施肥范圍內(nèi)，通過均勻施肥方法，可以基本實(shí)現(xiàn)灌溉過程中基于壓差式施肥罐的施肥均勻。

肥料；模型；壓力；水肥一體化；壓差式施肥罐；均勻施肥；解析解

0 引 言

中國(guó)化肥使用量居世界之最，年用量超過6 000萬t，占世界總量的1/3。然而，中國(guó)化肥利用率僅30%左右，比發(fā)達(dá)國(guó)家低20%[1]。壓差式施肥罐具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、成本低、操作維修方便和不需要外加動(dòng)力等優(yōu)點(diǎn)[2]，因此作為施肥裝置在中國(guó)水肥一體化應(yīng)用中十分廣泛。壓差式施肥罐的工作原理是通過調(diào)節(jié)控制閥，使施肥罐的進(jìn)水管和出肥管間形成壓差，從而使水流通過進(jìn)水管進(jìn)入施肥罐內(nèi)與肥液混合，與水不斷混合的肥液通過出肥管流入灌溉施肥系統(tǒng)的主管道中[3]。壓差式施肥罐最主要也是最影響其使用的特點(diǎn)，就是隨著水流的流入，施肥罐出口的肥液濃度不斷衰減[4]。這一特點(diǎn)影響灌溉系統(tǒng)的施肥均勻性[5-7]。而施肥不均勻容易對(duì)局部土壤造成污染[8-9]。此外，當(dāng)灌溉周期短時(shí)，壓差式施肥罐還存在操作頻繁且不能實(shí)現(xiàn)自動(dòng)化控制等缺點(diǎn)。

為此，不少學(xué)者對(duì)壓差式施肥罐開展了理論研究和產(chǎn)品優(yōu)化工作。封俊等[10]假定水流與肥液瞬間混合均勻且罐內(nèi)肥液濃度均勻分布，較早提出了計(jì)算壓差式施肥裝置出口肥液濃度負(fù)指數(shù)衰減的理論公式。李凱等[11]考慮了主管道流量的影響，在封俊公式的基礎(chǔ)上改進(jìn)了壓差式施肥裝置出口肥液濃度的理論計(jì)算公式。Burt等[12]以有效施肥濃度為準(zhǔn)則，通過分析總結(jié)大量的試驗(yàn)數(shù)據(jù)提出了壓差式施肥罐施肥結(jié)束時(shí)間的經(jīng)驗(yàn)公式。孟一斌等[13]對(duì)不同施肥量和壓差條件下壓差式施肥罐出口肥液濃度的動(dòng)態(tài)變化進(jìn)行了測(cè)試分析，建立了估算壓差式施肥罐出口肥液濃度動(dòng)態(tài)變化和施肥結(jié)束時(shí)間的回歸模型。鄧蘭生等[14]通過控制變量法比較采用壓差式施肥罐進(jìn)行施肥時(shí)壓差、流量以及肥料品種、形態(tài)、用量等因素對(duì)施肥結(jié)束時(shí)間的影響。韓啟彪等[15]應(yīng)用計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)（computational fluid dynamics，CFD）方法對(duì)壓差式施肥罐進(jìn)行模擬研究，初步探討了CFD方法模擬壓差式施肥罐肥液濃度衰減過程的可行性。然而，肥料作為溶質(zhì)以分子或離子態(tài)混合于水中運(yùn)動(dòng)，沒有宏觀的兩相滑移速度的問題，同時(shí)一般不會(huì)有溶質(zhì)的重力沉降或紊動(dòng)懸浮，這不同于水沙的固液兩相流和水汽的氣液兩相流問題。水沙或水汽兩相流模型需要計(jì)算顆?；驓馀菹鄬?duì)水體的滑移，跟固體顆粒或氣泡的直徑有關(guān)系；另外分散相運(yùn)動(dòng)受重力或浮力作用明顯。因此常用的雙流體兩相流模型[16-17]和混合兩相流模型[18-19]等模型并不適合于水肥流動(dòng)的數(shù)值計(jì)算。

為了實(shí)現(xiàn)中國(guó)農(nóng)業(yè)的精準(zhǔn)高效水肥一體化[20]和智能化[21]，需要對(duì)廣泛使用的壓差式施肥方法進(jìn)行改進(jìn)，實(shí)現(xiàn)恒定濃度和流量的均勻施肥。本文利用肥液的輸移擴(kuò)散連續(xù)性方程，推導(dǎo)基于計(jì)算機(jī)控制的利用壓差式施肥罐實(shí)現(xiàn)均勻施肥的流動(dòng)過程解析解。在此基礎(chǔ)上，通過合理的水肥流動(dòng)數(shù)學(xué)模型模擬壓差式施肥罐出口肥液濃度，與理論值及試驗(yàn)[22–23]進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證基于恒定濃度和流量的均勻施肥方法的合理性。該方法可以實(shí)現(xiàn)基于壓差式施肥罐的均勻施肥過程，從而有效避免應(yīng)用傳統(tǒng)壓差式施肥罐進(jìn)行施肥時(shí)對(duì)化肥的浪費(fèi)和對(duì)環(huán)境的化肥污染，以及施肥不均勻?qū)ψ魑锂a(chǎn)量和品質(zhì)的影響。

1 恒定濃度和流量施肥解析解

使用壓差式施肥罐之前，需要先將肥料在罐內(nèi)充分溶解，見圖1。

注：C0為施肥罐中初始的肥液濃度，%；V為施肥罐體積，m3；Q為主管道的恒定流量，m3·s-1；C為施肥罐內(nèi)的肥液濃度，%。q1為進(jìn)水管和出肥管中的流量，m3·s-1；q2為直接流過主管道進(jìn)入灌溉系統(tǒng)的流量，m3·s-1；C1為進(jìn)入灌溉系統(tǒng)的恒定肥液濃度，%。坐標(biāo)原點(diǎn)為罐體底面圓心位置，x1軸垂直主管道水流方向，x2軸沿主管道水流方向，x3軸垂直罐體底面方向。①為主管道閥門；②為主管道的流量測(cè)點(diǎn)；③為進(jìn)水管閥門；④為壓差式施肥罐控制閥；⑤為出肥管閥門；⑥為進(jìn)入灌溉系統(tǒng)的流量測(cè)點(diǎn)。

為實(shí)現(xiàn)進(jìn)入灌溉系統(tǒng)的肥液濃度恒定為1（<0）、時(shí)間總長(zhǎng)度為的均勻施肥，由計(jì)算機(jī)控制閥門分為流入施肥罐中的流量1和直接流過主管道進(jìn)入灌溉系統(tǒng)的流量2，即

式中為時(shí)間，s。流量為1的清水與罐內(nèi)肥液混合形成濃度為的肥液并從施肥罐中流出，與經(jīng)過主管道的流量為2的清水再混合后形成流量為、濃度恒定為1的肥液進(jìn)入田間完成施肥作業(yè)。

肥料在罐中的運(yùn)動(dòng)屬于物質(zhì)的輸移擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)，可用肥液的輸移擴(kuò)散連續(xù)方程[24]描述其濃度，即

式中是肥液的濃度，%；U是x方向上的速度，m/s；x為笛卡爾坐標(biāo)，共3個(gè)方向：= 1表示坐標(biāo)方向，其他2個(gè)方向、= 2、3，遵循求和約定；D為肥料的離散系數(shù)，m2/s。通常情況下，肥料如尿素和硫酸鉀等的D比施肥罐內(nèi)水體的紊動(dòng)擴(kuò)散系數(shù)D（m2/s）大1～2個(gè)數(shù)量級(jí)以上，比分子擴(kuò)散系數(shù)大3～4個(gè)數(shù)量級(jí)以上[25]。因此可認(rèn)為水進(jìn)入罐后瞬間與罐內(nèi)肥液混合均勻。對(duì)式（2）進(jìn)行體積分并運(yùn)用奧高公式得

式中是罐體的表面積，包括圖1的入口、出口和邊壁，m2；是罐體表面的法向；x為沿罐體表面法向的坐標(biāo)，m；U為速度沿罐體表面法向的分量，m/s。由于設(shè)定水瞬間與肥液混合均勻，罐內(nèi)趨于定值，式（3）左側(cè)變?yōu)?/p>

注意到肥料無法通過入口和邊壁，即?[(D+D)]/ ?x-UC=0。因此式（3）右側(cè)的積分僅存在于出口

式中是出口直徑，m。需要注意均勻施肥方法使用時(shí)最好保證施肥罐進(jìn)水管和出肥管的管徑與主管道保持一致或接近，保證流量充足。由于趨于定值、D為常數(shù)且D>>D[25]，出口處?[(D+D)]/?x可被忽略，即

將式（4）～式（6）代入式（3）得到

由于進(jìn)入灌溉系統(tǒng)的施肥量（1）等于罐中流出肥液量（1），式（7）的初始條件是(0)=0，代入式（7）可以得到

經(jīng)過均勻施肥時(shí)間長(zhǎng)度(s)，當(dāng)罐內(nèi)肥液濃度從0降為1時(shí)，恒定濃度和流量施肥停止?？梢缘玫骄鶆蚴┓蕰r(shí)間長(zhǎng)度為

將式（8）代入式（7）可以得到

將式（10）代入式（1）可以得到

通過式（1）～式（9）得到式（10）～式（11）的1和2隨時(shí)間的變化規(guī)律。假設(shè)水流進(jìn)入壓差式施肥罐后瞬間即可與罐內(nèi)肥液混合均勻，可將壓差式施肥罐的主管道流量按照式（10）～式（11）借助計(jì)算機(jī)控制閥門①④的開度，實(shí)現(xiàn)時(shí)間長(zhǎng)度為施肥濃度恒定為1施肥流量恒定為的均勻施肥過程。

由于閥門的固有流量特性取決于閥芯形狀，在實(shí)際工作過程中，當(dāng)閥門前后壓差恒定時(shí)，閥門開度與流量之間的關(guān)系并不是簡(jiǎn)單的線性關(guān)系（直線特性、對(duì)數(shù)特性、快開特性和拋物線特性等），這種關(guān)系需通過試驗(yàn)特性曲線借助特定的函數(shù)關(guān)系式來表示。當(dāng)管路系統(tǒng)的阻力或其他閥門的開啟程度發(fā)生變化導(dǎo)致閥門前后壓差變化時(shí)，同樣的閥門開度對(duì)應(yīng)的流量也將有所變化。而對(duì)于不同生產(chǎn)廠家、閥門類型、制造精度也都會(huì)對(duì)實(shí)際工作過程中閥門開度與流量之間的關(guān)系產(chǎn)生影響。此外，不同的閥門開度對(duì)于該處的局部水力損失也會(huì)存在一定程度的影響。因此針對(duì)實(shí)際產(chǎn)品需要率定閥門開度與流量之間的關(guān)系，首先需要率定出各閥門的局部水頭損失和管道的沿程水頭損失系數(shù)，根據(jù)目標(biāo)流量確定④全閉1=和2=0時(shí)的閥門①開度和系統(tǒng)總壓力，作為變流量調(diào)節(jié)的起始依據(jù)。將2由0逐步微調(diào)至(0-1)/0，并保證在2變化的過程中1=-2，調(diào)整并測(cè)定閥門①④開度-流量（1、2）的變化曲線。計(jì)算機(jī)根據(jù)目標(biāo)流量的時(shí)間變化過程和閥門①④開度-流量曲線，得到對(duì)應(yīng)的閥門①④開度-時(shí)間變化曲線、從而實(shí)現(xiàn)控制閥門的開度過程。這種結(jié)合試驗(yàn)確定閥門開度變化過程的方法尚不能滿足施肥過程中肥液濃度的絕對(duì)均勻，但在實(shí)際的工程應(yīng)用中與均勻施肥理論存在一定程度的偏差也是可以接受的。

然而在實(shí)際應(yīng)用中壓差式施肥罐入口水源常常會(huì)有波動(dòng)，導(dǎo)致無法按理論均勻施肥?；谶@個(gè)現(xiàn)實(shí)，可以通過對(duì)電控閥門分檔，實(shí)現(xiàn)閥門開度快速調(diào)節(jié)。分為個(gè)（5～10個(gè)）檔位，確定每檔位閥門開度與流量的具體對(duì)應(yīng)關(guān)系、保持的時(shí)間，即便有細(xì)微的波動(dòng)也可基本實(shí)現(xiàn)較為均勻的施肥。本方法理論上可以一次性加入足夠肥料量0以避免頻繁加肥操作。但在實(shí)際應(yīng)用中仍存在3個(gè)問題：1）需要計(jì)算機(jī)、軟件和連續(xù)不間斷調(diào)節(jié)流量和壓力的設(shè)備；2）成套產(chǎn)品設(shè)備的成本可能偏高；3）對(duì)于大面積灌溉，如果施肥罐的體積較小不能容納一次施肥的肥料量，則需要多次給施肥罐加肥并調(diào)整控制系統(tǒng)。

在傳統(tǒng)的壓差式施肥罐施肥過程中，主管道的流量保持恒定，并且施肥過程對(duì)應(yīng)的1和2都是常數(shù)。封俊等[10]提出的壓差式施肥裝置出口肥液濃度變化可從式（7）描述為

式中C為傳統(tǒng)的壓差式施肥裝置出口肥液濃度，%。顯然，式（12）是負(fù)指數(shù)衰減的，本文定義為舊理論值。

2 水肥流動(dòng)數(shù)學(xué)模型

上述恒定濃度和流量施肥解析解可用完整的水肥流動(dòng)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行驗(yàn)證。肥料溶質(zhì)以分子或離子態(tài)混合于水中運(yùn)動(dòng)，不同于泥沙顆?；驓馀菰谒羞\(yùn)動(dòng)。如引言所提及，雙流體兩相流模型[16–17]和混合兩相流模型[18–19]并不適合于水肥流動(dòng)的數(shù)值計(jì)算。由于肥料在分子態(tài)或離子態(tài)下的粒徑都很小，因此不用考慮兩相滑移，可在式（2）的基礎(chǔ)上，直接用水相連續(xù)方程和動(dòng)量方程計(jì)算壓差式施肥罐內(nèi)水肥流動(dòng)過程。忽略水的壓縮性，其Reynolds平均連續(xù)性方程和動(dòng)量方程分別是

式中為液體密度，kg/m3；是壓力，Pa；為分子動(dòng)力黏性系數(shù)，Pa?s；μ=ρD；δ是Kronecker符號(hào)；f為體積力，m/s2。式（13）～式（14）需要通過湍流模型進(jìn)行封閉。此處選用標(biāo)準(zhǔn)-模型[26]，其紊動(dòng)能方程和紊動(dòng)能耗散率方程為

式中表示紊動(dòng)能，m2/s2；表示紊動(dòng)能耗散率，m2/s3；G表示由于平均速度梯度產(chǎn)生的紊流動(dòng)能，Pa/s；σ和σ分別是和的紊流普朗特?cái)?shù)；1ε和2ε是常數(shù)。取1ε=1.44，2ε=1.92，σ=1.0，σ=1.3[27]。

本文通過有限體積法離散壓差式施肥罐內(nèi)水肥流動(dòng)控制方程式（2）和式（13）～式（16），采用SIMPLE算法來求解壓力和速度的耦合問題。進(jìn)口的邊界條件設(shè)置為速度進(jìn)口，出口的邊界條件設(shè)置為壓力出口。

3 數(shù)學(xué)模型與解析解驗(yàn)證

3.1 水肥流動(dòng)數(shù)學(xué)模型驗(yàn)證

式（2）和式（13）～式（16）中僅有式（2）的肥料離散系數(shù)D未確定。本文根據(jù)文獻(xiàn)[28]給出的肥料離散系數(shù)為D=0.011 m2/s。不失一般性，本文選取傳統(tǒng)壓差式施肥罐施肥方法的5種工況[22–23]，參數(shù)如表1所示。

傳統(tǒng)施肥時(shí)間通過文獻(xiàn)[12]中經(jīng)驗(yàn)公式得到，肥料為常用的硫酸鉀(K2SO4)，密度為2 660 kg/m3。如圖1，在試驗(yàn)過程中[22–23]，通過控制主管道進(jìn)水閥門①控制該系統(tǒng)的進(jìn)水量，保持閥門③和⑤打開，通過調(diào)節(jié)控制閥門①和④來調(diào)節(jié)壓力。試驗(yàn)用施肥罐[22–23]體積為0.013 m3，底面半徑為0.11 m，高為0.35 m，進(jìn)出水管中心距離圓柱面圓心的距離為0.09 m，進(jìn)出水管長(zhǎng)度為0.1 m，進(jìn)出水管的管徑（直徑）為0.006 m。罐出口坐標(biāo)為（0, 0.09, 0.35）m，灌溉系統(tǒng)入口坐標(biāo)為（0, 0.14, 0.453）m。經(jīng)網(wǎng)格無關(guān)性驗(yàn)證，對(duì)計(jì)算域生成非結(jié)構(gòu)的四面體網(wǎng)格，共596 784個(gè)網(wǎng)格，將網(wǎng)格導(dǎo)入ANSYS FLUENT中實(shí)現(xiàn)求解。由于閥門附近的模擬需要較細(xì)的網(wǎng)格和較大的計(jì)算量，且不同的閥門葉片表面光滑度、厚薄度、過水性能以及造成的水力損失不一樣，并非本文的研究重點(diǎn)，故本文的模擬僅從閥門③后開始。進(jìn)水管入口處的流量1和進(jìn)水管入口處的壓力1變化如圖2所示。由于在水肥流動(dòng)數(shù)學(xué)模型驗(yàn)證過程中進(jìn)水管入口處的流量1恒定（圖2a），因此在模擬過程中進(jìn)水管入口處的壓力1保持恒定（圖2b）。但由于模擬過程是從閥門③后開始，因此進(jìn)水管入口處的壓力1（工況1～5模擬得到的1依次為0.011、0.011、0.015、0.019、0.013 MPa）低于試驗(yàn)中[22–23]所給定的壓力（工況1～5試驗(yàn)給定的1依次為0.040、0.070、0.100、0.130、0.130 MPa）。

表1 驗(yàn)證工況的施肥模擬參數(shù)

幾個(gè)工況罐出口（0.0, 0.09, 0.35 m）處肥液濃度的數(shù)值解、舊理論值（封俊公式）[10]和試驗(yàn)值[22–23]的變化如圖3所示，其中實(shí)線代表式（2）和式（13）～式（16）的數(shù)值解、虛線代表通過封俊公式[10]計(jì)算得到的舊理論值、三角形代表試驗(yàn)值。按照傳統(tǒng)的施肥方法，保持入罐流量恒定，罐內(nèi)肥液濃度基本上呈負(fù)指數(shù)規(guī)律遞減。得到的數(shù)值解、舊理論值和試驗(yàn)值都具有這個(gè)規(guī)律，數(shù)值解與舊理論值均較為接近。

注：t/TF為由文獻(xiàn)[12]獲得的無量綱化的傳統(tǒng)施肥時(shí)間；下同。

工況1（圖3a）數(shù)值解與舊理論值整體上均大于試驗(yàn)值，因?yàn)樵摴r初始試驗(yàn)值存在較大誤差、遠(yuǎn)大于實(shí)際值。工況1試驗(yàn)值的時(shí)間積分遠(yuǎn)小于罐內(nèi)初始肥料量，而舊理論值和數(shù)值解的時(shí)間積分等于按初始試驗(yàn)值給定的罐內(nèi)初始肥料量。工況2～5數(shù)值解與舊理論值整體上與試驗(yàn)值符合很好，此處僅列工況3～5（圖3b～3d）。但工況5在/T=0.4～1.0階段，試驗(yàn)值略高于數(shù)值解和舊理論值。因?yàn)樵摴r肥料的溶解不夠充分，在試驗(yàn)過程中罐內(nèi)存在固體肥料的溶解，使得多個(gè)時(shí)刻測(cè)量的肥液濃度值較數(shù)值解和舊理論值高。工況5試驗(yàn)值的時(shí)間積分大于罐內(nèi)初始肥料量，而舊理論值和數(shù)值解的時(shí)間積分仍然等于罐內(nèi)初始肥料量。

注：C/C0表示無量綱化的罐出口處肥液濃度。

通過計(jì)算試驗(yàn)值對(duì)應(yīng)的（|(數(shù)值解)-(試驗(yàn)值)|）和（|(舊理論值)-(試驗(yàn)值)|）再分別取平均，可以得到5個(gè)工況的數(shù)值解和舊理論值的出口肥液濃度平均絕對(duì)誤差如表2所示。與圖3一致，除工況1外，數(shù)值解與現(xiàn)有試驗(yàn)數(shù)據(jù)的平均絕對(duì)誤差小于0.041，在傳統(tǒng)施肥時(shí)間內(nèi)數(shù)值解與試驗(yàn)數(shù)據(jù)相比較為接近?？傮w看，當(dāng)取D=0.011 m2/s時(shí)，可以通過式（2）和式（13）～式（16）構(gòu)成的水肥數(shù)學(xué)模型以及基于微分方程式（7）的舊理論值模擬壓差式施肥罐出口肥液濃度隨時(shí)間變化過程，表明了該數(shù)學(xué)模型和微分方程式（7）模擬壓差式施肥罐內(nèi)水肥流動(dòng)的有效性。此處數(shù)值模擬、試驗(yàn)值和舊理論值的對(duì)比共同驗(yàn)證了微分方程式（7）的準(zhǔn)確性。該微分方程也是均勻施肥解析解式（8）～式（11）的基礎(chǔ)，這也證明了滿足恒定濃度和流量邊界條件施肥解的合理性。

表2 工況1～5出口肥液濃度平均絕對(duì)誤差

在實(shí)際施肥過程中，清水進(jìn)入施肥罐后擴(kuò)散速度較快，但并非理想的瞬間與肥液均勻混合，由此造成了圖3的數(shù)值解與舊理論值的細(xì)微差別。以工況3為例，進(jìn)出水口截面在150、300和450 s時(shí)刻罐內(nèi)的肥液相對(duì)濃度/0分布和紊動(dòng)擴(kuò)散系數(shù)D分布如圖4所示。該圖顯示罐內(nèi)肥液濃度差異較小，是近乎均勻的。但水流從進(jìn)口流入，進(jìn)口處的肥液濃度最低，進(jìn)水管內(nèi)具有較明顯的濃度梯度；至出口處的肥液濃度基本上無梯度，可以認(rèn)為其接近罐內(nèi)肥液濃度的最大值。此外，圖4顯示罐內(nèi)水體的紊動(dòng)擴(kuò)散系數(shù)D小于4.0×10-4m2/s，如第1節(jié)所提及，比肥料的離散系數(shù)D=0.011 m2/s小2個(gè)數(shù)量級(jí)。傳統(tǒng)的壓差式施肥罐進(jìn)水管的管口在罐的底部，而出水管的管口在罐的上部，二者不在一個(gè)水平面。由于進(jìn)水口壓力較大，同時(shí)肥液的容重也有差異，這樣有利于肥液的擾動(dòng)和均勻。但本例的肥液離散系數(shù)遠(yuǎn)大于擴(kuò)散系數(shù)、罐內(nèi)水肥混合極快，現(xiàn)有出入口距離基本可保證罐內(nèi)水肥的均勻混合后流出。入口位置換成底部后（增加出入口距離），出口濃度的計(jì)算結(jié)果變化不明顯。

圖4 工況3不同時(shí)刻罐內(nèi)肥液濃度(C/C0)和紊動(dòng)擴(kuò)散系數(shù)(Dt)分布

K2SO4最適宜濃度為1.5%（/0=0.2）[29]。取過量施肥濃度為最適宜濃度的150%即/0>0.3、不充分施肥濃度為最適宜濃度的50%即/0<0.1，對(duì)圖3中舊理論值進(jìn)行積分得到的各部分肥料利用的比例如圖5所示。圖5表明，過量施肥所占比例約為70%，不充分施肥所占比例約為10%。因此傳統(tǒng)壓差式方法在正常運(yùn)行中約有70%～80%的肥料處于過量或不充分施肥范圍內(nèi)。

圖5 不同驗(yàn)證工況肥料利用所占比例

3.2 恒定濃度和流量施肥解析解驗(yàn)證

本節(jié)對(duì)基于微分方程式（7）代入均勻施肥邊界條件得到的式（10）～式（11）進(jìn)行驗(yàn)證。鑒于微分方程式（7）已經(jīng)得到了圖3傳統(tǒng)施肥試驗(yàn)數(shù)據(jù)的驗(yàn)證，且水肥流動(dòng)數(shù)學(xué)模型與該微分方程的解一致，因此并未再增加恒定濃度和流量施肥的實(shí)測(cè)驗(yàn)證性試驗(yàn)，而是采用水肥流動(dòng)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行理論佐證。此處均勻施肥過程中需要保持的相對(duì)肥液濃度為最優(yōu)濃度1/0=0.2。1()和2()如表3所示。基于均勻施肥方法的肥液濃度變化如圖6所示。因所有均勻施肥工況的肥液濃度變化趨勢(shì)相同，此處僅列出工況2～4。為直觀地體現(xiàn)新舊理論值之間的巨大差異、說明新理論在均勻施肥方面的優(yōu)勢(shì)，此處將舊理論值也列于圖6。

在施肥罐出口處，肥液濃度按照本文的均勻施肥的新理論值式（8）是線性衰減的，如圖6a、圖6c、圖6e代表了恒定濃度和流量施肥過程中罐內(nèi)肥料量的均勻流出。與舊理論值的負(fù)指數(shù)率衰減相比，解析解（新理論值）改變了罐內(nèi)肥液濃度負(fù)指數(shù)衰減的趨勢(shì)，將罐內(nèi)肥液濃度調(diào)整為線性減少。實(shí)線代表的本文均勻施肥數(shù)值解也基本上按照直線減小，表明按照解析解指導(dǎo)1和2隨時(shí)間變化實(shí)現(xiàn)均勻施肥在理論上的可行性。但數(shù)值解與新理論值式（8）存在一定的偏差，主要是由于數(shù)值解并不完全滿足水肥瞬間均勻混合，在出口處的濃度一般為罐體內(nèi)的最大值。

在灌溉系統(tǒng)入口（0.0，0.14，0.453）m處，肥液濃度按照本文的均勻施肥解析解是常數(shù)1，如圖6b、圖6d、圖6f點(diǎn)劃線，代表了灌溉系統(tǒng)對(duì)作物進(jìn)行恒定濃度和流量的施肥。與舊理論值的負(fù)指數(shù)率衰減相比，解析解（新理論值）改變了進(jìn)入灌溉系統(tǒng)肥液濃度負(fù)指數(shù)衰減的趨勢(shì)。實(shí)線代表的本文均勻施肥數(shù)值解的取值保持在1/0=0.20～0.23范圍內(nèi)。均勻施肥方法的5個(gè)工況數(shù)值解對(duì)應(yīng)的相對(duì)偏差（|1(數(shù)值解)/1(新理論值)-1|）在不同時(shí)刻（/8、/4、3/8、/2、5/8、3/4、7/8和）的計(jì)算結(jié)果如表4所示。結(jié)果表明，均勻施肥方法5個(gè)工況的數(shù)值解與解析解（新理論值）在均勻施肥時(shí)間內(nèi)的相對(duì)偏差小于15%。整體上看，數(shù)值解比較均勻，表明按照解析解指導(dǎo)1和2隨時(shí)間變化在施肥作業(yè)中基本能夠?qū)崿F(xiàn)均勻施肥。與圖3～圖5相比，通過均勻施肥方法，圖6可以有效避免由于施肥不均勻造成的過量施肥以及施肥不充分，從而避免過量施肥對(duì)化肥的浪費(fèi)和對(duì)環(huán)境的污染，以及不充分施肥對(duì)作物產(chǎn)量及品質(zhì)的影響。但數(shù)值解與新理論值1存在一定的偏差，其原因同樣是由于數(shù)值解并不完全滿足水肥瞬間均勻混合。

表3 均勻施肥過程的模擬參數(shù)

注：時(shí)間總長(zhǎng)度為，s；時(shí)間為，s。下同。

Note: Total time duration is, s; time is, s. Same as below.

注：C1/C0為無量綱化的灌溉系統(tǒng)入口處肥液濃度。

表4 均勻施肥方法施肥罐出口肥液濃度相對(duì)偏差

基于均勻施肥方法的工況1～5進(jìn)水管入口處的流量和壓力變化如圖7所示。由于在均勻施肥方法中流量1通過式（10）計(jì)算，1隨時(shí)間增大越來越明顯（圖7a），因此進(jìn)水管入口處的壓力也隨時(shí)間不斷增大，并且增大的趨勢(shì)越來越明顯（圖7b）。隨著時(shí)間的推移，當(dāng)達(dá)到均勻施肥時(shí)間時(shí)，此時(shí)進(jìn)水管入口處的流量1增至，進(jìn)水管入口處的壓力也達(dá)到了圖2b中的壓力值。

圖7 均勻施肥過程進(jìn)水管入口處流量及壓力

4 結(jié) 論

為利用計(jì)算機(jī)控制壓差式施肥罐實(shí)現(xiàn)恒定濃度和流量的均勻施肥，本文推導(dǎo)了管道流動(dòng)控制的解析解，并通過壓差式施肥罐內(nèi)水肥流動(dòng)的數(shù)學(xué)模型驗(yàn)證解析解。主要結(jié)論如下：

1）基于肥料的連續(xù)方程，假定罐內(nèi)水肥快速均勻混合，提出了進(jìn)入罐內(nèi)的流量和直接過主管道進(jìn)入灌溉系統(tǒng)的流量解析解。解析解使用的4個(gè)參數(shù)為初始肥液濃度、均勻施肥濃度、施肥流量和施肥罐的體積。解析解將壓差式施肥罐內(nèi)肥液濃度的指數(shù)衰減過程調(diào)整為接近線性衰減的過程，從而實(shí)現(xiàn)灌溉系統(tǒng)入口處濃度和流量恒定的均勻施肥。

2）基于傳統(tǒng)壓差式施肥罐內(nèi)水肥變化試驗(yàn)數(shù)據(jù)，驗(yàn)證了解析解的微分方程和水肥流動(dòng)數(shù)學(xué)模型。微分方程代入傳統(tǒng)施肥方法的邊界條件后，與現(xiàn)有試驗(yàn)數(shù)據(jù)的平均絕對(duì)誤差小于0.041，驗(yàn)證了解析解的微分方程的合理性。數(shù)學(xué)模型計(jì)算的出口肥液濃度變化與理論值和試驗(yàn)值相符。施肥罐內(nèi)水肥流動(dòng)數(shù)學(xué)模型被用于驗(yàn)證解析解，確定罐內(nèi)肥液濃度的變化過程以及施肥結(jié)束時(shí)間，數(shù)學(xué)模型計(jì)算的肥液濃度與解析解的相對(duì)偏差小于15%，驗(yàn)證了本文提出的基于壓差式施肥罐均勻施肥方法的可行性。在傳統(tǒng)壓差式施肥罐運(yùn)行過程中，約有70%～80%的肥料處于過量施肥或不充分施肥范圍內(nèi)，通過均勻施肥方法，可以有效避免由于施肥不均勻造成的過量施肥以及施肥不充分。

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Uniform fertilization method based on differential pressure tank

Hu Xinyu, Yan Haijun, Chen Xin※

(1.,,100083,; 2.,,100083,)

Differential pressure tank is a widely used fertilization device in the application of fertilization in China and many other countries. However, the fertilizer concentration in the tank continuously decays with the inflow of water. The decay feature of fertilizer concentration can easily lead to excessive fertilization at the head and insufficient fertilization at the end of the irrigation system. An analytical solution was proposed in this paper to achieve uniform fertilization based on differential pressure tank with constant fertilizer concentration and flux. The relationship between the uniform fertilization analytical solution and the fertilizer continuity equation was obtained based on differential pressure tank. The analytical solution was expected to control the flux flowing into the differential pressure tank and the flux directly flowing into the irrigation system through the main pipe according to 4 parameters: Uniform fertilizer concentration, initial fertilizer concentration, the volume of differential pressure tank and the total fertilization flux of the main pipe. Based on the analytical solution, the fertilizer continuity equation and the incompressible continuity and momentum equations of water were used for describing the movement of mixture in the differential pressure tank. The numerical model for mixed water and fertilizer flow in the differential pressure tank was determined by experimental data. The fertilizer concentration simulated by numerical model was nearly uniform in the tank and the fertilizer concentration at tank outlet obtained by numerical model decayed with a negative exponential pattern as described by Feng’s theory. The numerical simulation results directly verified the accuracy of the basis of Feng’s theory. The differential equation was also the basis of the uniform fertilization. The mean absolute error between the differential equation and the experimental data was less than 0.041 when the boundary condition of traditional fertilization method was substituted into the differential equation, which indirectly proved the rationality of uniform fertilization method satisfying the boundary conditions of constant fertilizer concentration and flux. The analytical solution’s feasibility in the uniform fertilization process based on differential pressure tank was simulated by the numerical model of fertilizer solution in determining the uniform fertilizer concentration and the fertilization time. The fertilizer concentration at tank outlet simulated by the numerical model decayed almost linearly and agreed with the uniform fertilization analytical solution. The fertilizer concentration simulated by the numerical model at drip irrigation system inlet was almost uniform and in agreement with the analytical solution of uniform fertilization. The relative bias of fertilizer concentration between the analytical solution and computation calculated by the numerical model was less than 15%, which verified the feasibility of uniform fertilization method based on differential pressure tank. The results showed that the application of uniform fertilization method and the uniform fertilization method could basically achieve constant fertilizer concentration and flux based on differential pressure tank. According to the actual product, the relationship between valve opening and time could be obtained in order to realize the control of valve opening process by computer. Approximately 70% to 80% of fertilizer in the normal operation was within range of the excessive or insufficient amount, whereas the uniform fertilization method could effectively avoid the waste of excessive fertilization and the lack of insufficient fertilization.

fertilizers; models; pressure; differential pressure tank; uniform fertilization; analytical solution

胡昕宇，嚴(yán)海軍，陳 鑫. 基于壓差式施肥罐的均勻施肥方法[J]. 農(nóng)業(yè)工程學(xué)報(bào)，2020，36(1)：119－127.doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2020.01.014 http://www.tcsae.org

Hu Xinyu, Yan Haijun, Chen Xin. Uniform fertilization method based on differential pressure tank[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2020, 36(1): 119－127. (in Chinese with English abstract) doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2020.01.014 http://www.tcsae.org

2019-07-30

2019-09-10

國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃項(xiàng)目（2017YFD0201502）；國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51836010、41961144014）

胡昕宇，博士生，主要從事灌溉施肥設(shè)備與水肥流動(dòng)研究。Email：huxinyu@cau.edu.cn

陳 鑫，研究員，博士生導(dǎo)師，主要從事灌溉施肥技術(shù)與兩相流動(dòng)研究。Email：chenx@cau.edu.cn

10.11975/j.issn.1002-6819.2020.01.014

S147.3

A

1002-6819(2020)-01-0119-09