常微分方程建模方法及案例分析

沈延鋒 姜永慧 沈延琦

摘? 要：常微分方程建模是數(shù)學(xué)建模中一類十分重要的方法，使用它通常需要建立含多個變量及導(dǎo)數(shù)信息的常系數(shù)微分方程。本文首先給出了此類建模問題的基本思路、步驟和建模方法，然后通過最速降線、懸鏈線及藥物擴散衰減三個問題對該建模方法進行了分析。分析過程中強調(diào)了變量及其變量間關(guān)系的確定在常微分方程建立過程中的重要作用。

關(guān)鍵詞：微分方程? 微元分析法? 最速降線? 懸鏈線? 藥物擴散衰減

中圖分類號：O175? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1674-098X（2020）08（c）-0199-04

Abstract： Ordinary differential equation modeling is a very important method in mathematical modeling. Using it， it is usually necessary to establish constant coefficient differential equations with multiple variables and derivative information. In this paper， we shall discuss the basic idea， steps and several methods about thus modeling problems firstly. Then three practical problems will be studied， as the brachistochrone problems， catenary problems and medicament diffusion problems. The important role of the determination of variables and their relations in the establishment of ordinary differential equations is emphasized.

Key Words： Ordinary differential equations; Microelement analysis method; Brachistochrone; Catenary; Medicament diffusion

函數(shù)的本質(zhì)是兩個變量之間的依賴關(guān)系，而對事物變化相互影響的關(guān)系研究是工程計算、醫(yī)療衛(wèi)生和金融經(jīng)濟等眾多領(lǐng)域中的核心問題。通常情況下這些領(lǐng)域中所用到的函數(shù)比較復(fù)雜，很難用解析表達式直接給出因此用包含多變量（因變量、自變量）的常系數(shù)方程是可取的方式之一。有時還需要考慮含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方程，這類方程就是常微分方程。建立適當?shù)某Ｎ⒎址匠淌菙?shù)學(xué)建模中解決連續(xù)性問題的一類十分重要的方法。常微分方程建模的應(yīng)用領(lǐng)域也非常廣泛，如生物學(xué)模型、經(jīng)濟模型、航空航天模型和物理學(xué)模型等等。

常微分方程建模[1-5]是利用常微分方程來近似模擬某些事物或現(xiàn)象隨時間而連續(xù)發(fā)生變化的方法。所遇問題中提到的“變化”、“增加”、“減少”和“改變”等類似詞語，通常都與導(dǎo)數(shù)有關(guān)，這也是常微分方程建模時需要特別注意的地方。總體來說，常微分方程建模的思路是：首先尋找問題中的條件得到自變量和因變量及其導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系，建立合適的常微分方程;然后利用分析或數(shù)值方法求解對應(yīng)常微分方程;再結(jié)合問題本身對結(jié)果進行分析;最后對所研究的事物或現(xiàn)象的推演過程給出分析或預(yù)測等工作。

一般的常微分方程模型建立的步驟及方法[1-4]總結(jié)如下：

（1）分清變量的類型，明確自變量和因變量，理清多個因變量之間的相互聯(lián)系。從問題出發(fā)，利用“奧卡姆”剃刀，篩選出直接反映所需結(jié)論的核心因變量。這里可能會有多個因變量反映結(jié)論的不同方面。結(jié)合題目所創(chuàng)設(shè)的環(huán)境，挖掘影響因變量的因素，注意區(qū)分確定性因素和隨機性因素。對于隨機性的因素還需要概率統(tǒng)計等基礎(chǔ)知識，甚至還應(yīng)考慮建立隨機微分方程模型。另外某些因變量之間可能會有明確的（導(dǎo)數(shù)關(guān)系）關(guān)聯(lián)，比如位移和速度以及加速度之間的聯(lián)系。對于這類關(guān)系應(yīng)該盡早明確，以備后續(xù)建立方程時候直接使用。

（2）探索各變量之間的相互關(guān)系。通常問題的因變量與自變量之間不是線性關(guān)系。對于具有確定性關(guān)系的情況，可以參考已有模型進行處理。例如，指數(shù)（對數(shù)）關(guān)系模型、多項式型關(guān)系模型和引力模型（在經(jīng)濟領(lǐng)域中應(yīng)用也非常多）等等。而對于關(guān)系不是很明確的情況，需要建立含兩類變量的函數(shù)方程進行處理。部分可以參考人口增長模型、傳染病模型等等，而另外一些還需要分析題設(shè)中的不變量。

（3）分析并建立合適的常微分方程。通過上面兩個步驟，已經(jīng)可以建立起粗糙的常微分方程，而這步通常需要添加一些影響因素對模型進行改進，并得到合理的模型。建立常微分方程的方法多種多樣，大致可以歸結(jié)為以下幾種：

①按規(guī)律列方程。簡單地說，含自變量和因變量的常系數(shù)等式就是常微分方程，而部分等式可以通過數(shù)學(xué)、化學(xué)和物理等學(xué)科中的規(guī)律獲取。牛頓第二定律就描述了力和加速度的關(guān)系。另外放射規(guī)律、折射定律等等都可以幫助我們建立較為合適的常微分方程。

②微元分析法。這里所謂的微元分析法不同于定積分應(yīng)用的微元法，詳見參考文獻[8]。求解微分方程所用的積分幾乎都是變上限的積分，其本質(zhì)上也是一個函數(shù)。因此這里的微元可以理解為微分。我們知道，微分是對應(yīng)改變量的一種近似。固定自變量的兩點和，分析對應(yīng)因變量，及其改變量所滿足的等式條件。這里的等式通常由確定的規(guī)律或者題設(shè)中的不變量得到。然后近似轉(zhuǎn)化為各變量的微分，就構(gòu)造出了所需要的常微分方程。例如分析勻速圓周運動的向心加速度，對圓周運動的速度變化進行微元分析，便可以推導(dǎo)出向心加速度的表達式。

③模擬近似法。工程應(yīng)用領(lǐng)域中的問題通常比較復(fù)雜，且受到許多不可控制的因素影響。全面考慮這些因素往往使得微分方程十分復(fù)雜甚至無法建立。因此有必要刪繁就簡，添加一些假設(shè)條件，用簡單些的微分模型去近似。在Logistic人口阻滯增長模型中，人口的增長率被簡化為只由當前人口總量和其他一些阻滯增長率的因素（如資源環(huán)境等）所決定。

1? 常微分方程案例分析

利用常微分方程模型解決實際問題，第一步就是要利用數(shù)學(xué)理論、初等模型以及其他學(xué)科中的定律，建立起較為合適的常微分方程。下面筆者通過幾個典型實例對上述常微分方程建立方法進行闡述。

1.1 最速降線問題

意大利科學(xué)家伽利略曾提出這樣的問題：一個質(zhì)點受重力作用，從點A滑到不在它垂直下方的點B，若不計摩擦，沿什么曲線所需時間最短？取時間t為自變量，并建立坐標系如圖1所示，位置、速度和P點切線傾角都是關(guān)于t的因變量。另設(shè)質(zhì)點的質(zhì)量為m，初速度為。因為不計摩擦，速度滿足? ? ? ? ? ?。

由費馬原理可知，光沿著遵守折射定律的路線傳播，所用的時間最短。將AB曲線看作光在非均勻介質(zhì)中的傳播路徑，要使得時間最短，每點都應(yīng)滿足折射定律，即

1.2 懸鏈線問題

懸鏈線是指受重力作用，兩端水平固定的柔軟的繩子自由下垂所形成的曲線[6]。如圖2所示，O點為繩子的最低點，此點受到一個水平向左的拉力。取橫坐標為自變量，懸鏈線上點的高度、拉力、拉力與水平方向夾角和累計重力均為因變量，分別記為、、和。任取繩子上極小的一段，且設(shè)和 的橫坐標分別為和。另設(shè)繩子的線密度為，下面對繩子上的一小段進行受力分析。

1.3 藥物擴散衰減問題

在使用藥物治療疾病時，通常有三種給藥方式，分別為快速靜脈注射（方式a）、恒速靜脈注射（方式b）和口服或肌肉注射（方式c）[7]。下面通過模擬近似分析血藥濃度隨時間的變化趨勢。為此，我們將身體看成一個房室，給藥方式不同，藥物的吸收和消除速率不同。

取時間為自變量，設(shè)為表觀分布容積，為? 時刻體內(nèi)的藥物量，為時刻體內(nèi)的藥物濃度，則滿足關(guān)系體內(nèi)的藥物濃度，則滿足關(guān)系。令 為一級消除速率。

下面我們將建立描述三種給藥方式的常微分方程。利用微元分析法，任取小區(qū)間，設(shè)藥物的改變量為，其值可以利用不同的吸收和消除速率計算：

（1） 方式a。因吸收和消除速率分別為0和，故改變量，從而借助函數(shù)微分即可得到常微分方程為，且有初值條件。為注射總藥量。解得血藥濃度變化曲線為，近似為指數(shù)分布的密度函數(shù)。

（2）方式b。吸收速率為定值a，得改變量，可得模型為，且。解得濃度變化曲線為。近似為Logistic人口阻滯函數(shù)曲線。

（3）方式c。此時改變量計算稍微復(fù)雜，因為吸收速率也是的函數(shù)。先考慮吸收子模型。設(shè)藥物被吸收的速率與存量藥物的數(shù)量成正比，記比例系數(shù)為，若記時刻殘留藥物量為，類似地得到常微分方程為，，其中為方式c的藥物總量。解得。進而建立方式c藥量的常微分方程，。解得血藥濃度變化曲線為

近似為卡方分布的密度函數(shù)。

（1） 方式a。因吸收和消除速率分別為0和，故改變量，從而借助函數(shù)微分即可得到常微分方程為，且有初值條件。為注射總藥量。解得血藥濃度變化曲線為，近似為指數(shù)分布的密度函數(shù)。

（2）方式b。吸收速率為定值a，得改變量，可得模型為，且。解得濃度變化曲線為。近似為Logistic人口阻滯函數(shù)曲線。

近似為卡方分布的密度函數(shù)。

圖3給出了三種給藥方式的血藥濃度變化曲線。進一步分析可以根據(jù)血藥濃度要求控制再次給藥的時間和劑量，以便達到維持藥效的作用。

2? 結(jié)語

常微分方程建模在利用數(shù)學(xué)模型解決醫(yī)療、經(jīng)濟、工程等領(lǐng)域問題中占據(jù)著很大的優(yōu)勢。要建立適合的微分方程模型，就要從題設(shè)、目標中仔細挖掘各變量及其可能存在的關(guān)系，還要考慮相應(yīng)領(lǐng)域中的定律、因變量微分的近似計算特性和微分方程教材中的經(jīng)典模型，綜合分析構(gòu)建出較為適合的模型。通常還需要把求得的解與實際情況進行比較，不斷改進和優(yōu)化模型，盡可能地讓最終模型既能滿足實際問題的精確性要求，同時也具有一定的穩(wěn)定性要求。

參考文獻

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[3] 鄭玉敏.對常微分方程數(shù)學(xué)建模案例的研究[J].黑龍江科學(xué)，2017（13）：66-67.

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[5] 武海輝.一類競爭擴散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析[J].河南科學(xué)，2019，37（6）：869-873.

[6] 周義倉.懸鏈線模型在系泊系統(tǒng)設(shè)計中的應(yīng)用——2016年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題解答評述[J].數(shù)學(xué)建模及其應(yīng)用，2016，5（4）：26-33.

[7] 王蓮招.三種給藥方式的微分方程及函數(shù)性態(tài)比較 探討[J].高教學(xué)刊，2016（5）：111-112.