從中考試題看幾何教學
——以2019年長春市中考數(shù)學試題中幾何解答題為例

遲立祥

(吉林省長春市東北師大附中初中部 130000)

一、2019年長春市中考數(shù)學試題幾何解答題概述

第18題：如圖，四邊形ABCD是正方形.以邊AB為直徑作⊙O，點E在BC邊上，連結(jié)AE交⊙O于點F，連結(jié)BF并延長交CD于點G.

(1)求證：△ABE≌△BCG.

這是一道“推理+運算”的幾何試題，與往年相比最主要變化體現(xiàn)在試題形式上，以往的試題要么單獨考查三角形或平行四邊形的知識，要么單獨考查圓的知識，今年此題將全等三角形與圓的知識結(jié)合起來考查，難度不大，但體現(xiàn)出中考對核心知識的考查的形式靈活多樣，不拘泥于固定模式.

第22題：教材呈現(xiàn)：以下是華師版九年級上冊數(shù)學教材第78頁的部分內(nèi)容.

證明：連結(jié)DE.

請根據(jù)教材提示，結(jié)合圖①，寫出完整的證明過程.

此題是以幾何知識為背景的“探究+應用”型問題.此類試題一方面考查學生基本的幾何推理、運算能力，另一方面也考查了學生對新知識的應用能力，體現(xiàn)了數(shù)學研究：猜想——論證——應用的過程，對學生的數(shù)學學習具有一定指導意義.2019年中考試題中第22題與以往相比的變化主要體現(xiàn)在兩方面：一是試題背景源于教材；二是以相似三角形的知識為背景，以往多以全等三角形、平行四邊形為背景.這兩點變化體現(xiàn)出中考試題的立意對幾何教學的指導意義，即希望在教學過程中應重視教材，貫徹教材編寫意圖，挖掘教材中典型題目.

第23題 如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20，BC=15.點P從點A出發(fā)，沿AC向終點C運動，同時點Q從點C出發(fā)，沿射線CB運動，它們的速度均為每秒5個單位長度，點P到達終點時，P、Q同時停止運動.當點P不與點A、C重合時，過點P作PN⊥AB于點N，連結(jié)PQ，以PN、PQ為鄰邊作PQMN.設(shè)PQMN與△ABC重疊部分圖形的面積為S，點P的運動時間為t秒.

(1)①AB的長為____；

②PN的長用含t的代數(shù)式表示為____.

(4)當過點P且平行于BC的直線經(jīng)過PQMN一邊中點時，直接寫出t的值.

此題為圖形運動問題.這道試題在命題立意方面與往年相比并沒有明顯的變化，但在命題時充分考慮到回避高中知識，運用高中解析幾何知識解決此題不占優(yōu)勢.

二、初中幾何教學的建議

1.注重滲透研究幾何對象的基本模式

教科書對于幾何內(nèi)容的編寫自始至終注重滲透研究幾何圖形的基本方法.在華師版數(shù)學教材七年級上冊“相交線與平行線”一章中，教材就向?qū)W生呈現(xiàn)了研究幾何圖形的模式：定義→性質(zhì)→判定.對于全等三角形、等腰三角形、平行四邊形等幾何對象的學習，這一研究模式的主線更加清晰.

教學中注重對幾何圖形研究模式的滲透，將對學生公理化體系的建立起到極大的助力作用.初中平面幾何的特點是定理多，這是學生學習幾何的一大障礙，如果學生在學習每個幾何圖形時都能按上述基本模式研究、梳理，那么將形成自己的定理體系，在推理論證時就會有理有據(jù)，邏輯清晰.

2.注重對學生幾何語言表達能力的培養(yǎng)

教材對于學生幾何語言能力的培養(yǎng)是循序漸進的，主要分三個階段：第一階段，在“相交線與平行線”一章中，邏輯推理過程要求寫出推理依據(jù)，要求有理有據(jù)；第二階段，在“全等三角形”一章中，在證明兩個三角形全等時，推理過程強調(diào)“在哪兩個三角形中，條件按定理順序羅列”，要求定理結(jié)構(gòu)清晰；第三階段，在“平行四邊形”一章中，要求語言準確、邏輯清晰.這三個階段逐層遞進，每個階段目標的達成程度將直接影響下一階段的學習.

在教學中培養(yǎng)學生的幾何語言表達能力要注意以下兩點：一是，培養(yǎng)學生不同語言形式間相互轉(zhuǎn)換的能力.初中幾何教學中涉及文字語言、符號語言、圖形語言，在教學中注重訓練學生三種語言間的相互轉(zhuǎn)換.二是，培養(yǎng)學生理清論證過程中的邏輯關(guān)系，理清楚“先有誰，后有誰”，這樣按照“先后”順序?qū)⑺瓒ɡ砗徒Y(jié)論的符號敘述串聯(lián)起來，便是邏輯清晰的推理過程了.

3.挖掘典型問題，聚焦基本圖形

在初中平面幾何知識中有大量的典型問題，而這類問題往往又與基本圖形相伴而行，所以我們教學選題時應關(guān)注經(jīng)典問題，幫助學生積累基本解題思路和經(jīng)典模型的性質(zhì)，以便于學生在面對陌生問題時能夠在復雜圖形中抽象出基本圖形，轉(zhuǎn)化為典型問題進行求解.

4.關(guān)注知識間的聯(lián)系，讓知識體系形成網(wǎng)格式交叉

初中幾何知識之間的聯(lián)系分兩類：一類是圖形之間的聯(lián)系，另一類是結(jié)論之間的聯(lián)系.對于圖形之間的聯(lián)系，教材呈現(xiàn)較為明顯，有的是從一般到特殊，例如三角形→等腰三角形、直角三角形，有的是從特殊到一般，例如，全等三角形→相似三角形.關(guān)注圖形之間的特殊與一般的關(guān)系，可以利用類比的方式對比研究不同圖形的性質(zhì)與判定，幫助學生將知識體系“鏈”化.對于結(jié)論之間的聯(lián)系，教材呈現(xiàn)相對無序，需要教師引導學生在學習過程中留意整理.例如，與線段相等相關(guān)的結(jié)論，與角相等相關(guān)的結(jié)論.對結(jié)論之間聯(lián)系的梳理，有助于提高學生分析問題、解決問題的能力.在學習過程中，如果將這兩種聯(lián)系橫縱交叉，就會形成幾何知識體系的網(wǎng)格化，學生將在知識體系的建立、幾何探究能力、問題解決能力等方面得到全面的提升.

5.加強教師的板書示范

隨著各種教學模式的不斷出新，教學設(shè)備的不斷改善，數(shù)學課堂的知識容量也在不斷的加大，表面上看，課堂效率是在不斷的提高，但實際上，也會造成學生部分學習能力的缺失.傳統(tǒng)課堂并不是一無是處，至少教師的示范作用就是不可或缺的.初中生所處的年齡和心理特征決定，教師的示范對學生良好學習方法和學習習慣的養(yǎng)成起到非常重要的作用.很多學生是老師怎么寫，他就怎么寫，老師認真寫，他才認真寫.因此，數(shù)學課堂上，教師板書的陣地不能丟，不能認為課件展示就可以全部代替教師的板書，不能因為擔心課堂任務完不成就不板書.

總之，中考試題對教師的教學具有導向作用，但不代表考什么就教什么.而應分析試題背后的命題立意，分析課程標準的指向，分析學生的學習現(xiàn)狀，將三者結(jié)合起來看，找到教學與測試目標的差距，在現(xiàn)實學情的基礎(chǔ)上尋找教學方式上的突破.