重視運(yùn)用對(duì)稱(chēng) 解決代數(shù)問(wèn)題

楊紅余

(甘肅省平?jīng)鍪械谒闹袑W(xué) 744000)

數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含大量的對(duì)稱(chēng)思想，借助對(duì)稱(chēng)思想，利用對(duì)稱(chēng)的特性，可以實(shí)現(xiàn)初中數(shù)學(xué)中較典型的問(wèn)題的求解.針對(duì)涉及到對(duì)稱(chēng)的問(wèn)題，要對(duì)問(wèn)題的關(guān)鍵字眼保持一定的敏感性，如題目中包含存在關(guān)系、邏輯關(guān)系，尤其是位置關(guān)系的對(duì)稱(chēng)時(shí)，就可以?xún)?yōu)先考慮利用對(duì)稱(chēng)解決問(wèn)題.

一、利用對(duì)稱(chēng)性，求解函數(shù)最值問(wèn)題

函數(shù)最值的求解方法比較多，可借助具體的數(shù)值來(lái)確定最值大小，也可以借助有關(guān)函數(shù)圖形進(jìn)行考慮.每種方法有其使用的范圍，當(dāng)問(wèn)題出現(xiàn)兩個(gè)甚至多個(gè)代數(shù)和是一個(gè)定值，求解滿(mǎn)足一定關(guān)系式的函數(shù)值時(shí)，可以考慮從對(duì)稱(chēng)的角度去解決.

例1已知a>0,b>0，且z=ab，若a+b=2時(shí)，求z的最大值.

解析觀察發(fā)現(xiàn)a+b=2，即意味著a,b的和是個(gè)定值，因此當(dāng)a越大時(shí)，對(duì)應(yīng)的b就越??；a越小時(shí)，相對(duì)應(yīng)的b的取值就越大.若是a,b兩個(gè)取值相等，則意味著a,b在關(guān)系上是相互對(duì)稱(chēng)的.因此，可以巧妙借助a,b這種相互對(duì)稱(chēng)的關(guān)系，可以令a=1-r,b=1+r，此時(shí)始終滿(mǎn)足a+b=2的條件.最后，z=ab就等價(jià)轉(zhuǎn)化為z=(1-r)(1+r)=1-r2.由于r2永遠(yuǎn)是不小于0的，所以只有r=0時(shí)，z能夠取到最大值，是1.具體解題如下：設(shè)a=1-r,b=1+r，則z=ab=(1-r)(1+r)=1-r2，又r2≥0，所以z=1-0=1，即z的最大值是1.

反思此題借助對(duì)稱(chēng)性，將a,b用特殊的式子進(jìn)行表示，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的簡(jiǎn)化.若采用常規(guī)的方法用b=2-a進(jìn)行表示，并代入z=ab中，結(jié)合自變量a>0以及二次函數(shù)的性質(zhì)也能求解.但有些同學(xué)會(huì)將z=-a2+2a開(kāi)口方向弄錯(cuò)，進(jìn)而造成結(jié)果的錯(cuò)誤.如果問(wèn)題變成a,b,c,d均大于0，且a+b+c+d=2，求z=abcd的最大值時(shí)，利用對(duì)稱(chēng)性解題就比較簡(jiǎn)單.

二、依靠對(duì)稱(chēng)性，判斷函數(shù)值的大小

有關(guān)兩個(gè)函數(shù)值的大小，常常是將兩個(gè)函數(shù)值求出來(lái)，然后再斷大??；也可以借助圖象進(jìn)行輔助.但是，當(dāng)函數(shù)值不便求解，甚至無(wú)法根據(jù)已知條件求出具體值時(shí)，不妨借助函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，進(jìn)行綜合考慮.

反思借助對(duì)稱(chēng)判斷點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的位置關(guān)系，然后借助位置判斷大小，不過(guò)還需要掌握函數(shù)y=x2-3x-2的圖象開(kāi)口方向，然后才能借助距離判斷函數(shù)值大小.

三、運(yùn)用對(duì)稱(chēng)性，證明不等式

在許多代數(shù)問(wèn)題中都包含對(duì)稱(chēng)思想，從對(duì)稱(chēng)角度出發(fā)，借助對(duì)稱(chēng)的有關(guān)性質(zhì)，可以降低不等式的證明難度.

綜上所述，在某些具有對(duì)稱(chēng)性的代數(shù)問(wèn)題中，巧妙地運(yùn)用對(duì)稱(chēng)性，把握對(duì)稱(chēng)的特質(zhì)，往往能夠使得問(wèn)題求解過(guò)程變得簡(jiǎn)潔明了，實(shí)現(xiàn)解決問(wèn)題方法與思路的優(yōu)化.