平面幾何常見添加輔助線的方法

徐策

[摘要]學(xué)生在幾何學(xué)習(xí)中，解平面幾何問題，關(guān)鍵是要學(xué)會添加輔助線.教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生掌握平面幾何常見的添加輔助線的方法，從中找出解題規(guī)律，進(jìn)而有效解決問題.

[關(guān)鍵詞]平面幾何;輔助線;添加

[中圖分類號]G633.6? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A? [文章編號]1674-6058（2020）02-0023-02

解平面幾何一些比較復(fù)雜的圖形題，關(guān)鍵是如何添加適當(dāng)?shù)妮o助線.其實(shí)，輔助線的添加也是有規(guī)律可循的.教師在教學(xué)過程中，應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生對幾何知識點(diǎn)進(jìn)行系統(tǒng)性的整理，對常見的一些例題、習(xí)題進(jìn)行深入分析，找出規(guī)律，掌握輔助線的添加方法.

一、在分界點(diǎn)上添加平行線

相似形的證明在初中幾何中占據(jù)重要地位.中考命題中相似性的出題概率一直呈上升趨勢.因此在講這部分內(nèi)容時(shí)，教師要緊緊把握住基本概念、性質(zhì)以及基本題型.

在證明一些有關(guān)線段成比例的題型時(shí)，如果圖形中沒有呈現(xiàn)出相似三角形中的常見題型，即A字形或者X形，就可構(gòu)造平行線去解決這類題目.

[例1]如圖1，D是AC的中點(diǎn)，EF交AB于E，與BC的延長線交點(diǎn)F，求證：.

分析：假如過點(diǎn)A作邊BC的平行線AG，那么就有.剩下的任務(wù)就是證明AG=CF，這樣問題也就迎刃而解了.

證明：過點(diǎn)A作BC的平行線AG，與FE的延長線相較于G點(diǎn)，連接GE.

又因?yàn)锳D=DC，

這道題對初中生來說，還是比較復(fù)雜的.但是，我們通過作三角形定點(diǎn)的平行線這種輔助線，能輕松得到證明.

二、梯形中輔助線的作法

在初二的幾何學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會遇到計(jì)算梯形面積的題目，課本中給出的解法中，往往是傳統(tǒng)的“（上底+下底）x高”的做法，或者將一個(gè)梯形分解成兩個(gè)三角形來計(jì)算.其實(shí)，在解有關(guān)梯形的題目中，還有以下幾種添加輔助線的方法.

1.已知梯形上底和下底之差，通過上底的其中一個(gè)端點(diǎn)，作一條與腰平行的線段.這樣實(shí)際上就把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形，另外加上一個(gè)三角形，如圖2-1.

2.已知梯形的上、下底，求面積.常見的方法是在上底的兩個(gè)端點(diǎn)處，向下底引垂線，形成高線，如圖2-2.

3.延長梯形（特別是等腰梯形）的兩腰，使其相交于一點(diǎn)，這樣可以通過相似三角形計(jì)算長度，如圖2-3.

4.已知梯形的對角線相等，或者對角線互相垂直時(shí)，可過梯形上底的一個(gè)端點(diǎn)，作另一條角線的平行線，使之與下底的延長線相交，如圖2-4.

5.當(dāng)梯形中出現(xiàn)中點(diǎn)時(shí)，都會過其中一腰的中點(diǎn)，作另一腰的平行線，最后分別與上底的延長線和下底相交，如圖2-5.

6.當(dāng)梯形中出現(xiàn)中點(diǎn)時(shí)，也會常常連接上底的一端點(diǎn)和另一腰的中點(diǎn)，并延長，最后與下底的延長線相交，如圖2-6.

三、運(yùn)用“三線合一”性質(zhì)，給等腰三角形過頂點(diǎn)作底邊上的高線

如果題目已知等腰三角形（或者等邊三角形），并且知道其中的某一邊，求面積或者證明某兩條線段相等，這時(shí)，利用“三線合一”性質(zhì)過三角形的頂點(diǎn)作底邊上的高線，是最有效的辦法.

[例2]如圖3，已知點(diǎn)D、E在三角形的底邊BC上，且AB=AC，AD=AE，求證：BD=CE.

分析：在本題中，呈現(xiàn)了兩個(gè)等腰三角形，而且要證明相等的線段在等腰三角形的底邊上，用等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)解決，可得線段BH=HC，DH=HE，再根據(jù)等式性質(zhì)“等量減等量還是等量”，最終命題得證.

四、截長補(bǔ)短法

截長補(bǔ)短法常用于證明兩條線段之和或者之差等于另一條線段.具體來說，有兩種操作，一是截長，二是補(bǔ)短.

[例3]如圖4，已知在△ABC中，∠1=∠2，∠B=2∠C，求證：AB+BD=AC.

證明：在AC上截取AF=AB，并連接DF.

在△ABD和△AFD中，

∴∠B=∠AFD，BD=DF.

又因?yàn)椤螧=2∠C，

∴∠AFD=2∠C.

又∠AFD=∠FDC+∠C，

∴∠FDC=∠C.

∴FD=FC（等角對等邊），即AB+BD=AC.

總之，學(xué)生想學(xué)好幾何，關(guān)鍵要學(xué)會添加輔助線.當(dāng)做完一道題目后，應(yīng)及時(shí)歸納、總結(jié)相關(guān)解題方法，長此以往，便可熟能生巧，從而提高數(shù)學(xué)解題能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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