導(dǎo)數(shù)與數(shù)列中有關(guān)不等式的證明

馬漢陽(yáng)

[摘要]導(dǎo)數(shù)與數(shù)列中有關(guān)不等式的證明是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，也是高考的難點(diǎn)之一.研究此類(lèi)問(wèn)題的證明方法，能提高學(xué)生的解題能力.

[關(guān)鍵詞]導(dǎo)數(shù);數(shù)列;不等式;證明

[中圖分類(lèi)號(hào)]G633.6? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A? [文章編號(hào)]1674-6058（2020）02-0012-02

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，在高等數(shù)學(xué)也占有重要的位置.函數(shù)與不等式是高中數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重要內(nèi)容，它們可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維中的很多方法，當(dāng)兩者結(jié)合在一起的時(shí)候，問(wèn)題比較難解決.學(xué)生在做這類(lèi)題目時(shí)往往無(wú)從下手.究其原因，一是綜合運(yùn)用知識(shí)的能力欠佳;二是方法不得當(dāng).因此在復(fù)習(xí)這兩類(lèi)知識(shí)時(shí)，一定要注意它們的相互滲透，尋找解決問(wèn)題的方法.

[例1]（2019年南寧市第二次模擬考）已知函數(shù)f（x）=ax²-2xlnx-1（a∈R）.

（1）若時(shí)，函數(shù)f（x）取得極值，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間;

（2）證明：.

解析：（1）由已知f'（x）=2ax-2lnx-2，當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）取得極值.

故，所以時(shí)，時(shí)，.

所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.

（2）當(dāng)a=1時(shí)，.

令g（x）=x-lnx-1，則.當(dāng)01時(shí)，g（x）>0，g（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，1），單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞），g（x）≥g（1）=0.又f（x）≥0，所以f（x）為增函數(shù).當(dāng)x>1時(shí)，f（x）=x2-2xlnx1>f（1）=0，所以當(dāng)x>1時(shí).

令，得，

即.

所以.

即，所以.

點(diǎn)評(píng)：本題的難點(diǎn)在第二問(wèn).解決的關(guān)鍵是要利用函數(shù)不等式x>1時(shí)去構(gòu)造數(shù)列不等式.即令，x取這個(gè)值非常關(guān)鍵，這要看要證明式子兩邊的結(jié)構(gòu)來(lái)設(shè)置.

[例2]（2019年南寧市第三中學(xué)模擬考）已知函數(shù)f（x）=（x+1）ln（x+1）-ax.

（1）求函數(shù)f（x）的極值;

（2）證明：，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

解析：，令，解得.由得.由得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的極小值為

無(wú)極大值.

（2）由（1）知道，當(dāng)a=1時(shí)，f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，故當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>f（0）=0.

即.

令，可得，則有

兩邊同時(shí)乘以n²ⁿ可得.

點(diǎn)評(píng)：找到要用的函數(shù)不等式，即要證.

再令，就可以構(gòu)造出數(shù)列不等式，再放縮一次，問(wèn)題就解決了.

[例3]（2017年新課標(biāo)卷III理）已知函數(shù)

（I）若f（x）≥0，求a的值;

（II）設(shè)m為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)n，求m的最小值.

分析：（I）因?yàn)楹瘮?shù)，且，所以當(dāng)時(shí)恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞增，所以在（0，1）上，這與矛盾;當(dāng)時(shí)令，解得x=a，所以在（0，a）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即，又因?yàn)?，所?

（II）由（I）可知當(dāng)時(shí)，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào).所以，所以.一方面，因?yàn)?，所?/p>

因?yàn)閙為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)n.

點(diǎn)評(píng)：只要找到要用的函數(shù)不等式，再根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征，令，所以，問(wèn)題就可迎刃而解了.

[例4]（2011年高考浙江卷理22）已知函數(shù).

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值;

（2）求證：.

令，令.

故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，2a-1），f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（2a-1，∞）.

f（x）的極大值為2aIn2a-2a+1.

（2）要證，

即證，即證

即證.

令，由（1）可知f（x）在（0，+∞）上遞減，故f（x）

即，令，故.

累加得.

故，得證.

點(diǎn)評(píng)：找到要用的函數(shù)不等式ln（1+x）

再令，構(gòu)造出數(shù)列不等式.

導(dǎo)數(shù)與數(shù)列中有關(guān)不等式的證明是緊密相連且互相滲透的.在復(fù)習(xí)中，我們一定要注意它們的聯(lián)系，它們所涉及的問(wèn)題往往是靈活應(yīng)用導(dǎo)數(shù)與數(shù)列中有關(guān)不等式的知識(shí)，把這兩者完美地結(jié)合在一起.學(xué)生要在知識(shí)的交匯點(diǎn)學(xué)會(huì)思考分析，達(dá)到知識(shí)的融會(huì)貫通.同時(shí)，提高自己的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.