“函數(shù)單調(diào)性”概念建構過程的教學反思與重構

蔣智東　戈晨曦

[摘要]函數(shù)的性質(zhì)是函數(shù)知識的一個重要內(nèi)容.所有函數(shù)性質(zhì)學習活動本質(zhì)是相同的，都是用抽象的代數(shù)式去刻畫函數(shù)圖像的幾何特征函數(shù)單調(diào)性”是函數(shù)的核心概念，在教學中具有引領作用，教師應引起重視.

[關鍵詞]函數(shù)單調(diào)性;教學;反思;重構

[中圖分類號]G633.6? [文獻標識碼]A? [文章編號]1674-6058（2020）02-0001-03

函數(shù)的性質(zhì)是函數(shù)知識的一個重要內(nèi)容.在高中階段，主要研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性.所有函數(shù)性質(zhì)的學習活動本質(zhì)是相同的，都是用抽象的代數(shù)式去刻畫函數(shù)圖像的幾何特征函數(shù)單調(diào)性”是蘇教版教材中代數(shù)模塊的一個核心概念，是函數(shù)性質(zhì)中第一個引人的概念，在教學中具有引領作用.

一、教學現(xiàn)狀與反思

在日常教學中，仍有許多教師為追求教學進度和所謂的課堂容量，在進行函數(shù)單調(diào)性教學時，快速引人函數(shù)單調(diào)性的概念，匆忙進入函數(shù)單調(diào)性的判斷，并將學習的重點放在怎樣判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性上，然后基于若干個具體例子提煉函數(shù)單調(diào)性的判斷步驟，最后用精練的語言進行概括，以方便學生記憶和運用.

也有相當一部分教師重視數(shù)學概念教學，重視概念教學中學生的概括、抽象等數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng).但是，由于對數(shù)學概念教學和“函數(shù)單調(diào)性”概念理解上的差異，使得概念教學還存在許多值得改進的地方.

其一，在“函數(shù)單調(diào)性”概念建構的初始階段，學生需要通過實例來感悟函數(shù)圖像的“上升”和“下降”，提取函數(shù)的圖像特征.有的教師直接利用了教材上的“氣溫變化圖”，難免有片面性.因為，函數(shù)圖像的幾何形態(tài)是多樣的，在定義域上有上升的，有下降的，或在其定義域的某個區(qū)間上是上升的，在另一個區(qū)間上是下降的，等等.氣溫變化圖中只是其中一種情形，由于來自具體實際，又顯得過于復雜，這樣會阻礙甚至不能幫助學生從幾何直觀的角度形成對函數(shù)單調(diào)性的比較全面的認識.這種缺失，會直接影響學生對函數(shù)單調(diào)區(qū)間的局域性以及單調(diào)區(qū)間與函數(shù)定義域之間的關系的認識和正確理解.

其二，有的教師直接由“氣溫變化圖”出發(fā)引領學生經(jīng)歷函數(shù)單調(diào)性定義的形式化的形成過程，不符合學生的“認知規(guī)律氣溫變化圖”實際上只是起到引入的作用.一是時間變化氣溫就變化，它是一個函數(shù);二是這個函數(shù)圖像有比較明顯的升高或下降的趨勢變化，便于學生觀察并體會到這個特征.由于氣溫變化圖與學生初中熟悉的函數(shù)圖像相比，明顯復雜得多，再加上缺少函數(shù)解析式，這種情況下，直接作為引例來探究函數(shù)單調(diào)性定義，可能會影響或弱化學生的探究意識和探究能力的培養(yǎng).

其三，學生在初中階段對函數(shù)單調(diào)性已經(jīng)有了初步的認識，有的教師對高中階段函數(shù)單調(diào)性為什么要從研究圖像過渡到研究函數(shù)解析式，研究的必要性沒有做出交代，缺少一個邏輯上的銜接.

其四，引導學生經(jīng)歷一個掙脫“無限”桎梏的過程是“函數(shù)單調(diào)性”概念建構的難點.許多教師仍是心有余而力不足.由于設計不恰當和引導不到位，對“增大”“隨”“任意”等關鍵字、詞還是做了正面的講解與引導，給出了函數(shù)單調(diào)性符號化的描述，探究合作的成分不多.

二、在實踐中重構教學

數(shù)學概念有其發(fā)生、發(fā)展、形成和應用的過程.在初中數(shù)學知識的基礎上，學生對函數(shù)單調(diào)性的認識應有三個階段.首先，借助函數(shù)圖像的幾何特征，從語言上對函數(shù)的單調(diào)性加以描述;其次，從圖像過渡到解析式，由感性認識上升到理性認識;最后，完成歸納，抽象出函數(shù)單調(diào)性的符號化定義.

為使學生充分感受數(shù)學概念的發(fā)生與發(fā)展過程，經(jīng)歷觀察、歸納、抽象的探究過程，加深對函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)的認識，可以設計三個環(huán)節(jié)，引導學生分別完成對函數(shù)單調(diào)性定義的三次認識（本文重點談前兩次認識）.

[教學設計]

在情境教學階段，出示我市某天24小時內(nèi)的氣溫變化圖，引導學生識圖，捕捉信息，啟發(fā)學生思考.通過活動，讓學生體會到函數(shù)值隨自變量的變化而變化.

引言：對于自變量變化時，函數(shù)值是變大還是變小，是函數(shù)的重要性質(zhì)，稱為函數(shù)的單調(diào)性.同學們在初中對函數(shù)的這種性質(zhì)就有了一定的認識，但是沒有嚴格的定義.今天我們的首要任務就是建立函數(shù)單調(diào)性的嚴格定義.

1.借助圖像，直觀感知

本環(huán)節(jié)的教學主要是從學生的已有認知出發(fā)，即從學生熟悉的常見的函數(shù)圖像出發(fā)，直觀感知函數(shù)的單調(diào)性，完成對函數(shù)單調(diào)性定義的第一次認識.

問題1：分別作出函數(shù)y=x+2，y=-x+2，y=x²以及y=1/x的圖像，并且觀察自變量變化時，函數(shù)值有什么變化規(guī)律？

在學生畫圖的基礎上，引導學生觀察圖像，獲得信息：第一個圖像從左向右逐漸上升，y隨x的增大而增大;第二個圖像從左向右逐漸下降，y隨x的增大而減小.然后讓學生明確，自變量變化時，函數(shù)值具有這兩種變化規(guī)律的函數(shù)，我們分別稱為增函數(shù)和減函數(shù).

對兩個函數(shù)圖像的上升與下降要分段說明.通過討論，使學生明確函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì).

對于概念教學，若學生能用自己的語言來表述概念的相關屬性，則能更好地理解和掌握概念.

問題2：能否根據(jù)自己的理解說說什么是增函數(shù)，什么是減函數(shù).

引導學生進行分類描述（增函數(shù)、減函數(shù)），并用自己的語言描述增函數(shù)的定義：

如果函數(shù)f（x）在某個區(qū)間上的圖像從左向右逐漸上升，或者如果函數(shù)f（x）在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們就說函數(shù)f（x）在該區(qū)間上為

增函數(shù).

然后讓學生類比描述減函數(shù)的定義.至此，學生對函數(shù)單調(diào)性就有了一個直觀、描述性的認識.

2.探究規(guī)律，理性認識

在此環(huán)節(jié)中，可以設計兩個問題，通過對兩個問題的研究、交流、討論，將函數(shù)的單調(diào)性研究從研究函數(shù)圖像過渡到研究函數(shù)的解析式，使學生對單調(diào)性的認識由感性認識上升到理性認識，完成對概念的第二次認識.

問題3：圖1是函數(shù)y=x+（2/x）（x>0）的圖像，能說出這個函數(shù)分別在哪個區(qū)間為增函數(shù)和減函數(shù)嗎？

學生解決問題所遇到的困難是難以確定分界點的確切位置.通過討論，使學生感受到用函數(shù)圖像判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究;使學生體會到用數(shù)量大小關系嚴格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性，從而將函數(shù)的單調(diào)性研究從研究函數(shù)圖像過渡到研究函數(shù)的解析式.

問題4：如何從解析式的角度說明f（x）=x²在[0，+∞）上為增函數(shù)？

在前面問題的鋪墊下，問題4是形成函數(shù)單調(diào)性概念的關鍵.在教學中，教師可組織學生先分組探究，然后全班交流，相互補充，并及時對學生的發(fā)言進行反饋、評價，對于普遍出現(xiàn)的問題組織學生討論，使學生在辨析中達成共識.

[課堂實錄]

生1：只需用數(shù)學式子來描述：“在區(qū)間[0，+∞）上，當自變量x增大時，函數(shù)值f（x）隨之增大.”

生2：“增大”意味著比較，需要建立兩個量的大小關系.

師：好！那應該怎樣表示呢？

生3：在區(qū)間[0，+∞）內(nèi)取兩個數(shù)，比如2和3，因為2<3，且f（2）=42