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    整體思想解題策略研究

    2020-02-29 10:38:36周超富
    關(guān)鍵詞:整體思想解題策略

    周超富

    [摘要]整體思想是數(shù)學(xué)解題中一種重要的思想方法.從整體上認(rèn)識(shí)問題,利用知識(shí)聯(lián)系來對(duì)問題簡化變形,可實(shí)現(xiàn)問題的高效求解.整體思想解題的策略有整體代入、整體換元、整體變形、整體轉(zhuǎn)化等.研究應(yīng)用整體思想解題的策略,能提高學(xué)生的解題能力.

    [關(guān)鍵詞]整體思想;解題;策略

    [中圖分類號(hào)]G633.6? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A? [文章編號(hào)]1674-6058(2020)02-0016-02

    整體思想是特殊的思想方法.整體思想,即探究問題時(shí)不著眼于問題的局部,而是關(guān)注問題的整體形式、結(jié)構(gòu)、特點(diǎn),從而充分認(rèn)識(shí)問題,把握問題的本質(zhì)內(nèi)涵.整體思想的常用解題策略有如下幾種.

    一、整體代入

    整體代入常用于數(shù)與式的運(yùn)算中,解題時(shí)常將題干的條件視為一個(gè)整體,代入到所求問題中,從而減少計(jì)算量,提高解題效率.整體代入最為關(guān)鍵的一步是根據(jù)實(shí)際情況對(duì)問題或條件進(jìn)行變形,構(gòu)建出符合代入的形式結(jié)構(gòu).

    [例1]已知,試求的值.

    解析:直接利用已知條件無法求出a和b的值,只能考慮通過觀察已知式和待求式的特點(diǎn),采用整體代入的方式求解.首先對(duì)已知式進(jìn)行簡單變形,可得a-b=-4ab,則只需要在待求式中變形出a-b的形式,就可以建立條件與問題之間的關(guān)系.而,將代入上式可得,即的值為6.

    評(píng)析:本題屬于代數(shù)式的求值題.常用的求解方法有兩種.一是求解未知參數(shù)間接求值;二是整體代入間接求值.而上述解題過程采用的就是整體代入的方法.先變形,后整體代入.雖增加了結(jié)構(gòu)分析的過程,但可以簡化運(yùn)算.

    二、整體換元

    換元法是數(shù)學(xué)解題常用的簡化方法,而與整體思想相結(jié)合的整體換元更能凸顯方法的優(yōu)勢(shì),尤其是對(duì)于多元、高次方程問題,巧妙利用整體換元法可以達(dá)到降低思維難度的目的.而在整體換元過程中需要關(guān)注兩點(diǎn):一是關(guān)注其中的相同項(xiàng);二是關(guān)注參數(shù)的取值范圍.

    [例2]已知x和y均為實(shí)數(shù),且滿足方程x2+3x+y-3=0,試求x+y的最大值.

    解析:已知條件為二元二次方程,x和y之間存在著大小關(guān)系,因此無法直接求出x和y的值.此時(shí)可以將x+y視為一個(gè)整體,通過整體換元將已知方程變形為關(guān)于x的函數(shù),然后利用函數(shù)的性質(zhì)求最值.將已知方程等號(hào)的左側(cè)變形為x+y,則有x+y=x2-2x+3,令x+y=z,則z=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,已知x為實(shí)數(shù),則當(dāng)x=-1時(shí),z可取得最大值4,即x+y的最大值為4.

    評(píng)析:本題的難點(diǎn)在于所給方程既是關(guān)于x的方程,也是關(guān)于y的方程,無法直接獲得x和y的取值范圍.實(shí)際上該方程就是x和y的關(guān)系式,最為有效的方式就是通過整體換元的方式構(gòu)造出求解函數(shù),利用函數(shù)求最值的方法達(dá)到目的.

    三、整體變形

    在遇到一些不規(guī)則的圖形問題時(shí),可以考慮應(yīng)用整體變形的方式,通過適當(dāng)?shù)匮a(bǔ)全或分割來求解.

    [例3]已知半圓O的直徑AB為2,在其圓弧上取一點(diǎn)C,過點(diǎn)C作AB的平行線,交圓弧AB于點(diǎn)D,再連接OC和OD,如圖1所示.若∠COD=90°,連接AD和CO,試求圖中陰影部分的面積.

    解析:本題屬于常見的幾何陰影面積求值題.圖中的陰影部分為扇形和三角形的組合,常規(guī)的求法是通過割補(bǔ)的方式來求解.但相對(duì)而言,計(jì)算步驟較多,需要考慮多個(gè)圖形的幾何面積.此時(shí)可以從整體上來考慮.由于CD//AB,對(duì)于△ADC,可以視為是以CD為底,以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的三角形,則CD邊上的高就為點(diǎn)O到CD的距離,分析可知其面積與△COD的面

    積相等,通過重新組合可知陰影部分就與扇形OCD的面積相等,可直接利用扇形面積公式完成求解,即,則圖中陰影部分的面積為.

    評(píng)析:本題是從整體上對(duì)圖形進(jìn)行重組變形,是圖形割補(bǔ)的一種方式,相較于常規(guī)的面積割補(bǔ),其特殊之處在于采用了局部等面積轉(zhuǎn)化的方式,并從整體上將陰影部分變形為一個(gè)規(guī)則圖形.該整體變形的關(guān)注點(diǎn)有兩個(gè):一是圖形的規(guī)則化;二是圖形整體的簡潔化.

    四、整體轉(zhuǎn)化

    轉(zhuǎn)化是一種重要的解題策略.從整體上對(duì)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化變形則是基于數(shù)學(xué)整體思想的一種重要形式.即解題時(shí)基于知識(shí)之間的聯(lián)系,將問題轉(zhuǎn)化為等價(jià)的新問題,然后通過對(duì)新問題的簡單求解來達(dá)到解題的目的.采用整體轉(zhuǎn)化策略解題時(shí)需要特別關(guān)注轉(zhuǎn)化前后是否“等價(jià)”,確保答案準(zhǔn)確.

    [例4]已知一次函數(shù)的解析式為,反比例函數(shù)的解析式為,如果兩函數(shù)的交點(diǎn)為點(diǎn)A(-2,-1)和點(diǎn)B(n,2),回答下列兩個(gè)問題:

    (1)試求兩函數(shù)的解析式;

    (2)已知不等式y(tǒng)1>y2,試求x的取值范圍.

    解析:本題為常規(guī)的函數(shù)題,對(duì)于第(1)問可以采用常規(guī)的“點(diǎn)與函數(shù)解析式的互求”策略來求解,可解得一次函數(shù)解析式為y=x+1,反比例函數(shù)的解析式為.對(duì)于第(2)問,粗略看屬于解不等式題,但考慮到是以函數(shù)為背景的問題,則可以采用整體化歸的策略.將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像分析題,分別繪制y1和y2的圖像,如圖2所示.y1>y2則表示一次函數(shù)圖像位于反比例函數(shù)圖像上端的部分.根據(jù)圖像可知在原點(diǎn)的左側(cè)為-21,因此x的取值范圍就為-21.

    評(píng)析:本題是中考常見的函數(shù)綜合題,其特殊之處在于第(2)問依托函數(shù)構(gòu)建了不等式問題,在解題時(shí)可以充分利用不等式與圖像之間的聯(lián)系,從整體上將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像分析題.該解法的優(yōu)勢(shì)在于幾何法解代數(shù)問題更具直觀性,可簡化運(yùn)算直接獲解.

    總之,無論是整體代入、還原,還是整體變形、化歸,都是整體思想解題的表現(xiàn)形式,其在代數(shù)與幾何問題中均有著廣泛的應(yīng)用.整體思想的應(yīng)用是基于對(duì)問題的本質(zhì)認(rèn)識(shí),對(duì)學(xué)生的能力有著較高的要求.因此在實(shí)際教學(xué)中,教師要引導(dǎo)學(xué)生注重知識(shí)本質(zhì)的挖掘,養(yǎng)成整體分析的習(xí)慣,逐步拓展學(xué)生的解題思路.

    [參考文獻(xiàn)]

    [1]林必志.整體思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2018(8):69-70.

    [2]陶繼智.理解基本思想感悟解題方法:從幾道自主招生試題談起[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2018(24):29-31.

    [3]梁潔瓊.淺議模型思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透:以“不等式與不等式組”的教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2018(29):24-25.

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