Sharma-Tasso-Olever方程的Painlevé分析與精確解

陳南

(廈門工學(xué)院 計(jì)算機(jī)與人工智能學(xué)院，福建 廈門，361024)

在孤立子理論中，判定非線性方程是否具有可積性是非常重要的研究課題之一。目前，要給出可積性的嚴(yán)格定義是很困難的。一般地，說到可積性時(shí)，往往指方程具有哪種可積性。比如，可以利用反散射方法求出非線性偏微分方程的解，就稱之為反散射可積，此外，還有對(duì)稱可積、Lax可積、Liouville可積、C可積與Painlevé可積等等。Painlevé分析法[1-8]是證明可積性最有用的方法之一。目前，對(duì)Sharma-Tasso-Olever方程[9]的研究文獻(xiàn)比較多。文獻(xiàn)[10]證明了Sharma-Tasso-Olever 方程是可解的，并得到了孤子裂變和聚變的精確解，給出了與CTE有關(guān)的Sharma-Tasso-Olever方程的非局部對(duì)稱性。文獻(xiàn)[11]利用推廣的齊次平衡法和Maple，推導(dǎo)出了方程的B?cklund變換，找到了該方程與一些線性偏微分方程之間的關(guān)系。利用給出的變換和計(jì)算機(jī)程序Maple 12，構(gòu)造了方程的大量精確顯式特解。除了以常用的方式重新推導(dǎo)出所有已知解外，還可以得到幾個(gè)全新的、更通用的、精確的顯式孤立波解。文獻(xiàn)[12]用修改的(G′/G)展開方法求出了方程的行波解。文獻(xiàn)[13]用推廣的Hirota雙線性方法求得孤立子解。文獻(xiàn)[14]提出了一種新的輔助方程方法來探究，這種方法由含有十階非線項(xiàng)常微分方程構(gòu)造而成。運(yùn)用這種方法，得到方程的一些新的孤立波解和三角周期波解。本文用Painlevé分析的方法對(duì)Sharma-Tasso-Olever方程進(jìn)行研究，證明其具有Painlevé可積性質(zhì)。

1 Sharma -Tasso-Olever方程的Painlevé分析

Sharma -Tasso-Olever方程：

(1)

其中：α是常量；u(x，t)是時(shí)間變量t和空間變量x的未知函數(shù)。假設(shè)方程 (1)具有洛朗級(jí)數(shù)

(2)

形式的解。

式中：φ=φ(x,t)是時(shí)間變量t和空間變量x與未知函數(shù)。

首先進(jìn)行主導(dǎo)項(xiàng)分析，令

u(x，t)～u0(x，t)φ-β

(3)

有

(4)

由主導(dǎo)項(xiàng)平衡，即最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)“uxxx”和最高階非線性項(xiàng)“u2ux，uuxx”的平衡，計(jì)算得β=-1，并得到2個(gè)分支：

分支Ⅰ，u0=φx

(5)

分支Ⅱ，u0=2φx

(6)

(7)

比較φ的同次冪系數(shù)，得

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

接下來計(jì)算調(diào)諧因子。對(duì)(7)移項(xiàng)得

(13)

設(shè)i=j+3，則式(13)變換為

(14)

式(14)中Fi為ui-1，uj-2，…u0，φ的函數(shù)。

1.1 分支Ⅰ的Painlevé分析和B?cklund變換

當(dāng)u0=φx時(shí)，由(14)式，計(jì)算調(diào)諧因子得i=-1，1，3。 若令u1=0，經(jīng)過計(jì)算推出i≥2時(shí)，ui=vi=0，該方程具有Painlevé性質(zhì)。

命題1Sharma -Tasso-Olever方程(1)有B?cklund變換：

(15)

式中：φ滿足方程(16)和(17)。

證明利用關(guān)系式(8)～(12)，將(5)代入得

φ-4：u0=φx；

φ-3：恒等式，可取u1=0；

φ-2：φt=-αφxxx

(16)

φ-1：φxt=-αφxxxx

(17)

(18)

對(duì)(16)等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得

φtx=-αφxxxx

(19)

由式(17)和(19)聯(lián)立，得相容條件：

φxt=φtx

由(18)易見u1滿足方程(1)，即為方程的解，同時(shí)u為方程的解， 故(15)為方程(1)的B?cklund變換。

1.2 分支Ⅱ的Painlevé分析和B?cklund變換

當(dāng)u0=2φx時(shí)，由(14)式，計(jì)算調(diào)諧因子得i=-2，-1，3。 若令u2=0，經(jīng)過計(jì)算推出i≥2時(shí)，ui=vi=0，該方程具有Painlevé性質(zhì)。

命題2Sharma -Tasso-Olever方程(1)有B?cklund變換：

(20)

式中，φ滿足方程(22)和(23)。

證明利用關(guān)系式(8)～(12)，將(6)代入得

φ-4：u0=2φx

(21)

(22)

(23)

(24)

由式(24)易見u1滿足方程(1)，即為方程的解，同時(shí)u為方程的解。 故(20)為方程(1)的B?cklund變換。

2 Sharma -Tasso-Olever方程的精確解

2.1 分支I的精確解

當(dāng)u0=φx時(shí)，設(shè)方程(1)有指數(shù)形式的解：

φ(x，t)=ekx+ct+1

(25)

將式(25)代入式(16)，得

c=-αk3

取k=1，則c=-α，將k和c代入式(25)中，可以得到

φ(x，t)=ex-αt+1

(26)

將式(26)代入方程(1)的B?cklund變換(15)中，可以得到

就是方程(1)的1個(gè)精確解。

2.2 分支Ⅱ的精確解

當(dāng)u0=2φx時(shí)，設(shè)方程(1)有指數(shù)形式的解：

φ(x，t)=ekx+ct+1

(27)

將式(27)代入式(20)，得

(28)

其中：k和c為任意常數(shù)。(28)式是方程(1)的1個(gè)精確解。

3 結(jié)論

本文應(yīng)用Painlevé 分析法，對(duì)Sharma-Tasso-Olever方程進(jìn)行研究，證明了方程在滿足一定約束條件的時(shí)候是Painlevé 可積的，得到了其自B?cklund變換和精確解。將Painlevé 分析方法推廣應(yīng)用到其他的非線性偏微分方程有待進(jìn)一步研究。